特殊化与一般化的关系：中学数学教学模式与学生能力培养

特殊化方法是指从一般上升到具体的逻辑方法。它的基本形式有两种：一是以简单情形看待数学问题。当一个问题看不清楚时，就要把问题简化一下，简化问题或退一步看问题，都是为了有利于看清问题，善于将问题推到简单情形可以为探索研究途径提供线索和积累经验，并成为解决问题的突破口。二是以特殊情形看待数学问题，即从众多已知信息中考虑极端的情形，着眼于某种数量达到极端值的对象或某种图形达到极端性的对象并把数值的极端性质或图形的极端性质作为分析问题的出发点，进而达到解决问题的目的。

简单情形和极端情形是特殊化方法的两个方面，尽管它们都是为了简化问题的难度，但它们是有区别的。简单情形是把复杂问题退化到能入手的情形，然后对其逐级论证，并通过研究退化问题的启示，发现解决问题的途径。极端情形是对问题特殊性质的研究，这个特殊性质并不表示是一个简单的问题，它代表着问题结构中稳定的不变的特点，利用这一特点可以使问题的全部结构明朗化，因而可一举突破问题的“防线”，获得并非验证性的成功。

特殊化方法与一般化方法是一对辩证关系的反映。这是因为数学本身是具体化与抽象化辩证统一的结果，概念原理从数学内部理论来说要从具体到抽象，从数学外部反馈来说要从抽象到具体，即一方面需要更高的抽象和统一，另一方面需要更广泛的具体。从数学问题编制的角度来看，需要体现问题的一般性，以利于受试者获得较深刻的认识；而受试者又必须把抽象化为具体，以利于弄清楚数学内部的结构、性质，启发解题思路。从抽象回到具体是数学教学与学习的重要过程。学习任何一个数学概念、原理，因为它是已被抽象了的知识，是来源于数学实际的抽象，为了弄明白它，需要使它退化到直观的实际，这就是具体化。如果没有具体化过程，高度抽象的数学理论就难以说清楚。从抽象回到具体，是一个辩证的思维过程。抽象不是空洞的幻想，而是对客观事物某一方面本质的、概括的反映。数学实际是抽象上升运动的可靠基础。同时从抽象上升到具体的每一步过程，都应时时同事实相对照，并不断由实践来检验。数学正是与实际的紧密结合才焕发出灿烂的光彩，才具有如此强大的生命力。(www.xing528.com)

在数学逻辑思维方法中，综合、演绎、一般化思维是抽象思维的表现形式，它们都是运用思维的力量，从对象中抽取本质的属性而抛开其他非本质的东西。分析、归纳、特殊化思维是概括思维的具体表现形式，它们都是在思维中从单独对象的属性推广到这一类事物的全体的思维方法。抽象与概括和分析与综合一样，也是相互联系、不可分割的。数学中的比较思维是一种特殊的思维形式，它既有逻辑思维的一面，又有形象思维的一面，形象因素产生比较，推理因素遵循逻辑。

在数学逻辑思维中，抽象数学思维既不同于以动作为支柱的动作思维，也不同于以表象为凭借的形象思维，它已摆脱了对感性材料的依赖，把确定的已知经验作为直接的感性材料，凭借着思维的力量分析解决数学问题。因此，抽象数学思维一般有经验型与理论型两种类型。前者是在数学实践活动的基础上，以实际经验为“直观”依据来形成概念或关系，并进行判断和数学推理。例如，当有一定数学基础后，应用数学知识解决实际数学问题，就是运用了数学经验来解决的。后者是以理论为依据，运用科学的概念、原理、定律、公式等进行判断和推理。科学家和理论工作者的思维多属于这种类型。经验型的思维由于常常局限于狭隘的经验，因而其抽象水平较低。但是，作为学习和教学来讲，是承接前人经验财富的学习，形成和强化经验型思维是十分必要的。