数学教育中的统计与概率

众数

教学内容：

人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书》五年级下册第122页例1。

教材分析:

“众数”这一块知识，是小学数学课标教材中一个新增的教学内容（原属于第三学段初中的教学内容），属于统计的范畴。在此通过例1教学，使学生掌握“众数”的知识，包括众数的意义，求一组数据众数的方法，以及众数的实际应用。但教师在教学目标的把握上往往不够准确到位——或深或浅，学生也不容易透彻理解——单纯训练还可以，可综合起来很难选择。为此我对此内容进行了多次教学实践、反思与改进，确定了教学思路：认知冲突—认识众数—分析区别—典型应用，能根统计量进行一些简单的预测或做出决策。

教学目标：

1.在学校选舞蹈队员的具体情境中使学生认识众数，理解众数的意义及作用，并且学会找一组数据的众数。

2.使学生整理和归纳平均数、中位数与众数的区别，并能根据数据的特点选择合适的统计量进行简单的预测或做出决策。

3.让学生参与统计实践、选择合适的统计量进行相关整理数据、观察分析数据，感受统计在生活中的应用，发展统计观念。

教学重点：

认识众数，理解众数的意义及作用，掌握如何找一组数据众数的方法。

教学难点：

众数和中位数、平均数三者的区别，并能在具体情境中根据数据的特点合理选择合适的统计量来描述一组数据的特点。

教学准备：

相关课件，20位候选人身高的数据记录单，计算器。

一、凝心入境（创设情境，揭示课题）

“六一”儿童节快到了，同学们打算怎样过这个节日？（学生自由发言，教师适时给予评价）

1.请同学们看大屏幕：（呈现安西路小学庆祝“六一”文艺汇演时校舞蹈队“拉丁舞”表演的精彩镜头）

提问：这个镜头大家熟悉吗？（因为五年级每个班都有舞蹈队的学生，且校舞蹈队在学校和本区都小有名气。）

2.（教师故作神秘地说）老师给大家透露一个好消息：学校打算从五年级的同学中挑选一些同学，组成一个舞蹈队在今年的“六一”儿童节向校舞蹈队发起挑战，请同学们想一想，假如你是学校舞蹈队的老师，你如何选择舞蹈队的队员？

设计意图：通过复习旧知唤起学生对旧知的回忆，注重对新知的衔接。

二、慧心试才（检查预习，初步感知）

1 ．老师先选出了20名舞姿比较好的队员，下面候选人的身高情况（单位：m）。

2．小组合作要求：

设计意图：让学生经历猜测、验证和知识形成的过程。

三、疑心促研（设疑激趣，合作探究）

1.学生汇报方案。

（1）师：哪个小组愿意汇报你们研究的方案？

学生的可能有：

方案一：

以平均数为标准：1.475米

哪十名队员的身高接近平均数？（单位:m）

方案二：

以中位数为标准:1.485米

哪十名队员的身高接近中位数？（单位:m）

方案三：

以1.52米为标准。

哪十名队员的身高接近1.52米？（单位:m）

（2）小组讨论研究最佳方案：我们为学校选择10名舞蹈队员设计了三种方案，哪种方案会更加合适一些？为什么？

2.教师引导学生分析数据：每种方案中最高队员和最矮队员相差数量分别是多少？

设计意图：引导学生根据平均数、中位数、众数的情况进行确定，通过比较后明白根据众数选定舞蹈队员比较恰当。由此揭示众数的意义，体会众数产生的必要性。

四、群心荟萃（讨论交流，学习展示）

1.了解众数意义及特征。

（1）师：每个小组的意见，我听清楚了。大家都认为第三种方案比较合适，下面我们再来观察这一组数据中的1.52有什么特点。

（2）像这种1.52在这组数据中出现的次数最多，能给这样的数取个名字吗？

2.课件呈现众数的概念：

（1）找众数，进一步理解众数。

如果学生回答众数是3.5，教师可以提出来8也重复出现了，为什么不是这一组数据的众数？

（2）了解众数的特点。

过渡语：本次选拔舞蹈队员，我们不仅要关注他们舞姿优美，而且还要求他们学习好，老师做了一个调查。

课件出示：

教师提问：这两组数据的众数各是多少？

通过练习使学生总结归纳出众数的特点：众数有时候可能不止一个，有时候也可能没有众数。

设计意图：学会求一组数据的众数，引导学生发现在一组数据中众数可能不止一个，也可能没有众数。

五、智心点亮（总结归纳，提升训练）

1．过渡语：我们认识了三种统计量，下面我们举办一个“小小讨论会”，每个小组自由选择话题，想一想要解决话题中所关注的问题选用哪种统计量比较合适一些？为什么？

哪个小组来汇报一下你们小组讨论的情况？

2.通过刚才的讨论会，每个同学分别选择了合适的统计量解决了相关问题，下面我们继续来研究一下平均数、中位数和众数三者之间究竟有什么联系与区别。

（1）小组讨论汇报。

（2）教师根据学生的发言系统整理。

3.小结：我们在用三个统计量解决实际问题时，要学会根据问题要求和我们关注的具体问题具体分析，合理地使用平均数、中位数和众数。

设计意图：通过观察对比分析，理解三个统计量平均数、中位数和众数的意义，学生能根据具体问题，选择适当的统计量表示数据的不同特征。

统计与可能性

教学内容:

人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书》五年级上册第98页。

教材分析：

《统计与可能性》属于数学课程标准中“概率与统计”这部分内容。关于“可能性”，小学全套教材分为两次进行编排，一次是在三年级上册，一次就是五年级上册。三年级主要让学生初步感知事件发生的可能性及可能性的大小，而在五年级上册中，要求学生对“可能性”的认识和理解逐步从定性向定量过渡，学会通过量化的方式，用分数描述事件发生的概率。

教学目标:

1.让学生初步体验事件发生的可能性以及游戏规则的公平性，学会用分数表示简单事件发生的可能性。

2.使学生经历实验的具体过程，从中体验某些事件发生的可能性是有大小的，并能对发生的结果或某些事件发生的可能性作出简单判断。

3.通过创设游戏情境，让学生主动、乐于参与“数学实验”，在与他人的合作过程中，增强互助合作精神。

教学重点：

体验事件发生的可能性以及游戏规则的公平性，会用分数表示事件发生的可能性。

教学难点：

引导学生对某些事件发生的可能性大小作出正确判断，并能适当解释和分析统计的结果。

教学过程：

一、凝心入境（创设情境，揭示课题）

课件播放足球赛前抛硬币的视频，引导学生思考：这种方法是否公平，正反两面的出现的可能性是否一样？

学生会说出公平，并且说出正反两面朝上的可能性相等 。

（板书：正面 ，反面 ，可能性相等）

设计意图：兴趣是学生最好的老师，课的开始，由足球比赛开球前的情境引出游戏公平性的问题，引发学生的思维冲突，使学生有了进一步探究的需求，激发学生探究兴趣。

二、慧心试才（检查预习，初步感知）

教师提出疑问：一定是吗？你怎么想的？

学生回答后教师小结：我们在抛硬币时有可能正面朝上，有可能反面朝上，是一个不确定的事件，本节课我们就来探索不确定事件的可能性。

设计意图：利用生活素材，创设问题情境，向学生提出挑战性问题，引导学生大胆地猜想、推测，形成悬念，激起学生的学习兴趣和未知欲望。

三、疑心促研（设疑激趣，合作探究）

1.动手实验，获取数据。

为了验证抛硬币时正反面朝上的可能性是不是相等，引导学生以小组为单位做抛硬币的实验，出示实验要求：

（1）小组成员每人抛20次，抛硬币时用力均匀，高度适中。

（2）以小组为单位分别统计相关数据，填入实验报告单（如下表）。(www.xing528.com)

2.观察数据，正反两面朝上的次数分别与总次数有什么关系？

设计意图：采用小组合作探究的形式，一方面发挥学生的主体作用，让其自己动手实验，感受更深，记得更牢，另一方面培养了学生分工合作的能力，让学生在实践中探索规律，在兴趣中潜移默化地培养了学生严谨的科学精神和科学态度。

四、群心荟萃（讨论交流，学习展示）

1.请各个小组汇报实验结果，汇总到总统计表。

引导学生观察实验结果，有什么发现。

这里着重让学生观察是不是所有小组的正面朝上次数都是总次数的一半，不是一半的数据有什么特点。

引导学生观察合计这一栏，发现随着次数的增多，正反面出现的次数会逐渐接近。

设计意图：通过对实验数据进行简单合计和观察，引导学生扎扎实实探究知识，学会用辩证的思想分析问题，从事物的表象看本质，逐步接近知识点。

2.阅读材料，加深体会。

（课件出示几位数学家的实验结果，如下表）

让学生观察数据，发现抛的总次数越多，正面朝上次数和反面朝上次数越接近总次数的一半。

设计意图：通过观察这些数据，进一步验证了以上结论的正确性，让学生体会到科学家对待未知领域和实验的严肃认真精神，激发学生更浓厚的学习兴趣。

尽管在抛一次硬币时，我们事先无法确定它是正面朝上，还是反面朝上，但当我们大量重复抛掷一枚硬币时，二者出现的次数和总次数的一半比较接近，我们就认为正面朝上和反面朝上的概率是1/2，从而验证了在足球比赛前采用抛硬币来决定谁开球的规则是公平的。

设计意图：通过实验验证了学生的说法是正确的，但是让学生明白抛硬币时，正反两面朝上的可能性是理论上的推测，并不是等于。然后解释抛硬币的公平性，和开头呼应，培养学生从现实中发现问题，在实验中分析问题，用知识解决问题的能力，让学生将学习的理论联系到生活实际，感受数学在生活中的作用，感受游戏规则的公平性。

五、智心点亮（总结归纳，提升训练）

1．做游戏。

师：同学们表现都很好，接下来我们做个游戏放松一下。

（出示飞行棋图纸，挂在黑板上，同时将全班分成三队。）

师：哪个队愿意先走？（所有学生都举手）既然大家都想先走，我们就用转转盘的方式决定好吗？

（出示转盘）

学生会说不公平，这时让学生说为什么不公平，每种颜色出现的可能性是多少，并让其说出怎样设计才公平。

出示平均分成三份的转盘，并分出走的顺序。

（确定走的次序后准备玩游戏并出示骰子）

师：决定了要走的次序了，那这有两个骰子看清楚了吗？请每队的队长来选择骰子。

（学生都选择正方体的骰子）

师：如果你是队长你会选哪个？为什么？大家想为什么这个正方体每个面出现的可能性是一样呢？都是多少？

接下来由队长掷骰子进行游戏。

2．某商场准备策划一场购物摸奖活动，奖品如下：

一等奖 29寸彩电一台

二等奖 微波炉一台

三等奖 电吹风一个

四等奖 可乐一瓶

（1）如果你是商场的经理，考虑到商场的利益，会怎样设计转盘？

（2）如果你是一名消费者，你希望这个转盘怎样设计？

小组设计，展示作品，并阐述设计理由。

设计意图：通过游戏，让学生感受到公平是建立在每种可能相等的基础上，要想公平，必须要等分。第二题通过这个活动，感受到生活中还有不等可能性的存在，让学生从无知到有知，从有知到多知，拓展学生视野，贴近生活实际。学“活”数学，学有用的数学，通过设计转盘培养学生多方面的能力，综合运用数学知识。

3.回味新知，反思小结。

通过这一环节主要是让学生对这节课的知识进行反思回顾，加深对知识的理解和记忆，让学生深刻感受到“数学来源于生活，生活离不开数学”的道理，让学生养成一个良好的学习习惯。

可能性的大小

教学内容:

人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书》五年级上册第98页。

教材分析：

学生在之前的学习中已经能用“可能”“一定”“不可能”等词语描述事件发生的不确定性和确定性；初步认识了可能性的大小，学生用“经常”“偶尔”“差不多”等词语描述一些事件的可能性；了解了等可能性和游戏规则的公平性，初步认识游戏规则的公平性。这些是对事件发生可能性大小的定性描述。本课的学习是学生在小学阶段最后一次学习可能性，要求学生能够初步学会用分数表示事件发生的可能性大小，能定量刻画。

教学目标：

1.通过试验操作活动，进一步认识客观事件发生的可能性大小。

2.能用分数表示可能性的大小。

教学重点：

能用分数表示可能性大小。

教学难点：

能理解并掌握分数表示事件发生可能性大小的思考方法。

教具准备：

6个乒乓球（3黄3白）、3个盒子、课件。

教学过程：

一、凝心入境（创设情境，揭示课题）

师：同学们，三年级我们研究了可能性。谁能用“可能”“一定”“不可能”说一说。

1. 地球每天都在转动。

2.太阳从西边升起。

3.摸出黄色的棋子。

引入课题：今天继续研究有关可能性的知识。

设计意图：复习三年级学过的可能性知识，会用“可能”“一定”“不可能”来描述事件发生的可能性。

二、慧心试才（检查预习，初步感知）

1.设计游戏。

同学们常常是参与一些游戏，下面我们来自己设计数学游戏。

（大屏幕出示）游戏材料：

2.学生先独立思考后，同桌交流。

请一组的同学（2位）到前面来一边说一边放乒乓球。

设计意图：通过游戏让学生感受事件发生可能性的大小，进一步体会游戏规则的公平性。

三、疑心促研（设疑激趣，合作探究）

根据学生回答，教师板书。

1．①号盒子只有2个白球，能否摸到黄球？（不可能）

从这个盒子中不可能摸到黄球，那么可以用一个什么数来表示从这个盒子里摸到黄球的可能性呢？（用“0”来表示）

2．从①号盒子里不可能摸到黄球，摸到黄球的可能性是0，从②号盒子里摸到黄球的情况呢？（一定摸到黄球）

可以用什么数表示从这个盒子里一定能摸到黄球呢？（用“1”表示）

小结：在客观世界中，一定能出现的现象或事件可以用数“1”表示。

从③号盒子里任意摸出一个球，能摸到黄球吗？（可能摸到黄球）

如果用数表示摸到黄球的可能性，可以怎样表示？

再放入一个白球，摸到黄球的可能性怎样表示？摸到白球的可能性呢？

设计意图：通过游戏明确用来表示可能性的分数的分子、分母是怎样确定的，体会事件发生的可能性与哪些因素有关。

四、群心荟萃（讨论交流，学习展示）

1．任意摸出一个球，摸到每种球的可能性是多少？

提问：用分数表示摸到每种颜色的球可能性的大小有什么规律吗？

2．智力问答。

设计意图：进一步体验事件发生的可能性与哪些因素有关。

五、智心点亮（总结归纳，提升训练）

有奖活动。（进一步整合和提升）

1．每个活动得奖的可能性一样吗？

2．你愿意参加哪个活动？

3．你能把第一个活动设计成更有吸引力的活动吗？

设计意图：紧紧依托不同形式练习进行教学拓展与提升，首先对练习题目进行了一定的创造和整合，形成一定的梯度。其次，把握课堂教学中的情绪起伏，以“有奖活动”的形式呈现，有极强的感染力和吸引力，把学生的情绪和注意力充分调动了起来。