【摘要】：用最小二乘法求回归参数的基本原则是:对于确定的方程,要使观察值y 与估计值y^的偏差的平方和最小。图8.12最佳拟合直线我们的目标是使拟合出来的直线在某种意义上是最佳的,直观地看,也就是要求估计直线尽可能地靠近各观测点,这意味着应使各残差尽可能地小。最小二乘法就是选择一条直线,使其残差平方和达到最小值的方法,即
两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示:
Y=A+BX+ε
方程中的A,B 是待定的常数,称为模型系数,ε是残差,是以X 预测Y 产生的误差。
回归分析对变量的要求是:自变量可以是随机变量,也可以是非随机变量;自变量X 值的测量可以认为是没有误差的,或者说误差可以忽略不计;回归分析对因变量有较多的要求,这些要求与其他的因素一起构成了回归分析的基本条件,即独立、线性、正态、等方差。
首先需要确定参数a,b,一般用最小二乘法求回归方程的参数。用最小二乘法求回归参数的基本原则是:对于确定的方程,要使观察值y 与估计值y^的偏差的平方和最小。通过数学推导,将自变量x 和对应的因变量y 的数据代入以下两式,即可求得回归参数a,b:
在给定X 和Y 的一组观测值(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn)的情况下,求出估计值,使得拟合的直线为最佳,直观上看,也就是要求在X 和Y 的散点图上穿过各观测点画出一条“最佳”直线,如图8.12所示。
图8.12 最佳拟合直线(www.xing528.com)
我们的目标是使拟合出来的直线在某种意义上是最佳的,直观地看,也就是要求估计直线尽可能地靠近各观测点,这意味着应使各残差尽可能地小。要做到这一点,就必须用某种方法将每个点对应的残差加在一起,使其达到最小。最小二乘法就是选择一条直线,使其残差平方和达到最小值的方法,即
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