数据模型与决策：常用记号总结

1.描述排队系统的一些主要数量指标

N(t):时刻t系统中的顾客数,即系统状态。

Nq(t):时刻t系统中排队的顾客数,即队长。

T(t):时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留时间。

Tq(t):时刻t到达系统的顾客在系统中的等待时间。

上述数量指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量,求这些随机变量的瞬时分布一般是很困难的。为了分析上的简便,并注意到相当一部分排队系统在运行一定时间后,都会趋于一个平衡状态(或称平稳状态),在平衡状态下,系统状态的分布、等待时间的分布和忙期的分布都与系统所处的时刻无关,而且系统的初始状态的影响也会消失,因此,在本章中将主要讨论与系统所处时刻无关的性质,即统计平衡性质。

2.一般的统计平衡指标

Ls:平均队长,即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值。

Lq:平均等待队长,即稳态系统任一时刻的等待服务的顾客数的期望值。

Ws:平均逗留时间,即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值。

Wq:平均等待时间,即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。

上述4项主要性能指标(又称主要工作指标)的值越小,说明系统排队越少,等待时间越少,系统性能越好。显然,这些是顾客与服务系统的管理者都很关注的。

3.其他常用数量指标

s:系统中并联服务台的数目。

λ:平均到达率。

1/λ:平均到达间隔。(www.xing528.com)

μ:平均服务率。

1/μ:平均服务时间。

ρ:服务强度,即每个服务台单位时间内的平均服务时间,一般有ρ=λ/(sμ)。

N:稳态系统任一时刻的状态(即系统中所有顾客数)。

U:任一顾客在稳态系统中的逗留时间。

Q:任一顾客在稳态系统中的等待时间。

N,U,Q 都是随机变量。

Pn=P{N=n}:稳态系统任一时刻状态为n的概率;特别地,当n=0时,Pn即P0,而P0即稳态系统所有服务台全部空闲(系统中顾客数为0)的概率。

对于损失制和混合制的排队系统,顾客在到达服务系统时,若系统容量已满,则自行消失。这就是说,到达的顾客不一定全部进入系统,为此引入λe。

λe:有效平均到达率,即期望每单位时间内进入系统的顾客数。这时,λ 就是期望每单位时间内来到系统(包括未进入系统)的顾客数。对于等待制的排队系统,有λe=λ。

在系统达到稳态时,假定平均到达率为常数,则有以下李特尔公式:

又假定平均服务时间为常数1/μ,则有

因此,只要知道Ls,Lq,Ws,Wq 四者之一,其余三者就可由式(18.1)求得。另外还有

此外,只要知道Pn(n=0,1,2,…),Ls 或Lq 就可由式(18.5)或式(18.6)求得,从而再由式(18.1)～式(18.4)就能求得4项主要工作指标。