灰色系统预测模型：数据、模型与决策

灰色系统预测的基本要求是:通过建立GM 模型群,研究和预测系统的动态变化,掌握其发展规律,并控制与协调变化的方向与速度,使之向着人们所期望的目标发展。下面具体介绍灰色系统预测的主要部分。

1.灰色生成序列

环境对系统的干扰使得表示系统行为特性的原始数据序列显得杂乱无章,因此很难找出数列间的规律性,而通过灰色生成能使规律性突显。灰色生成是将原始数据通过某种运算变换为新数据的过程,是使灰过程变白的一种方法,其主要作用是:一方面能够为建模提供中间信息,并弱化原始数据的随机性,另一方面能使任意非负数列、摆动的与非摆动的数列转化为具有近似的指数规律的数列。

灰色生成序列通过序列算子的作用来实现,序列算子主要包括累加生成算子、累减生成算子、缓冲算子(弱化算子、强化算子)、均值生成算子和级比生成算子等。

(1)累加生成(AGO,Accumulated Generating Operation)

通过数列中各时刻数据的依次累加得到新的数据与数列。累加前数列为原始数列,累加后为生成数列。

设原始数列为

则相应的一次累加生成数列为

r(r＞1)次累加生成数列为

正如例17.1中所描述的,通过灰色序列生成找到一种通过数据寻找数据的现实规律的途径,这是使灰色过程由灰变白的一种方法,通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,弱化了随机性,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律得以显化。

(2)累减生成(IAGO,Inverse Accumulated Generating Operation)

累减生成即逆累加生成,即求前后两个数据之差,是累加生成的逆运算。累减生成可将累加生成数列还原成非生成数列。

(3)均值生成

均值生成是一种常用的构造新数据、填补老序列空穴、生成新序列的方法,适用场景如收集数据时因某些难以克服的困难而导致数据缺失或异常。对问题数据的处理方法,通常是利用原始序列中问题数据的紧邻或邻近数据进行加权均值处理,来取代问题数据。

(4)级比生成

均值生成无法解决序列中端值缺失的问题,因此需转而考虑级比生成。级比生成是级比σ(k)和光滑比ρ(k)的总称:

设X(0)=(φ(1),x(0)(2),…,x(0)(n-1),φ(n))为端值缺失的序列,若用φ(1)右邻的级比生成x(0)(1),用φ(n)左邻的级比生成x(0)(n),则称x(0)(1)与x(0)(n)为级比生成。

2.模型的精度检验方法

灰色系统理论是通过灰数不同生成方式和数据取舍以及不同级别残差GM 模型补充、调整、修正后,提高模型精度的。换言之,GM 模型通过残差GM 模型修正后才变成近似差分微分方程。残差就是模型计算值与实际值之差。

GM 模型主要通过残差大小(或平均值、最近数据残差值)检验、关联度检验、后验差检验3种方法检验和判断模型的精度。残差大小检验是按点检验,是算术检验;关联度检验是建立的模型和指定函数之间的近似性检验,即根据模型曲线与指定行为数据曲线的几何相似程度进行检验,是几何检验;后验差检验是对残差的概率分布特性进行检验,是统计检验。这3种检验虽然从不同角度验证了模型的科学性,特别是后验差检验既考虑了原始数据列的离散性,又考虑了数据拟合残差离散性和小概率事件的拟合优度,但由于综合时空范围不确定和有限性,后验差检验也会出现与实际情况不吻合的现象,灰色模型综合评价方法还有待进一步研究。

对于一个具体问题,究竟应该选择什么样的预测模型,应以充分的定性分析结论为依据。模型的选择不是固定不变的,一个模型要经过多种检验才能判定其是否合理。

灰色模型的精度检验一般有3种方法:相对误差检验法、关联度检验法和后验差检验法。

(1)相对误差检验法

设原始序列相应的预测模型模拟序列为

残差序列为

相对误差序列为

平均相对误差为

给定a,当rel＜a且rel(k)＜a成立时,称模型为残差合格模型,且平均相对误差和模拟误差都越小越好。

(2)关联度检验法

设X(0)为原始序列,X(0)为相应的模拟序列,ε为X(0)与X(0)的绝对关联度,若对于给定的ε0＞0有ε＞ε0,则称模型为关联度合格模型,且关联度ε越大越好。(www.xing528.com)

(3)后验差检验法

设X(0)为原始序列,X(0)为相应的模拟序列,E 为残差序列,则

分别为X(0)的均值和方差;

分别为残差的均值和方差。

计算后验差比值:

对于给定的C0＞0,当C＜C0 时,称模型为均方差比合格模型,且C 越小越好。

计算小误差概率:

对于给定的p0＞0,当p＞p0 时,称模型为小误差概率合格模型,且p 越大越好。

以上3种精度检验方法都是通过对残差的考察来判断模型的精度。给定a,e0,C0,p0 的一组取值,就确定了检验模型模拟精度的一个等级。常用精度等级如表17.4所示,可供检验模型参考。一般情况下,最常用的是相对误差检验指标。

表17.4　模型精度检验等级

在使用灰色模型预测法进行预测时,往往会出现预测结果和定性分析结论不一致的情况。冲击扰动是造成这一现象的主要原因,系统行为数据因系统本身受到某种冲击的干扰而失真,此时系统行为数据已经不能正确地反映系统的真实变化规律,灰色模型的误差修正是解决这一问题的关键。

设X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(M))为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列(即冲击扰动序列)为

要从冲击扰动序列X 出发实现对真实行为序列X(0)的系统变化规律的正确把握,必须首先跨越障碍ε,否则用失真的数据直接建模和预测容易导致预测的失败。消除冲击干扰的有效方法是建立缓冲算子,其基本思想是:设

缓冲算子的作用是使冲击扰动系统数据序列在建模预测过程中常常出现的定量预测结果与定性分析结论不符的问题得到有效解决,具体原理可参考刘思峰、党耀国等人的关于缓冲算子研究的相关文献。