认知因素对数学运算能力的影响-中学数学教学模式与学生能力培养

（一）数学概念对数学运算能力的影响

概念是反映事物本质属性的思维方式，数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式。掌握数学概念，就是要从概念的内涵与外延两个方面进行掌握。如果学生对概念出现理解不清的现象，就很容易出现数学运算的错误。

（二）数学思想方法对数学运算能力的影响

人们的数学思维体现在宏观和微观两个层面。从宏观层面上来说，数学思维由生动活泼的策略创造，其中包括直觉归纳、类比联想、观念更新、顿悟技巧等方面。从微观层面来说，要求学生的数学思维言必有据，并且可以用严谨的逻辑思维进行演绎。学生在对数学问题进行解答时，要从全局的角度进行分析，实现数学问题的转化与化归。^[3]

1.数学思想方法的含义

数学思想是对数学知识的本质认知，是从某些具体的数学内容和对数学的认知过程汇总提炼上升的数学观点。它在认知过程中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立在数学和用数学解决问题的指导思想，如模型思想、极限思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想。

数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等，如数学变换换元法、推理法。数学方法在实际运用中往往具有过程性和层次性的特点。每一种数学方法总包含着若干个环节或程序，每个环节的意义都是独特的，环节与环节之间也存在着某种联系，这是由数学抽象的层次性决定的。例如，数学变换的方法有恒等变换（分解组合、换元、配方、待定系数法等）、幂级数变换法（母函数法）、几何变换（正交变换、仿射变换、射影变换等）、积分变换和微分变化。数学思想与数学方式的联系是十分紧密的。一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。通常情况下，数学思想与数学方式不加以区分。

数学思想方法是对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认知过程中提炼出来的一些观点，在后续研究和实践中，被反复证实其正确性之后，具有一般意义和相对稳定的特征。数学思想方法是数学规律的理性认识，如化归思想方法、极限思想方法、统计思想方法、数形结合思想方法、几何的思想方法、代数的思想方法。

美国数学史家M.克莱因指出：“数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神使得人类的思维得以运用到最完美的程度，也正是因为这种精神决定性地影响着人类的物质、道德和社会生活。”日本数学教育家米山国藏提出，“不管从事什么业务工作，那种铭刻在头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用”。

2.数学思想方法分类

数学思想方法可以分为四个层次：第一个层次是重大的数学与思想方法，包括数理逻辑方法、几何方法、微积分方法、概率统计方法、模糊数学方法、拓扑方法、计算方法、数学模型方法等；第二个层次是一般的数学思想方法，包括观察与实验数学直觉、归纳与类比、数学证明、分析综合等；第三个层次是数学所特有的思想方法，包括数学等价法、数学表示法、公理化法、关系映射法、数形结合法、函数分析法、几何变换法等；第四个层次是数学问题解决过程中的具体技巧，如十字相乘法、配方法、化归法、逼近法。

3.常见的数学思想方法

（1）函数思想

笛卡儿的方程思想是：实际问题—数学问题—代数问题—方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程。求值问题是通过解方程来实现的，不等式问题也与方程是“近亲”，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：函数的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求中学生熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性方面都有一定的要求。人们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成是n的函数；数列问题也可以用函数方法解决。

（2）等价转化数学思想方法

等价转化是把未知解的问题转化到现在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范的问题。教师要不断培养和训练中学生的自觉转化意识，这有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高技能、技巧和思维能力。转化包括等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，要保证转化后的结果仍为原问题的结果；非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。中学生一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时应确保其等价性，保证逻辑上的正确。(www.xing528.com)

等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行，可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，用数学语言来进行表达；也可以在符号系统内部实施转换，如恒等变形。消元法、换元法、数形结合法、求值、求范围问题等，都体现了等价转化思想。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。等价转化思想的多样性和灵活性要求教师要更合理地设计好转化的途径和方法，避免生搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，应遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把遇到的问题，通过转化变成学生比较熟悉的问题来处理；将较为烦琐、复杂的问题，变成比较简单的问题；把比较难解决抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程。按照这些原则进行数学操作，转化过程既省时又省力，经常渗透等价转化思想，可以提高学生解题的水平和能力。

（3）分类讨论

在解答某些数学问题时，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想，更是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在中学考试题中占有重要的位置。

分类讨论要遵循的原则，分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不遗漏、不重复”。分类讨论问题的基本方法和步骤，首先，确定讨论对象及所讨论对象的全体范围；其次，确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏；不重、分类互斥（没有重复）；第三，对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后，归纳小结，综合得出结论。

（4）数形结合

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数代数式、方程（组）、不等式（组）、函数；一类是关于纯粹性的知识，如平面几何、立体几何；一类是关于数形结合的知识，主要体现为解析几何。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段、数为目的，如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段形为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾经给数学下过一个定义，“数学是研究数量关系和空间形式的科学”。数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而使问题得到解决。数形结合的思想，本质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化、几何问题代数化。在运用数形结合思想分析、解决问题时，要注意三点：①要彻底明白一些概念和运算的几何意义和曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；②恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；③正确确定参数的取值范围。

4.数学思想方法的教学与应用

数学思想方法起源于数学发展过程，数学的发展过程可以分为三个阶段：创新阶段、理论建立阶段和应用阶段。认识数学发展的过程就是理解数学思想方法的方式。

数学思想方法的教学应遵循三个原则：①反映数学发展规律，重视数学概念的形成背景，善于运用生活中和数学中的矛盾提出问题；②根据教学内容渗透相应的数学思想方法，既要教知识，也要传达数学的精神；③引导学生探索或体验相应的数学思想方法，通过“直觉—试探—思索—猜想—证明”这一途径去学习数学和数学思想方法。

（三）数学运算法则对数学运算能力的影响

数学运算法则在数学学科中占有重要的地位。在中学数学中，三角函数运算法则、概率统计运算法则、实数运算法则等这些运算法则之间都存在着很大的区别。因此，学生一定要牢固、灵活地掌握每一种运算法则，才能保证运算结果的正确性。

（四）算法选择、运算技巧、检验习惯对数学运算能力的影响

很多学生在数学考试之后，会把自己的失分原因归为粗心、马虎，但实际上，这是学生的运算习惯在产生作用。如果说算法选择与数学思想是有些关联的，那么运算技巧就需要学生在日常的学习中进行学习与积累。运算技巧是学生在运算过程中运用的技术。在解题过程中，如果学生选择了恰当合理的运算技巧，就可以迅速、准确地解答问题。在日常数学课堂教学中，教师应在课堂上对运算技巧进行归纳和示范，让学生可以在平常的学习中多加练习，从而巩固和提高自己的运算技巧能力。很多学生在数学考试后反映，他们无法在规定的时间内完成试卷上的所有题目，做完试卷之后，对这些题目的解读过程与结果进行检查，更成了一个可望而不可即的目标。

总而言之，在保证运算正确性的基础上，应让学生熟练掌握正确的运算方法和运算技巧，同时尽量保证运算结果是正确的，运算过程是快捷简便的，只有这样才能真正提高学生的数学运算能力。