无不确定性的委托代理模型—数据、模型与决策

为了便于理解,不妨从最简单的模型开始讨论。假设代理人的工作成果没有不确定性,即代理人的产出是关于努力程度的确定性函数,因此委托人可以根据成果掌握代理人的工作情况,不存在监督问题。此外,假设委托关系基于一种标准合同,委托人的选择是提供或不提供这份合同,不选择支付给代理人的报酬或报酬函数,代理人的选择首先是是否接受合同,其次是是否努力工作,也就是只有努力和偷懒两种努力水平。这是一个在两个博弈方之间的、每个阶段都有两种选择的三阶段动态博弈模型,如图15.1所示。

图15.1　无不确定性的委托-代理模型

图15.1所示的扩展形中博弈方1代表委托人,博弈方2代表代理人。第一阶段是委托人的选择阶段,选择内容为是否委托,即是否向对方提出一个委托合同,如果委托人选择不委托,当然得不到代理人的服务,R(0)表示没有代理人的服务时委托人的利益。在实际问题中,R(0)有不同的情况,当代理人的服务对委托人至关紧要时R(0)可能是0甚至是负值,当代理人的服务对委托人来说并不关键时R(0)也可以是正值。委托人选择不委托,代理人就没有利益,该终端得益数组中的0即反映这种情况。如果委托人选择委托,则由代理人进行选择。

代理人先在第二阶段选择是否接受委托。若代理人选择不接受委托,结果与委托人不委托没有区别,双方得益与第一阶段委托人不委托对应的得益完全相同。如果代理人选择接受委托,那么代理人还需要在第三阶段选择是否努力。

代理人在第三阶段选择努力(高努力水平)还是偷懒(低努力水平)。如果代理人选择努力,那么委托人将得到较高的产出R(E),但要支付较高的报酬W(E)给代理人,代理人得到较高的报酬W(E),但有较高的负效用-E,因此委托人和代理人的得益分别是R(E)-W(E)和W(E)-E。如果代理人选择偷懒,那么委托人将得到较低的产出R(S),给代理人支付较低的报酬W(S),代理人得到较低的报酬W(S),但只有较低的负效用-S,此时双方得益分别为R(S)-W(S)和W(S)-S。

由于在此博弈中,博弈双方都清楚自己和对方的得益情况,也都能观察到对方的选择(虽然委托人无法观察代理人第三阶段的选择,但由于委托人能观察代理人的工作成果,而工作成果与努力程度有确定性对应,因此委托人仍然可以完全清楚代理人的选择),因此本博弈是一个完全且完美信息的动态博弈,适合用逆推归纳法进行分析。

首先,讨论代理人第三阶段对是否努力的选择,也就是在给定委托人第一阶段选择委托,代理人第二阶段选择接受委托的情况下,代理人第三阶段选择努力还是偷懒。根据理性博弈方的决策原则不难知道,如果W(E)-E＞W(S)-S,即W(E)＞W(S)-S+E,代理人会选择努力。上述不等式也称为代理人努力的“激励相容约束”,也就是委托人在自己提出委托和代理人接受委托的前提下,促使代理人努力工作必须满足的条件。上述第二个不等式的经济意义是:只有当努力工作的代理人得到的报酬满足除了偷懒的代理人能得到的基本报酬以外,还有一个至少能补偿努力工作比偷懒更大负效用的增加额时,代理人才可能自觉选择努力工作。

反过来,如果W(E)-E＜W(S)-S,那么代理人肯定会选择偷懒,此不等式是代理人偷懒的“激励相容约束”。从该激励相容约束中可以得到一个直接推论:由于偷懒的负效用肯定小于努力工作的负效用,因此如果偷懒和努力得到的报酬相同,即W(E)=W(S),那么偷懒的激励相容约束自动满足,代理人必然选择偷懒。

其次,讨论第二阶段代理人对是否接受委托的选择。由于对应的具体得益情况不同,第三阶段代理人的选择有努力和偷懒两种可能,因此必须分两种情况讨论第二阶段的选择。图15.2(a)反映的是代理人第三阶段选择努力的情况,图15.2(b)反映的则是代理人第三阶段选择偷懒的情况。

图15.2　第二阶段代理人的选择

根据图15.2可知,在两种情况下代理人选择接受而不是拒绝的条件分别是W(E)-E＞0和W(S)-S ＞0。这两个不等式分别称为两种情况下的“参与约束”,也就是代理人愿意接受委托人委托的基本条件。值得说明的是,如果考虑代理人有接受其他委托的可能性,上述参与约束不等式就不是要求大于0,而是要求大于代理人放弃的其他机会的利益,即代理人的机会成本。(www.xing528.com)

最后,讨论第一阶段委托人的选择。如果代理人第二阶段选择的是拒绝,那么委托人的选择其实是无关紧要的,因为委托和不委托的结果一样。如果代理人第二阶段选择接受,那么仍然有两种不同的情况,也就是第三阶段代理人选择努力和偷懒的两种情况。由于委托人清楚代理人的选择,因此可以针对两种情况分别选择。委托人面临的两种选择情况如图15.3所示,其中图15.3(a)对应第三阶段代理人选择努力的情况,图15.3(b)对应第三阶段代理人选择偷懒的情况。

图15.3　第一阶段委托人的选择

很显然,在图15.3(a)所示的情况下,如果R(E)-W(E)＞R(0),则委托人会选择委托,如果R(E)-W (E)＜R(0),则委托人会选择不委托。在图15.3(b)所示的情况下,当R(S)-W(S)＞R(0)时委托人会选择委托,当R(S)-W(S)＜R(0)时委托人会选择不委托。

归纳三个阶段两博弈方的选择,就得到了本博弈的子博弈完美纳什均衡。需要注意的是,在上述分析中都只考虑了严格不等式的情况而回避了等式的情况,这一点正是博弈分析的困难之一,因为当两种选择的利益相同时很难肯定博弈方的选择。为了对上述分析的认识更深刻,下面用一个数值例子进行进一步的说明。

例15.1 假设努力的投入产出函数为R(e)=10e-e 2,代理人努力即努力水平为2单位,偷懒即努力水平为1单位,且努力的负效用等于努力水平的数值,也就是E=2,S=1,因此R(0)=0,R(E)=16,R(S)=9。再假设W(E)=4,W(S)=2,则该博弈的得益结构如图15.4所示。

图15.4　无不确定性的委托-代理模型的数值例子

根据上述分析及结论不难看出,由于W(E)-E=2＞W(S)-S=1满足促使代理人努力的激励相容约束,W(E)-E=2＞0满足代理人接受委托的参与约束,R(E)-W(E)=12＞R(0)=0也满足委托人提出委托的条件,因此这个数值例子的子博弈完美纳什均衡是:委托人选择委托,代理人接受委托并努力工作。这也是本博弈唯一的子博弈完美纳什均衡。由于这是逆推归纳法得到的结果,因此是该博弈可以预测的结果。