中学数学运算能力的培养与提高

（一）运算能力的基本特点

1.运算能力的层次性

在数学发展史上，不同类型的运算都是由简单过渡到复杂、由具体过渡到抽象、由低级发展到高级逐步形成和发展起来的。因此，运算能力的获得需要学生逐步、有层次地进行掌握。不掌握有理数的计算，就不可能掌握实数的计算；不掌握整式的计算，也就不可能掌握分式的计算。没有具体运算的基础，抽象运算就难以实现。由此可见，运算能力是随着知识面的逐步加宽、内容的不断加深、抽象程序的不断提高而逐步发展的。如果说数学的发展是无穷的，那么运算能力的提高也是永远不会终结的。简单来说，其层次性就在于随着学生知识的积累和能力水平层次的提高，那么学生的运算能力也会从基础到中等到优秀的层次的提高。

2.运算能力的综合性

运算能力既不能离开具体的数学知识而独立存在，也不能离开其他能力而独立发展。运算能力是与记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表达能力等密切相关的，它也与逻辑思维能力、空间想象能力等数学学科能力相互依存、彼此促进。中学数学运算能力是指对学生的记忆能力、计算能力、观察能力、理解能力、联想能力、表达能力、逻辑思维能力等的综合，需要教师结合各方面的因素，对学生各方面的综合能力进行培养与提高。

（二）运算能力的四个层次

中学数学对运算能力的要求可分为以下四点：①运算的合理性，这是运算能力的核心；②运算结果的准确性，这是运算能力最基本的要求；③运算的熟练性，这个方面主要考查的是学生思维的敏捷性；④运算的简捷性，这是运算合理性的标志，是对学生在运算速度方面进行的考查。运算的简捷性是指学生在运算过程中所选择的运算方式，运算路径较短、步骤较少，比较省时省力，这是运算能力的最高要求。运算能力可以反映学生思维的灵活性与创造性。中学生在进行数学学习时，可以利用妙算、图算等方式，近似或精确地对问题进行解答。

每一道数学问题的运算都是具有层次性的，也就是说，在运用运算解答问题时，第一步做什么，第二步做什么，第三步做什么，都具有一定的规律。如果学生可以掌握这种运算规律的话，就可以做出正确的运算。所以，教师在日常教学中一定要注意对具体问题的运算规律进行讲解，教给学生运算思路和总结运算规律的方法，以此来真正提高学生的运算规律。

在学习数学的过程中，学生一定要用认真、严谨的态度来进行学习，并将所学的知识、数学思维和实际问题进行综合，从而得到解决问题的方法。学生在进入中学接受学习教育时，会发现数学的难度有所增加，需要的知识量也更多。在进行运算的过程中，需要具备可以综合运用数学知识的能力，也需要更严密的逻辑思维能力。

（三）运算能力的基本要素

运算能力的基本要素包括合理性、准确性、熟练性、简捷性。

1.运算能力的合理性

运算能力的合理性是运算能力的核心，具体表现为运算要符合算理、对运算目标进行确定和运算途径的选择要合理。在运算过程中，每一步的运算及变形都要有具体的数学依据。可以说，运算的每一步变形都是演绎法的体现。对中学生数学运算能力进行的考查包括学生的思维能力和学生的思维品质。学生的思维品质又包括学生思维的灵活性、敏捷性、深刻性等。运算的目标、变形的方向和运算的路径是密切相关、不可分割的。学生在进行运算时，要明确运算目标，并以运算目标为出发点研究数学问题的变形方向，从而产生运算判断，以此来确定运算路径，这个过程中的每一个步骤都是运算的思维过程，是运算合理性的表现。

一般情况下，运算的目标是为了得到简化的数值结果或一个简短的代数式等。对于一些比较直接、简单的运算目标，学生比较容易确定和把握，但是对于那些比较复杂的，需要学生采用多种运算公式或进行多个运算步骤的演算才能得到结果的运算目标，学生比较难把握。

合理的运算途径不仅仅能够快速进行运算，还能保证运算结果的准确率。运算的步骤越多，采用的数学公式和概念就越多，学生出现错误的可能性就越大。因此，根据具体的问题，选择合理恰当的运算路径，可以提高运算结果的正确率，这是提高运算能力的关键步骤。学生应做到灵活地运用数学概念、数学公式、数学法则等，对同一个问题的多种运算方法和途径进行学习与掌握，通过观察、分析、比较等方法做出最合理也最简捷的判断。因此，对学生运算能力的考查包括对他们思维能力的要求和对思维品质的考查。总而言之，学生在进行数学运算的练习时，要以运算的目标为起点，研究数学问题的变形方向，确定运算的具体路径，得出最准确的运算结果。

2.运算的准确性

运算的准确性是运算能力的基本要求，如果学生没有根据具体数学问题的合理运算要求运算途径，得不到准确的运算结果的话，那么这个运算过程是没有意义的。考试对中学生的要求：学生在运算过程中要确保使用的数学概念、数学公式、数学法则都是准确无误的，所得到的运算结果也是正确的。那么，应该如何提升中学学生运算的准确率呢？在日常的练习与考试中，学生不要把自己出错的原因归结为马虎、粗心等，而是要找到错误的源头，从根源上纠正错误。因为从运算能力的本质上来说，马虎、粗心也是学生数学素质不高的体现。要想提高学生运算的准确率，就要从运算的方法、运算的规律等方面进行学习与研究。

3.运算的熟练性

考试对运算能力的考察，一般不是增大每道题目的运算量，而是通过控制题目的数量和运算量，增加思考强度和思维深度来实现的。为了适应考试的这一要求，教师可以在日常的数学运算练习中，重点对学生如何进行计算进行训练，而不是放在冗长的计算过程和运算符号上。难度过大、过于繁杂的训练，会白白消耗掉学生宝贵的学习时间，这不仅不会提高学生的数学运算能力，还会影响学生关于数学概念、数学方法，特别是思维方式的发展。

学生实际计算量的大小往往能够反映出考生能力水平的差异。“熟能生巧”，这个技巧在提高学生的运算能力方面虽然有一定的作用，但是学生运算熟练性的提高主要依赖于运算方法和相关联的数学思想方法。

4.运算的简捷性

运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短，运算步骤少，运算时间短。运算的简捷性是运算合理性的标志，也是运算速度的要求。考试对运算简捷性的考查，主要体现在学生在运算过程中对数学概念的灵活运用、对公式的恰当选择和对数学思想方法的合理使用。

在教学中，教师要重视学生对算法和算理的理解。算法和算理是计算数学中两个不同的术语，有着不同的内涵。算理是指计算的道理，算法是指具体的计算方法。算理和算法之间的关系是十分密切的：算理是运算的基础，算法是运算的概括。中学生在数学运算中，会出现一个“断层”的现象，也就是说，学生可能会对不可能出现的运算结果没有任何反应。在这个情况下，即使让中学生对计算的依据进行阐述与说明，这些算理也是“背运算顺序”的。所以说，中学生在实际运算过程中，更多的是对如何实施算法进行机械地背诵，缺少了利用算理进行计算并检验的意识和习惯。正确的运算必须是以透彻的理解算理为基础的，学生只有保持清醒的头脑，才能做到清楚掌握算理和对法则牢固记忆，如此，才能够保证他们在运算过程中有条不紊地进行运算。教师在对某一个数学问题进行讲解时，要鼓励学生从不同角度对这个问题进行运算，针对同一个问题可以思考出多种解题方案，并对这些解法进行归纳与总结，让学生可以在独立思考、合作交流的过程中确定最好的算法，真正体现运算的合理性、准确性、熟练性、简捷性。

（四）算法对学生提出的基本要求(www.xing528.com)

1.要求学生透彻理解数学概念，运用有关的概念进行运算

培养学生运算能力的一个首要前提是让中学生正确掌握并理解数学概念，在理解的基础上对其进行记忆，并运用公式和法则进行计算，在运用的过程中加深理解。理解，就是符号所表示的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立起的非人为和实质性的联系。具体来说，理解就是在感知的基础上，通过思维加工，把新知识的内容同化到已有的认知结构中，或者改变学生已经形成的认知结构，把新的数学知识融入其中，以获得对事物本质和联系的认识。

2.要求学生深刻认识数学公式，了解运算法则的语法结构

教师在教学过程中，要对数学公式的原理进行解释，对数学公式与运算法则的推导过程进行讲解，让学生参与到数学公式的推导中，让他们在学习与探索中加深对这些公式的记忆，以便更加灵活地运用这些公式来进行解题。

3.要求学生注意教师对经典例题的讲解与示范，明确解题的运算目标

教师通过讲解与示范典型的例题，可以帮助学生顺利地进行由理解知识到应用知识的过渡，从而提高学生的运算能力。所以，教师在数学教学中，一定要对自己的板书进行规范的整理与展示，并把例题中需要学生学会的关键步骤进行展示，让学生根据自己的板书模仿解题思路，逐步实现对这些题型的运算过程的掌握，以此来达到提高学生运算能力的目标。

4.要求提高学生的推理能力

数学运算是指根据运算定义及其性质，从已知的数据、算式、条件推导出运算结果的过程，从本质上来说，也是一种推理的过程。运算的正确性取决于学生在运算过程中的推理方向和方法是否正确。如果推理的方向与采用的推理方法出现错误的话，就会导致运算出现错误。所以学生在运算推理中，要特别注意等价变换。教师要注意了解学生的推理思路，在学生出现推理错误时，及时指导学生，帮助学生找到推理错误的根源，从根源上纠正这些错误，以此来达到提高学生运算能力与推理能力的目的。

（五）运算能力的目标

1.对题目信息的挖掘能力

学生要对题目的已知条件和结论中所隐含的关键信息进行充分挖掘，并且可以根据这些已知信息寻找并设计出一个最简捷也最合理的运算途径，做到这些的首要前提就是学生的运算能力可以达到一定的要求。我们通过研究运算成绩不同的学生得出：学习成绩好的学生可以准确、迅速地进行运算，并且会得出比较准确的计算结果，在进行数学问题解答时，耗时较短，也比较省力；成绩一般的学生，无法对题目中的已知信息进行深入地挖掘和理解，在进行运算解答时，往往会选择一些运算步骤较多、计算量较大的方法，虽然投入了大量的精力与时间，但是得出的运算结果往往并不准确。所以说，学生的运算能力决定了他们是否能够有效挖掘题目中的深层信息。

2.定义、公式、法则和定理的运用能力

中学生对于同一道题所运用的数学概念、数学公式、数学法则的不同，决定着学生进行运算过程的繁简性，也对运算结果的准确率有很大的影响。运算能力较高的学生，在看到数学题目时，会选择最准确的数学概念，确定最简便的数学公式和数学法则，用最少的运算步骤来进行解答，这减少了在运算中出现错误的概率，从而保证运算的正确率。

3.运算方法的选择能力

恰当地选择运算方法，决定着运算量的大小。运算能力较强的学生，往往会选择最合理的运算方法，以此来保证最小的运算量，并在进行运算的过程中减少时间消耗，保证运算是快速准确的。学习一般的学生往往选择常规的方法进行解题。在某些情况下，常规的方法耗时较长，且运算量较大，在运算过程中很可能会出现运算错误。所以，提高学生的运算能力，有利于他们在实际练习中选择最恰当的运算方法。

4.数学思想和方法的动用能力

数学思想包括数形结合、函数和方程思想、逻辑划分和等价转化等思想，数学方法包括选定系数法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法，这些数学思想和方法的运用也是运算能力的一个重要组成部分。学生提高自己的运算能力，就可以灵活熟练地对这些数学思想和数学方法进行选择，大大降低了数学的学习难度，也提高了学习效率。

5.估算、口算能力

估算、口算能力也是学生数学能力的一个重要部分。学生具有估算、口算能力，就可以在进行运算时对问题的结果进行合理的估算。判断题目时，就可以在不进行准确完整的运算的情况下，优先排除与估算值相差较大的选项，有助于学生做出正确的选择。要想提高学生的运算能力，首先，教师要重视学生的口算教学。口算是笔算、估算和简算的基础能力。中学数学教学中允许学生依赖计算器来进行计算，这在某种程度上削弱了学生的计算能力。对此，教师要精心编制一定数量、涉及较广的口算练习题，并采用多种方式让学生在课余时间进行口算练习，把口算能力的训练贯穿于整个中学阶段的教学过程中，让口算训练成为一个长期的训练课程，以此来逐步提高学生计算的速度。其次，教师还要培养学生的估算意识与估算能力。估算能力是学生计算能力中的一个重要组成部分。提高学生的估算能力，可以帮助学生提前预知运算结果，对运算结果的具体数值有一个大致的估算与了解。如果通过运算得到的结果与估值差别较大的话，学生就要对这个运算过程进行检查，必要时要重新计算。另外，良好的估值能力还可以帮助学生提高数学分析能力。这对提高学生的数学成绩与数学能力有非常大的帮助。估值能力还可以帮助学生检验运算结果的正确性。学生在进行数学练习或考试时，很可能会面临时间不够以至于没有时间进行检查的情况。如果学生的估值能力比较高的话，可以减少他们检查的时间，帮助他们判断填写在试卷上的运算结果是否正确。

（六）运算能力研究综述

目前，我国的数学教育者对思辨性研究较多，实证研究较少，对于数学中运算能力的研究更少。

数学教育家曹才翰、蔡金法曾经在《数学教育学概论》中简单提出了运算能力的概念，并指出：“运算能力是逻辑思维能力和运算能力的结合。”章士藻曾经在《中学数学教育学》中对运算能力展开了叙述。他指出，“培养运算能力的前提是掌握运算的概念和性质，基础是对相关的数据与公式进行熟记，关键是要掌握运算的通则与通法，提高运算能力的必要的条件是善于观察、分析推理，法宝是积累运算技巧”。陈重穆和宋乃庆的观点对数学教学理念的研究影响较大，他们在《淡化形式，注重实质》中对“过度形式化”的许多现象提出了批评，并在《再谈“淡化形式，注重实质”》中，进一步阐述了“形式应该为内容进行服务”，淡化了要从实际出发等观点。李土镝在《熟能生巧吗》《熟能生笨吗》《熟能生厌吗》三篇文章中，对教学中适度与过度训练的问题进行了研究与探讨，指出熟能生巧的关键因素在于对训练量的掌握。

田中、徐龙炳和张奠宙对数学基本技能的探讨与研究相对来说比较深入，他们认为数学技能训练是数学知识转化为能力和素质的中间环节。但是，数学运算技能与数学运算能力的概念的内涵与外延差别很大，教师应在如何培养中学生的数学运算技能的教学策略方面做深入的研究。