数学关系推理的重要性

推理是指由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。推理是人在认识中由已知或经验寻找和发现未知结论的思维形式，是研究人的思维形式及其规律和一些简单的逻辑方法的程序。推理的形式是人在进行思维活动时对特定对象进行分析、综合的思维形式。推理的客观规律是形式逻辑，所以推理至少是含有两个命题的命题组，并且命题组中的命题在真假关系方面有确定的逻辑关系。推理的思维形式是舍去了推理的内容而存在的，两个推理可以内容不同但形式相同。也就是说，推理形式是用概念组成判断，用判断确定逻辑关系所进行的思维过程。推理的作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识。但在实际过程中所进行的推理并不一定都是正确的，为此真实可靠的前提和合乎逻辑规则是推理必须遵循的原则。推理的形式主要有演绎推理和归纳推理。演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊。归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般。

（一）数学模式

数学学习是模式的学习，数学思维也可以称为模式思维。数学模式的形成原理可以说为数学推理的思维框架提供了原型，给数学推理赋予了物质形象。

明确数学模式以及模式的意义是进行数学推理的物质前提。数学模式也是指对数学规律的认识，是知识或数学关系已形成的、具有本质联系的、可供提取操作的、合乎个体经验的、比较稳定的概括性认识。下面讨论三种最基本、最适用的数学模式，即概念模式、命题模式和关系模式。

1.概念模式

概念是反映事物本质属性的思维形式。概念的限制与概括及其逻辑方法巩固了数学知识结构，其中，逻辑方法是概念模式形成的基础。知识从结构上来说，就是概念和一些概念的这样或那样的联系。对于学习而言，概念的获得有三个阶段。第一阶段是感知概念，即能初步知道对象是什么，也可能说出事物对象的用处，即从功用上能说清这个对象，但不能把它与类似的概念区分开来。第二阶段，由对这个对象的认识初步获得概念的识别，已经大致可以把这一概念同类似概念区分开来，但还不能区分概念所反映事物的重要特征和非主要特征。第三阶段，摆脱了非主要特征，并把这一概念纳入同种属的概念系统中，获得对概念应用环境的认识。

2.命题模式

逻辑学把具有真值的语句叫命题，它是联结概念的纽带，是组成推理的要素。命题是表示判断的语句，每一个命题都表达了一个判断，中学数学中所涉及的命题大都是非模态命题，即简单命题和复合命题。简单命题视其断定的是对象的性质还是对象间的关系，分为直言命题（性质命题）和关系命题。

复合命题根据其包含各肢命题的特点以及逻辑连接词的不同性质，分为联言命题、选言命题、假言命题和负命题。这些命题的真假和形式以及在推理中的作用都是命题模式的基本内容，奠定了形成经验性思维的重要基础。数学命题与数学概念的关系体现为：首先，数学概念是组成数学命题的元素，离开了数学概念就没有了数学命题，也就没有了数学定理；其次，数学概念内涵丰富，需要用数学定理去揭示，概念与概念之间的关系也需要用定理去揭示。所以，离开了数学定理，概念就是孤立的、零碎的东西，数学就失去了活力。

数学命题是命题的一种，它是表达对数学对象及其属性判断的语句，一般用语言、符号、式子等表示。通常把数学公理、定理、公式、法则、性质或数学中表达判断的语句（包括定义）称为数学命题。数学命题体现了客观事物的联系性，即任何事物都是广泛联系的。数学是对客观世界数量关系和空间形式的最突出的反映，数学对象的这种彼此因果关系能充分显示数学概念之间千丝万缕的联系，这是数学命题形成的重要条件。

3.关系模式(www.xing528.com)

关系模式是数学逻辑关系中范围更广的一种结构模式。它可以是概念之间的关系，也可以是命题与命题之间的关系，还可以是不同数学对象之间的相似关系，等等。掌握一定的数学关系模式对培养数学推理能力有重要意义。熟练地掌握一些关系模式的运用，不仅可以缩短解决问题的时间，更能使数学表达准确、简洁。

在数学推理中，关系推理也是一种重要的思维形式。关系推理是以关系命题为前提，并根据关系的逻辑性质进行的推理。关系推理分为纯粹关系推理和混合关系推理。前提与结论都是关系命题的推理就是纯粹关系推理，如直接关系推理、间接关系推理；既有关系命题又有其他命题的关系推理就是混合关系推理。

（二）数学推理能力的转化

数学推理能力也是一种操作技术能力，反映了数学关系和思维语言的转化能力，这种转化有三层含义。

1.化未知为已知的变换推理思维

我国北宋数学家沈括在《梦溪笔谈》中所说的“见简即用，见繁即变，不胶一法”阐明了注意化繁为简的原则，体现了变换的思想。他应用这一思想创立了“隙积术”，用现在的话说就是高阶等差级数的求和法。他的“会圆术”的思想方法就是分析与综合法。变换推理思维在数学逻辑规则中，到处都有踪影。在分析和解决实际数学问题的过程中，需要将自然普通语言翻译成数学语言，这是语言间的一种转换。推理中在符号系统内部实施的转换，就是所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值、求范围问题等都体现了对价转换思想，更常用的是在函数、方程、不等式之间进行对价转换。可以说，对价转换是将恒等变形在代数式方面的形式变化上升到保持命题的真假不变的真实转换。由于其多样性和灵活性，转换推理要合理地设计好转换的途径和方法，避免生搬硬套题型。在数学操作中实施对价转换时，要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把遇到的问题通过转换变成比较熟悉的问题来处理，或者将较为烦琐、复杂的问题变成比较明晰、简单的问题。在应用对价转换的推理方法解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换，可以在宏观上进行对价转换，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等等；或者把比较难以解决、比较抽象的问题转换为比较方便、直观的问题，以便准确把握问题的求解过程或求证过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转换。按照这些原则进行数学操作，转换过程省时省力，有如顺水推舟。教学时经常渗透对价转换的推理思想，可以提高学生解题的水平和能力。

2.由条件向结论转化寻找辅助量的推理思维

数学家笛卡儿把直觉和判断看作科学的求知之道，认为一个数学问题的推导就像一条结论的链、一列相继的步骤序列。有效的推导所需要的是在每一步上直觉的洞察力，从而说明了第一步所得的结论明显地来自前面已得的知识。笛卡儿对直觉在数学论证上的重要性给了肯定的回答，“关于我们所研究的对象，我们不应该去寻求别人的意见或者我们自己的猜测，而仅仅是寻求清楚而明白的直觉所能看到的东西，以及根据确实的资料做出的判断，舍此而外，别无求知之道”。数学家（也是教育家）波利亚长期致力于数学解题教学研究，他十分重视数学推理的结构。他认为，数学解题是由一个信息发现另一个信息的过程，是寻找辅助问题的过程。他指出，“所谓辅助问题是这样的一种问题，我们之所以注意到它，并在它身上下功夫并不是为了解决它本身，而是因为我们希望注意它，对它下功夫可以帮助我们去解决另一个问题，即我们原来的问题”“去设计一个合适的辅助问题，从而用它求得一条通向一个表面看来很接近的问题的通道，这是最富有特色的一类智力活动”。在数学推理过程中，想法和表达的思维方向是不一致的，思维开始工作时，发端于已知问题呈现的信息，但这些信息对解决问题没有直接的用途。虽然如此，这些信息可以启发思路，提出一个过渡问题，如果解决了这个过渡问题，就意味着解决了已知问题，显然这个过渡问题就是波利亚所讲的“辅助问题”。依据这个思想，一个个辅助问题被提了出来，从辅助问题提出的顺序来看，最后一个辅助问题是最容易解决的，但这个辅助问题离已知问题距离是最远的。这就是说，离已知问题较近的辅助问题是较难解决的，需要过渡问题帮忙。这表明，在数学推理中，发现解法永远也离不开问题的提出，这些问题依次发生因果关系，前一个问题是后一个问题的条件，后一个问题是前一个问题的结果；而且每提出一个问题，它总是离目标问题越来越远（为了有利于寻找解的结果所做的翻译），而离解的结果就越来越近，这种现象在数学推理中称为推理的反变现象。

3.由前提追索目标的联想推理思维

归纳、类比、猜想是联想推理的重要工具。科学家欧拉是观察联想推理的大师，一生用他的科学思想为许多学科和分支奠定了基础。欧拉用归纳法，凭观察、大胆的猜想和巧妙的证明得出了许多重要的发现。欧拉认为，归纳阶段，用特例验证问题之后，就能得到不少归纳的证据，这些证据能解除起初对问题的怀疑，树立对问题解决的坚强的信心，有了这种信心就没有解决不了的问题。类比是某种类型的相似性，它是一种更确定的和更概念性的相似。欧拉是类比推理的巧匠，他应用了从有限过渡到无限这一法则，从代数方程过渡到非代数方程，这种从有限到无限的类比极容易出现错误，而欧拉知道如何避开错误，主要的是通过验证和归纳，同时大胆地使用类比法。对于猜想，波利亚指出：“对于正积极搞研究的数学家来说数学往往也许像猜想的游戏，数学家的创造性工作的结果的论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理，是由猜想来发现的。”科学的猜想，大胆的猜想，会给人以鼓舞的力量。猜想也能为数学学习提供发现、联想和类比，以已有的数学成果和数学知识为基础的猜想可以取得学习上意想不到的效果。归纳类比和猜想为思维方向提供数学活动的线索，为数学推理保驾护航。有前提的观察获得重要信息的发现能有效地与经验发生对接，唤醒知识的整合和提取，实现方法、技能和相似的联想。