（一）年金的概念
前文我们探讨了现值和终值的概念，这些概念有助于我们解决许多有关货币时间价值的问题。例如，一个银行要计算一笔20 年期的每月付息的抵押贷款的现值，由于这笔抵押贷款有240 个付款期，所以计算这个简单的问题也要花费很多时间。年金的概念及其有关计算就是解决这些问题的重要方式。下面我们将导出一些解决这些问题的简单公式。
年金（annuity）是指在一段时期内，每期发生的等额现金流量，如工资、直线折旧、租金、等额分期付款等。年金按发生时间可分为四类：①普通年金，每期期末发生的年金，如直线法计提折旧、工资等；②预付年金，每期期初发生的年金，如租金支付等；③递延年金，在若干期以后的一段连续时期内发生的年金；④永续年金，无限期发生的年金，如土地年收益、按期付息永不还本的公债等。
普通年金是各种年金的基础，下面将以普通年金的计算为例讨论，在此基础上可以容易地推导出其他年金的有关公式。
（二）年金的终值
1.普通年金的终值
下面以一个例子来推导普通年金终值的计算公式。
例3.2 假设某人每年年末等额存入银行1000 元钱，连续存入10 年，银行按10%的利率计算复利。请计算第10 年年末银行存款的本利和。
要计算该年金的终值，可根据一次支付的终值计算公式分别计算每次存入银行1000 元在第10 年年末的终值。第10 年年末存入银行的1000 元与终值的时间相同，因此，在一次支付终值系数中的n 等于0；第9 年年末存入银行的1000 元，n 等于1；直到第1 年年末存入银行的1000 元，n 等于9，即：
从上例年金终值计算公式的推导中，我们可以得出普通年金的终值的一般计算公式，即
式中：［（1+r）n－1］/r 称为年金未来值系数，记为（F/A，r，n），可通过年金系数表查得。
2.预付年金终值
根据普通年金的终值计算公式，可以很容易地得到预付年金的终值计算公式。
要计算预付年金在第10 年年末的终值，我们应注意到普通年金的终值公式所计算的终值与年金的最后一次现金流量发生在同一时间。因此，在预付年金的情况下，由普通年金终值公式计算的是第9 年年末的终值。要计算年金在第10 年年末的终值，只需要将普通年金终值公式计算的结果乘以（1+10%）。预付年金未来值的一般公式为：
（三）年金的现值
1.普通年金的现值
为了便于理解，我们仍用一个例子来讨论年金的现值计算公式。(www.xing528.com)
例3.3 假设某人打算从现在开始，每年年末从银行取出1000 元，连续取10 年，银行年利率为10%。请计算他现在应该一次性存入银行多少钱才能正好满足10 年内的取款需要。
解：由于每年年末的取款金额相同，所以，本例要计算普通年金的现值。用时间轴将年金的现金流量表示如下，其中取款是现金流出量，所以用向上的线段表示。
由此可得出普通年金现值的一般公式为：
式中：［（1+r）n－1］/r（1+r）n称为年金现值系数，记为（P/A，r，n），该系数可通过查年金现值系数表获得。
2.预付年金的现值
在上例中，假设取款发生在每年年初，则问题就变成了计算预付年金的现值。
第一个算式的基本思路是，按普通年金计算的现值比年金的第1 个现金流量早1 年，因此是第0 年年初的现值，而按题意应该计算第0 年年末的现值。所以，只要将按普通年金公式计算的现值再乘以（1+10%）即可。
第二个算式的思路是，如将第一年年初的取款单独处理，则由于第1 年的年末与第2 年的年初是在同一时点上，因此，第2 年年初至第10 年年初的年金可以看成是从第1 年年末开始的持续时期为9 年的普通年金。该年金的现值加上第1 年年初的取款额即预付年金的现值。
第三个算式的思路很简单，即首先计算预付年金在第9 年年末的未来值，再乘以一次支付的现值系数，得到预付年金的现值。
3.永续年金的现值
要计算永续年金的现值，只需要用普通年金现值公式计算当n 趋于∞的极限。
4.贷款分期偿还
年金现值公式的一个重要应用是求贷款分期偿还每期应付的金额，如计算住房抵押贷款的每期付款额。不管是长期贷款还是短期贷款，如果还贷是按年或按月有周期性地分期等额支付，一般称为分期偿还贷款。
例3.4 一公司借款1000 万元，欲在3 年内每年年末等额偿还，已知借款年利率为6%，公司每年应支付多少元？
解：该题是属于已知现值、计算年金的问题。根据年金现值公式，每年年末应偿还的金额应满足以下关系：
即该公司以后3 年每年年末需要支付374.11 万元，以偿还目前的1000 万元借款。
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