前面介绍的未来值和现值的计算都是以年为单位计算复利的,但在现实生活中有时也会遇到计息期不到1 年的情况。例如,如果用信用卡透支,透支的金额是按天计息的,即每天计算1 次复利。我们通过下面的例子来分析小于1 年的计息期对未来值或现值的影响。
例3.5 假设现在存入银行1000 元,银行的年利率为6%,请问3 年后银行存款的本利和为多少?
解:以下分三种情形计算。
(1)年利率为6%,1 年计算1 次复利。在3 年内每年年末的未来值见下表:
由上可知,3 年获利息为191.02 元。
(2)年利率为6%,每半年计算1 次复利。在3 年内每半年的未来值见下表:
由上可知,3 年共获利息为194.05 元。这说明,在同样的年利率下,每半年计息1 次比1 年计息1 次所获利息要大,这是因为在半年计息中,“利息的利息”的次数增加了。
(3)年利率为6.09%,每年计算1 次复利。在3 年内每年年末的未来值见下表。
由上可知,在年利率为6.09%时,3 年后获利息194.05 元。这与年利率为6%、每半年计算1 次复利所获利息相同。因此,在每半年计算1 次复利的情况下,年利率6%不能表示在1 年内实际获得的利息大小,此时,6%的年利率称为名义利率。而在每年计算1 次复利的情况下,6.09%的年利率所获利息与每半年计息1 次、名义利率为6%所获利息相同。因此,6.09%称为半年计息1 次、名义利率6%的有效年利率。
不同的投资机会存在不同的计息期。例如,有的债券每半年付息1 次,有的国家股票每季发放1 次股利,大部分贷款每年计息1 次,等等。为了比较不同投资之间的不同,有必要统一折算为同一性质的利率,即要区分名义利率和有效利率。有效利率与名义利率的关系可用下式表示:
式中:re为有效年利率;rn为名义年利率;m 为一年中计息次数。
例如,如果名义利率为6%,每半年计息一次,则有效年利率re =(1+6% /2)2-1 =6.09%。由此可见贷款中的陷阱:若贷款的年利率为6%,半年计息1 次,其实际年利率为6.09%。
在住房抵押贷款中,通常采用每月等额偿还的方式。在这种情况下,贷款所给出的年利率是名义利率。计算每月的应偿还金额须按每月计息的方式计算。
假设某住房的价格为125 万元,若采用抵押贷款的方式购买,首期须支付购买价格的20%,即25 万元,剩下的100 万元采用分期偿还的方式向银行借款。银行的年利率为12%,即月利率为1%,借款期限为30 年。每月等额偿还的金额计算如下:A =100 ×[1%(1+1%)360/(1+1%)360-1]=1.02861(万元),即在30 年内每月偿还1.02861 万元。
知识链接
利 率
在实际生活中,我们经常会遇到要计算在合同中隐含的利率的情况。
假设一银行提出贷给某人25 万元以购买住房,条件是其必须在以后的25 年内每年年末偿还25,451.6元。那么银行收取的年利率为多少?
解:首先应认识到25 万元是年金25,451.6元的现值。因此下面的关系式成立:
年金现值系数为:(P/A,r,25)=9.8226
解上述方程得年利率r 为9%。
在实际生活中,有些需要计算利率的情况可能比较复杂,不能简单地将合约所给定的数字看成是实际的利率。
思考题
1.货币时间价值给了我们哪些投资的启示?
2.现值与终值的含义和联系是?(www.xing528.com)
3.了解一次支付和系列支付的现值和终值的计算方法。
4.某公司拟投资一项目,期望第5 年使原投入的货币资金增加到400,000元。假定该项目的投资报酬率为8%。请计算该公司现在应投入的货币资金数。
5.完成下列计算:
(1)现金1000 元存入银行,若利率为7%,1 年复利1 次,8 年后的复利终值是多少?
(2)年利率10%,1 年复利1 次,10 年后的1000 元其复利现值是多少?
(3)年利率16%,半年复利1 次,50 年后的1000 元其复利现值是多少?
6.某人准备存入银行一笔钱,以便以后的10 年中每年年底得到2000 元,设银行存款利率为9%,计算其目前应存入多少钱?
7.某公司需用一台设备,买价为1.5 万元,使用寿命为10 年,如果租入,则每年年末需支付租金2200 元,除此之外,其他情况相同,假设利率为8%,试说明该公司应购买设备还是租用设备。
8.某人拟在5 年后还清10,000元债务,从现在起每年年末存入银行一笔钱,设利率为10%,他每年需要存入银行多少钱?
9.某公司有一项付款业务,有甲乙两种付款方式可供选择。
甲方案:现在支付10 万元,一次性结清。
乙方案:分3 年付款,1~3 年各年初的付款额分别为3 万、4 万、4 万元,假定年利率为10%。
要求:按现值计算,从甲、乙两方案中选优。
10.某公司拟购置一处房产,房主提出两种付款方案:
甲方案:从现在起,每年年初支付20 万元,连续支付10 次,共200 万元;
乙方案:从第五年开始,每年年初支付25 万元,连续支付10 次,共250 万元。
假设该公司的最低报酬率为10%,你认为该公司应选择哪个方案?
11.某人准备一次性向银行贷款30 万元,假设银行利率为6%,复利,每年年末分期付款,5 年中每年末应还多少?
12.某人准备5 年后自费出国留学,所需费用为20 万元,他准备每年年末存入银行一笔等额款项,假设每年年利率为6%,复利,问他每年应存入多少?
13.张先生准备购买一套新房,开发商提供了两种付款方案让张先生选择:
甲方案:从第4 年年末开始支付,每年年末支付20 万元,一共支付8 年。
乙方案:按揭买房,每年年初支付15 万元,一共支付10 年。
假设银行利率为5%,张先生应该选择哪种方案?
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