数学思维中的智力因素揭示中学数学教学模式的学生能力培养

数学思维方式的形成与数学思维系统的各种要素的相互作用有关。也就是说，数学思维方式的构成要素包括数学知识基础、数学观念、数学语言、思维传统及相应的学习方式等智力因素。由于数学思维形式和方法的多样性，数学思维对形成智力工作方式的效果有所不同。从个体思维的角度分析，思维的知识基础、观察、记忆、操作等是影响数学思维发展的主要智力因素。

（一）知识基础与数学思维发展

数学思维的知识基础包括数学知识结构、数学语言和数学思维传统等。数学知识基础指数学的基本概念、原理、方法和语言表达，这些知识是影响新知识学习和掌握的关键因素。数学语言是传达数学思维的工具，思维只有在一定的语言描述下才有意义。数学思维传统指在学习中对学习新知识、新方法缺乏灵活性，抱着过去的学习方式不放，追求原有的思维格式，在知识发生的环境不同的情况下，学习思维不能及时保持与环境的吻合，这是一种定势思维。

在数学学习中，原有的数学知识系统是维持学习心理的重要条件。试想一个人如果没有函数知识做铺垫，他又如何有兴趣或有心情去学习导数；如果一个人仅仅具有四则运算的能力，他又如何能看懂导数运算法则。因此，原有数学知识系统对个体学习的愿望、情绪和态度有极其重要的影响，同时也抑制了数学思维的发展。所以，数学原有的知识基础是影响数学思维发展的第一个重要智力因素。

在数学学习中，思维的方式并非一成不变的，它要与数学知识生成的思维环境相适应。例如，学习数列，要理解数列通项的形成过程，掌握递推的思维过程。学习立体几何，要弄懂空间的概念，掌握线、面、体相互转化的思维过程；数学知识生成的环境对原有思维认知结构起着调节和提升的作用，解开定势思维的束缚必须适应知识学习的环境。这在数学解题中十分重要。数学问题解决是对原有思维结构的检验和充实，是思维适用环境的实践要求。

在数学学习中，特别要注意善于积累知识与运用知识，要有自发地积累知识的动机与运用知识的动机，要有根据知识生成的环境自发地改进思维方式的动机。在数学教学中，要帮助学生有意义地积累知识，让学生能学懂、能理解，会应用所学知识解决问题；要注意设计好教学过程，帮助学生认识新知识的生成环境，提高学生学习新知识的应变能力；要关注学生在解决数学问题过程中的思维技能并及时指导和反思，使学生思维反映与数学问题本身的思维格式相一致，从而提高学生学习数学的积极性。

学生数学思维的基础，在于平时一步一步地学习与积累。在积累的过程中，教师除了传授新知识、指导学习方法和检验学生学习收获外，还要帮助学生形成良好的学习习惯、提高有意义学习的效果。有意义学习理论认为，学习是个体构建自己知识的过程，这意味着学习是主动的，是对外部信息做出主动的选择和加工。外部信息本身没有意义，意义是学习者通过新旧知识经验反复的、双向的相互作用过程而构建的。这种构建是以原有经验系统为基础对新的信息进行编码，完善自己的理解，而且原有知识又因为新经验的介入而发生调整和改变，所以学习不是简单的信息积累。学习同时包含由于新旧经验的冲突而引发的观念转变和结构重组，学习过程并不是简单的输入、存储和提取，而是新旧经验之间双向的相互作用过程。

语言是思维的外壳，数学思维的活动作为思维的实现是离不开数学语言的。因为数学语言是用来储存、传递和加工数学知识的物质载体，它总是以表述、记录数学知识的形式出现，作为数学知识展示的窗口。数学语言把数学思维的结果用词、符号及其语句表达出来。没有数学语言，思维也就不存在了。

思维离不开语言，思维越复杂，对表达思维的语言要求越高，对运用语言能力的要求就越强；语言离不开思维，语言所表达的概念和知识是引起思维的条件，语言越丰富越引起思维的开展。

在数学学习中，数学语言和数学思维总是联系在一起的。解决问题的思维过程，是通过数学语言描述出来的。正如物理学家波尔所说：“数学不应该看成是以经验的积累为基础的一种特殊的知识分支，而应该被看成是普通语言的一种精确化，这种精确化给普通语言补充了适当的工具来表示一些关系。”在数学思维中，必须使用数学语言；在语言的运用中，必然体现数学思维。

一定的语言能力是一定的思维能力的标志。这主要体现在三个方面。其一，数学语言是提高数学思维确定性的形式和手段。在自然语言中，多属于陈述语句，有些可能是模糊的或多义的。但数学语言，特别是符号语言都是准确的、明确无误的。所以，数学语言的使用就是为了保证数学思维的确定性。其二，数学语言是提高数学思维抽象性的形式和手段。数学语言是对数学具体对象本质的描述，它具有简单性、精确性和确定性。正因为如此，它增强了数学思维的抽象性和概括性。其三，数学语言是提高数学思维质量与效果的形式和手段。数学思维是用来解决问题的，当思考问题、阐述观点、解答习题时，就会自觉和不自觉地使用数学语言，力求增强语言描述的科学性、准确性。这种语言和思维的可比较性促进了思维的质量和效果。

思维传统往往是一种思维定式的体现，在相似背景下，定势思维能够促进问题的解决。然而，数学学习不是知识程式化的、方法格式化的学习。无论是知识的学习，还是技能的形成，都是一种动态的过程，而且学生的学习是在教师指导下的有意义的学习。教师为了帮助学生获得更多的经验，总是在不断地变化环境、改造环境，让学生适应不同背景下知识的学习和能力的增长。所以，掌握知识、培养能力是在知识的迁移和思维的迁移中完成的。因此，传统思维只有在新的学习环境中，自觉改进和迁移，才能得到正确发展。

（二）观察与数学思维发展

观察是知觉的特殊形式，也是个体认识问题的开始。观察是思维的门户，没有观察或不善于观察对数学的学习效果和数学思维品质的养成都是不利的。

但观察并不是简单或随意的，观察必然带有一种有目的、有预见、比较持久的行为，它总是包含着积极的思维活动。观察能力的高低不仅仅反映一个人的智力水平，而且对于实践的成功有着十分重要的意义。学习数学新知识是面对新的数学对象开始的，其信息直接来源于数学对象。通过观察开启思维，把握新的数学对象生成的环境，及时调整原有思维结构，以利于在思想中储存新知识的有用信息。能否迅速、准确地发现数学对象的全部信息，并合理调配学习的思维方式，是新知识掌握的关键。如果能准确把握全部信息，通过思维的作用，就找到了理解新知识的“钥匙”；如果观察盲目、缓慢，甚至找不到关键信息，那么就难以找到学习的“门径”，甚至会造成“差之毫厘，谬以千里”的后果。

观察是学生接受新知识的第一位老师，其实这位老师也就是他自己，即靠学生自己的构建来完成，以学生自己的经验、信念为背景在老师的帮助下来分析知识的合理性。学生的学习不仅是对新知识的理解，而且是对新知识的分析检验和批判。

“一快”“二多”“三准”是观察的三个基本品质，而“准”是观察的最佳品质。观察中的“快”并不是指走马观花，不是指阅读的速度，而是指观察本身的“快”。“快”包含了主动、欲望的心理状态，克制了被动、灰暗的心理情绪。观察中的“多”指对数学事实要多接触、多思考、多动手，训练和提高自己的观察能力。观察中的“准”不仅表示细致、确定，而且对信息的加工、思维的构建也到位。对数学问题的学习，观察的目的就是为了准确地收集信息，为分析这些信息提供思维的基础。因此“准”才是把握数学对象基本特征的关键，否则就只能获得一些似是而非、模棱两可且对数学对象分析没有用的信息。大量混沌的信息充斥着头脑，不但不能成为精神上的财富，反而会造成信息的污染，从而干扰健康的记忆和思维、降低学习的效果。从心理学角度讲，是否有求“准”的需求和能力，无疑是问题的关键。因此，观察水平是影响数学思维发展的第二个重要智力因素。

从观察的方法来看，有描述性观察、分析性观察。描述性观察是将观察的现象用语言描述出来的观察。在这种观察中，感觉、知觉发挥着重要作用，但要描述所观察现象的特征，不费一番脑筋是不行的，所以必须进行思维。初始的思维是形象思维，它是对感知的材料整理加工的过程，而对感性材料的加工过程实质上就是运用逻辑的过程。分析性观察是在描述性观察的基础上，有意识地将显示的观察点集中于某处，有意突出本质特征，并进行比较与分类、分析与综合、抽象与概括，以形成对问题的认识。科学的观察有三个基本特点。

1.观察要有明确的目的

观察不同于一般知觉，人在进行观察之前，总是先有一个目的，并根据这个目的设计行动过程，再按这个过程去主动知觉事物对象。通过观察达到思维与知觉的统一。因此，观察也是思维的知觉。人类社会的发展离不开细心认真地观察品质，通过客观世界摄取丰富而准确的信息，经过头脑的加工、改造和制作过程，从而创造出新的东西来。没有观察就不可能有发现。科学发现中引起思考的命题无不反映观察的结果。达尔文通过对大自然的长期观察创立了生物进化论。巴甫洛夫通过对狗的实验观察，创立了高级神经活动学说。牛顿创立万有引力原理，是因为他观察到了生长在树上的苹果下落而引起的细心的思考。高斯上小学时创造性地发现了前100位正整数求和的计数法（后被抽象为等差数列前n项和的公式），是观察到了从1到100的数的排列规律，激起了他的求知欲和认真的学习态度。现代心理学研究表明，人对客观事物的认识活动，产生于一定实践任务的要求，要求越具体、越明确，对认识的事物就越有强烈的关注。在实践活动中，主体有时对反复出现在身边的事物熟视无睹，就是对这些事物缺乏明确的实践目的要求。数学无论是学习还是教学都是有目的的活动，因此学习与教学中的观察必然有明确的目的和要求。对于学习而言，学习前要有思想准备（包括已有知识的准备和激情与信心的准备），要明确学习内容的目标，增强观察的针对性、有意义性和准确性。

有学者为了证明观察目的明确的重要性，选择了心理学家做实验。在德国召开的一次心理学研究会上，主持人有意对所有到会的心理学家做了一个实验。会议几乎在开始的同时，突然冲进两名手持凶器的“歹徒”，“歹徒”在会场里打斗了20秒钟才停下；之后会议主持人要求与会代表每人写一篇目击经过，来反映“斗殴”的真实场面。结果从40篇现场记录报告中，主要事实不真的有一篇，低于20%；在20%—40%之间的有14篇；一半以上的报告中，有10%以上的细节纯属臆造。之所以造成这种后果，是因为尽管这些心理学家目睹了事件发生的全部经过，但却全无观察这个事件的心理准备，因此他们的观察是随意的、无目的的。由于不明确目的和无观察的准备，在报告中只能凭“斗殴”的激烈场面随意编制。所以，离开了观察的目的性，人的观察活动就会被情绪和兴趣所牵制，观察中的思维就会失去应有的选择和保持功能，也就难以有确定的指向、稳定的集中，产生似是而非的后果是必然的。

数学问题解决具有明确的指向性。对于学习而言，就需要观察问题的结构和问题所释放的信息，找准研究的目标，调理思维状态，再经过分析来唤醒经验。正如数学家波利亚指出的，“目标启示了方法和手段，一个愿望通常总是很快地伴随着能导致愿望实现的某些行动的设想”，使思维眼前一亮。由于受到目标的启示，问题解决自然地要按照某种计划和程序去实现目标。笛卡儿也指出：“当一个问题出现时，我们应当及时地看一下，是否首先去考察某些别的问题会带来好处，并想一下有哪些别的问题，以及按什么顺序去考察它们。”一般来说，在各种浮现的念头中有三种考察问题的顺序，一是顺着已知条件摸索未知结论的目标，即综合方法或顺解法；二是从目标入手向前推，直到发现目标存在的已知必要条件，即分析方法或逆解法；三是交替着从两端推直到建立与某个中间对象的联系，即逼近方法或夹进法。显然，这都是数学思维形成的过程。面对要解决的数学问题，首先应做好两件事来把握对象的整体信息。一是审视问题的要求和目标，弄清已知与未知的内容。二是通过观察大致明确所用的知识和方法，初步确定一个排列解答的顺序，并对个体可能完成的概率做一个大致的估计，以保持稳定和积极的心理状态，之后再按确定的方案认真解决；同时，要摒弃观察的随意性，尤其是对审题以及对句意理解要明确要求，做到心中有数。

2.观察要有认真细致的态度

从数学学习的心理活动来看，数学学习中数学思维的活动过程大致可以分为认识的发生阶段和知识的整理阶段。前者是指概念如何形成、结论如何被发现的过程，后者是指用演绎法进一步理解知识、开拓知识的过程（有些相似于数学创造中的“发现”与“论证”两个阶段）。由于前一阶段是在教师的引导下学生探索知识的过程，因此，它闪耀着创造的火花，是养成观察思维的有效途径。在这一个阶段一定要保持清醒的头脑，认真、细致阅读概念和原理，仔细观察范例的表述形式，寻找知识生成和发展的背景，以求达到学懂和全面理解。这一阶段的学习，除了吸取老师的经验外，在自我提高的过程中细致观察就成为学习效果的重要基础。如果达不到观察的细致和认真的要求，就会为下一个阶段的学习造成不可估量的障碍，促进思维的发展就是一句空话。因此，前一阶段比后一阶段更为重要。由知识展现到促进数学思维活动的全过程中，要保持观察的地位和质量，使数学学习同思维发展同步。

数学的概念、判断、推理，包括数学的学习对象都有它形成的基础和条件，本身显露着某些特定的信息。认真细致地观察有利于快速地捕获这些信息，为思维的加工与改造提供先决条件；认真细致地观察还可以维持、延续、拓展思维的空间。这不仅有利于促进新知识的快速掌握，而且更能延展思维的强度，发展和提高数学思维能力。

认真细致地观察对数学教学有重要启示。在数学教学中往往存在着忽视对学生有意义观察能力的培养。教学中，只重结论不重过程、用结论去替代过程，或者只重应用、不重形成等现象依然活跃在讲台上。学生在课堂上，没有阅读，教师本人很少板书，电子板书一晃即过，学生完全没有观察的机会；新课学习匆促带过以腾出时间来训练，甚至中学考试考题也冲刺新课课堂。这些做法对学生养成善于观察的品质、善于抓住观察的机遇影响极大。为了在教学中加强学生观察能力的培养，授新课的教学必须重视数学阅读、数学板书和数学推理以及演算的思维过程，把数学需要观察的意义作为数学教学的基本任务之一。

另外，应用数学知识解决具体问题更需要养成细致观察的品质，要明白认真观察的态度对维护正确思维心态起积极的“强化剂”的作用。因为，数学问题所涉及的知识、方法并不都是独立存在的，存在的特征也并非鲜明突出，这是数学应用在设计问题条件时使用的隐蔽性手段，有些问题的设计其信息甚至有深刻的迷惑性。面对这些情况，如果粗枝大叶，不认真细致地观察，就会造成重大差错。

对学生来讲，考试时认真细致地观察尤为重要。特别是学业检测，学业检测题本身会显露出某些特定的甚至是十分显著的信息，然而这些信息往往对解决问题不会起决定性作用，有时这些表露的信息还会干扰个体的选择功能，把学生引向“陷阱”或误区。一般来说，显著的信息可以帮助我们切入问题，但更重要的信息必须靠认真细致的态度去发现、去追寻。怎样才能做到认真、细致呢，从逻辑角度讲，就是要进行比较、分析与鉴别。

3.观察要与联想相结合

在数学学习和解题中，观察是在搜集所有信息的过程中准确地捕获对学习和解决问题有重大帮助的信息。人们获得这些有用的信息后，思维活动并没有结束，而是在组织记忆或唤起原先储存的知识和方法。这些知识和方法并不是全部被思维活动激活，而只是激活与观察与捕获的信息相关联的部分。这一过程就是通过观察引起的联想。无论是学习数学新知识，还是应用数学知识解决数学问题，都必须有联想的参与作用。因此，观察与联想是相互依承关系：观察为联想启动门户，联想作为观察的结果。无联想的观察，是一种简单的观察和平面的观察，严格地说，那只不过是一种知觉。因为知觉依赖的是客观事物的直接刺激，它无法突破“平面式”的局限，得到的也是感性信息。客观世界的许多问题，仅凭知觉是解决不了的。观察中的联想，就是将获得的信息表象加工、比较、整合，通过联想促进关系的内化与增强空间背景的凝聚力。这表现了观察的多、准的品质。

思维被看作解题（也是一种学习）活动，是因为脑意识获得了问题的信息从而引起了思维的活动。的确，虽然思维并不等于解题，但解题是思维活动的结果无疑是准确的。可以断言，数学思维形成的最有效办法是通过解题来实现的。这也表明观察与联想是创造性思维中最富有创造性特征的重要组成部分，所以联想在解题（学习）中有着不可低估的作用。英国哲学家汤姆士·霍布斯对这种关系有过深刻的论述：“从一个愿望联想起我们曾经看到过的某些方法、手段，借助这些方法、手段，我们可以得到如所求的目标那一类东西。再从这些方法和手段出发，我们又联想到别的一些通向它们的方法和手段，这样继续下去，直达到某个我们能力所及的起点为止。”这里所谓“愿望”是指信息观察中概述的一种预设，深刻揭示了观察与联想的并肩性和姊妹情。例如，当我们要想得到某些想要的东西时，总是很快想起了能买到这种东西的商店。中学数学教学中加强学生观察力的指导，为联想思维创造有利条件是一项光荣的事情，所以教师在计划和组织教学活动的同时应当注重给学生观察的机会和对其观察力的培养。

（三）记忆与数学思维发展

记忆是过去经验在人的头脑中的反映，表明记忆实际上是经验的保持，是心理活动在时间、空间上的继续甚至完善。数学的学习和问题解决不仅需要观察，也需要记忆。在数学的学习和问题解决中，记忆是高速度的物质源泉，它将再现的知识迅速传递给大脑，以满足思维活动的需要。没有良好的记忆，就是在有意义的刺激下也不可能及时地回忆需要的知识，同时对已获得的感知信息也不能记忆持久。中学数学所涉及的定义、定理、公式、法则很多，并且有些具有较大的相似性，由此感知的对象与所考虑的背景差异不大，给记忆会造成阴影，对后继的学习和思维成长会造成困难。因此，记忆水平是影响数学思维发展的第三个重要因素。

人在生活实践中会接触大量的事物和现象，这些事物和现象作用于人的感觉器官，产生了关于这些事物和现象的感觉、知觉，同时也引起了人的言语、思想、情感和行动。于是，这些活动能在人脑中保存下一种印迹，并在一定条件影响下再现出来，作为过去的经验参加到后来的心理活动中去。这就是记忆的背景。记忆有三种形式，即回忆、再认和复做。人的一切学习活动都包含记忆，学习和记忆的生理基础是大脑神经中枢某个印迹的建立和巩固。在记忆中，占重要地位的是表象，表象就是在头脑中所保持的关于事物的印迹所表现出来的形象。表象的特征是形象性和概括性。由于感知过的对象大多是以直观的、形象的形式出现，如老师讲课的形象在学生的记忆中是最深刻的，特别是教学中的情景很容易浮现在学生的脑海里，说明表象具有形象的特征。表象来自感知，但又不同于知觉。知觉是眼前事物直接的反映，而表象所反映的是过去感知过但现在并不在眼前的，这种表象是通过其他有关事物或语言所引起的；多次感知同类事物就会在大脑里形成这类事物的共同的、一般的特点，而其他次要的或独特的特点就会消退或消失，因而形成概括性的认识。(www.xing528.com)

“一精”“二牢”“三活”是记忆的三个基本品质，其中“活”是记忆的最佳品质。记忆中的“精”包含两层意思，一是知识要择优记忆，不是把任何知识都装进大脑记忆库里；二是记忆重点和对今后学习有用的知识，重点知识是知识系统中最活跃的知识，记住了这些知识，其他知识会在相应的环境得到启发和动员。记忆中的“牢”是指对知识理解性与鉴别性的记忆。大脑皮层本身对信息的真伪是有识别功能的，但大脑皮层会被假学和误学所欺骗，很容易储存不正确的信息，而影响人的正常思维。因此，要防止记忆的信息失真，必须加强记忆的牢固性。记忆中的“活”反映了记忆个体思维的活跃性和缜密性。知识被记忆后，应当加以整理和系统化。具有优秀记忆品质的人，还会对记忆的知识进行编码，建构完善的知识结构。知识建构的系统化和结构化，不仅提高了记忆的纯度和有效性，而且促进了思维的健康发展。科学的记忆有三个基本特点。

1.记忆要有明确的目的

记忆必须有强烈的识记动机和明确的识记目的。记忆的动机和目的是由学习的意义和目的决定的。为了说明记忆的动机和目的的重要，有学者在无意识中做了一个实验。这也是一个真实的故事。两人长期合演一出戏，每次演出都有这样一个情节：甲给乙带来一封家信，乙一边表演一边读出信纸上的内容。在历次演出中，乙读的这封书信都是有文字的，乙只要照读便可。有一次，甲给了乙一张无字的信纸，而乙从来都没有想到要背诵戏文，一看便傻了眼。好在他有演出经验，灵机一动，谎称“光线太暗”，眼力不好，便请甲代读；甲也不曾背诵戏文，也急中生智，忙说光线的确太暗，要去拿灯来，便托词下台拿来了信的原文和照明灯。于是，乙读完了信。为什么乙常读信文而背不出来呢？根本原因就是他没有识记的动机和明确识记的目的，而在实践中又不需要他背诵戏文。

在数学学习中，记忆反映了人的心理素质，主要表现为有意义的识记。注意是心理活动的一种属性或特性，不能独立存在。凡是注意都有其内容，都有一定的目的和要求。人的注意指感知和思维等心理活动指向某一事物的意思，即心理活动对某一事物的集中性和指向性，这是人的一种有意义的识记，实际上是由记忆的目的支配的。人都是把注意自觉或不自觉地集中在某种事物上，通过思维强化有用信息并纳入记忆库中。心理活动的这种指向性和集中性保证了记忆的自觉性和主动性。根据注意力集中时的自觉程度，构成了记忆的有意识和无意识两种情况。有意识记忆是促进学习的核心力量；无意识记忆是一种直观的渗透，有时会是灵感和顿悟的源泉。这两种记忆也会互相转化，在客观环境的刺激下，无意识记忆会向有意识记忆转化；当有意识记忆达到自动化和随心所欲时，也会转化为无意识记忆，并把记忆的对象储存在感知区，一旦被感知就会被激活。记忆有四个基本特点：一是记忆的稳定性，指集中的程度和持续的时间；二是记忆的迁移性，指由一个对象有意识地联想到另一个对象；三是记忆容量的分配，指能同时记忆两种或多种对象或活动程序，分配是有条件的，所有的学习活动中，必有一种或几种是已经熟悉自动化了的，不需要对它付出更多的记忆；四是记忆的广度和深度，指在单位时间内对所知觉的对象掌握了多少、理解了多少，以及在应用中明白了多少。

在数学问题解决中，更需要有目的的记忆。若解题时概念记不清、定理记不准、公式记不牢，就会影响解题的成功。数学概念、定理、公式、法则甚至包括基本的数学方法、知识应用的环境、条件和原则以及解法的推理和表达都是记忆的内容。这些知识不仅是记忆的一种愿望，也是记忆的一种需要。

数学教学中，根据记忆的表现形式，注重表象记忆的培养。表象是思维内部的形象材料，是过去经验的积累在适当环境中重组的感性材料，如果不能由感知获得这些表象的感性材料，记忆就没有了意义。表象是记忆的主要形式，回忆总是凭借表象实现的。表象是由感知到了思维的动作才形成的，有了表象，才能促进“活”的记忆。教学中要充分考虑学生“认知过程的心理现象”，借助直观教具、模型、形象化手段和恰当的动作来感染学生，启发其思维，使他们主动地把感知的材料归类、理解、反复实践与再认识，把调动学生积极性的心理渗透到学生掌握知识的全部心理过程中去。只有这样，学生感知的对象才能进一步鲜明化，学生才能识别在复杂背景下所要寻找的再认对象，从而促进自己记忆品质的形成。由于中学生还不能合理分配自己的注意力，他们注意的对象越单一，其注意的效果就越好，感知的程度就越深，记忆的内容也就越真实。教学中，务必在各个环节突出重点、训练重点，让学生明确数学对象的具体属性，掌握研究的策略和方法。教育心理学认为，并不是任何事物的属性都能引起感知，它必须达到一个阈限，凡没有达到这个阈限的事物的属性，就不能引起感知，正如人听不见远处的轻微声音。因此，重点突出，针对集中，是刺激事物本质属性以达到超过感知的绝对阈限的根本途径，也是给学生创造记忆机会和条件的根本手段。

2.记忆要细致

细致的记忆不是说面面俱到、记住所有的东西，而是指对需要记住的东西要认真、仔细。在数学学习中，这是指基础知识要牢记，基本方法要记准，解决问题的处理过程要记实。同样，细致的记忆也不是说凡是需要的东西都要去记忆，而是对有强度的、能激发联想的对象要加强记忆。对比较稳定的基础知识，如概念、法则、原理、方法要作为记忆的要点，而对其他的则要有选择性地记忆，因为记住了的东西如果长期不用或少用也会在一定的时间后消退或消失。这是记忆的“精”“牢”的品质。

心理学研究表明，客观世界进入人的大脑的信息只有1%被长期保留，凡被长期保存的大都对个体有重要意义且都是有目的的重复的信息，这些信息也就有利于激发智力活动。随着人类社会的进步、技术的发达，新的知识不断被发现，旧知识的陈旧率或失效率也在自然增加。布鲁纳指出：“人类记忆的首要问题，不是储存，而是检索，而检索的关键在于组织，到哪里去寻找信息，怎样去获取信息。”这就提出了知识的结构论思想，即掌握知识就是知道知识的结构、了解它们之间的联系，并选择结构中的核心帮助记忆。因此，在学习新知识的过程中，记忆的容量能够长期保持的只是极少部分，为学习中的记忆提供了心理依据。

学习新知识的过程是从感知、实践到记忆的过程，保持是智力的核心。记住的东西不能保持，是没有意义的一种记忆；只有保持了的东西，才能体现记忆的价值，这种记忆在思维中才是最需要的。形成保持的基本条件有两个。首先，记忆的知识越多、保持的时间越长，数学知识就越丰富、越活跃，应用时就越方便。根据遗忘理论，遗忘是大脑皮质暂时神经联系痕迹没有及时强化，以至消退。遗忘过程遵循“先快后慢，先多后少”的规律，保持印迹必然随时间的推移而慢慢减弱以至消退。印迹的逐渐变弱产生的部分遗忘，是暂时性遗忘；如果在暂时性遗忘的时区内创造回忆的条件，引起知识的再认，其记忆的印迹就会加深，反复实践再认，就会达到记忆的保持。由遗忘规律可见，开始学习和接受新知识时，记的内容要多一点，但切记不要支离破碎、面面俱到；要具有选择性的多记，而且还要在暂时性遗忘情况下反复温习以求巩固。其次，要重点记忆、细致记忆，强化意识记忆。从记忆的注意力来看，记忆分有意义识记和无意义识记。有意义识记的基本条件是理解，通过对感知的学习材料进行加工、重组并赋予一定意义，或配以一定的直观形象形成理解，再通过有效实践再认识、再理解，就会在大脑印迹中形成长时或永久性的记忆材料。无意义识记以机械识记为表现形式，数学上某些特殊的知识便需要机械识记。善于理解记忆甚至能将机械记忆采取某种方式转化为有意义识记，其记忆的知识就牢固、持久，需要应用时产生知识的再现速度就快，表象功能就敏感，学习效率也就高了，同时思维的能力就更强了。

在解决数学问题的实践中，加强细致的记忆，对增强保持功能更为重要。因为数学解题比懂得数学概念及一些具体的知识难度更高一些，解题是数学思维的窗口，也是掌握和应用数学知识的综合反映。在一般情况下，解题能力决定着数学能力。也就是说，解题是度量数学水平的一把尺子，随时都能反映数学能力的大小。数学解题是一种特殊的环境，它只能依赖于知识的储存，依赖于相应的知识经验；如果头脑中缺乏必备的经验积累，就会失去表象的功能，获得解题成功就不太可能。如果缺乏使内部经验得以外化的语言文字，获得解题成功便是一句空话；如果大脑虽有大量的知识信息，但缺乏对保存其间的记忆表象的指挥和驾驭，那么获得解题成功也是不可能的。因此，记忆是数学问题解决成功的源泉。

因为记忆是人的大脑皮质中暂时神经联系的印迹，感知是记忆的条件，实践是保持的关键。所以，在外界的刺激下，大脑就会产生相应的优势兴奋中心，将感知的材料汇聚、整理，加以再认识形成暂时稳定的印迹——记忆。数学教学中，增强学生保持的延续性也应成为数学教学的一个重要目标。所以，教学中注意多设置知识障碍，揭示知识的模糊点，做好课内知识小结、搞好授新忆旧、定期反馈检查等措施，对学生加强记忆并保持记忆的效果是十分必要的。

3.记忆要透

记忆中的“透”反映了记住的东西有外层保护，不容易被侵蚀和干扰。这里的“透”，是指记住的知识是结构性知识，其结构是动态的并与大脑思维格式相匹配的记忆。只有在需要应用时，这种动态的结构才能释放它的作用；而且在发挥作用时，机缘结合，凝聚力增强，促进思维的健康发展，产生独到和新颖的效果，而其他环境都不可能对其引起干扰。这是记忆的“活”的品质。

有了“透”的记忆，才可以使当前反映在过去反映的基础上有效进行；有了“透”的记忆，思维才能借助于“透”，指挥保持在头脑中的各种信息进行活动，形成表象。可以说，记忆中的“透”是智力的根源。根据人接受新知识和应用新知识的心理机能，感知到储存区的巩固为理解记忆的“细”创造了必要条件，由储存区到应用区为思维借助于记忆的“透”打开了一片天地和提供了创造的机会和条件。但数学问题研究的形式是多变的，随着数学问题设计的创新，数学问题也在向“巧、活、新”发展，这需要有更高级的思维形态在记忆的宝库里灵活应用知识。

数学问题解决中的记忆。学生对问题进行审视时，总是用以前获得的知识和自己实践的经验来理解所观察的对象。从问题背景中能否辨认问题所表述的关系，是对记忆“透”的检验。解题是对学习效果的评价，没有信息的输入、储存就没有记忆，就不能提取信息、回忆经验，记忆就失去了保持功能或已记住的过去的知识和经验又受到了不真信息印迹的干扰。事实上，解题中的记忆，主要表现在对经验的提取、回忆，再认和再现是回忆的两种基本形式。

再认是过去感知过的事物受到某种反射重新出现在眼前，是当前环境刺激唤起旧经验的心理过程；再现是过去感知的事物不在眼前时，在没有现实刺激下而唤起旧经验的心理过程。显然，问题解决中的记忆主要是通过再现进行的。数学解题要善于利用中介联想促进记忆的再现。中介联想是对曾经知觉过的事物再度感知时，引起记忆中相关印迹的放大，以唤醒旧经验。所以，中介联想是一种有意义的再现过程，借助一系列的中介联想能唤起对整体的记忆。唐代李益《喜见外弟又言别》言：“十年离乱后，长大一相逢，问姓惊初见，称名忆旧容。”之所以能回忆起相隔10年之久的容貌，并不是现实中的形象所直接引起的，而是因对方道出了姓名而唤起了对整体的记忆。在这里，名字作为一种中介条件起到了沟通记忆的桥梁作用，从而找到了10年之前所储存的信息。

防止不利于记忆的干扰。对知识学懂弄通、储存真实的经验是抗干扰、消除遗忘的最好品质。产生干扰的条件主要体现在三个方面。首先是机械地识记。如果材料本身没有内在的联系，当然只能机械地重复多次来帮助记忆。然而，数学知识的内在联系是密切的，因而机械识记就会造成记忆材料的零乱，既影响记忆的保持，也影响记忆的再认。在数学材料的学习中，尽可能运用有意义识记以加强理解，从而克服“学习不求甚解”和呆板死记的学习行为。对某些无意义的材料也可以“赋加”人为的意义，提高记忆的效果。其次是个体消极情绪。学习和解题是学生学习数学的主要任务，学习中要克服“懒、散、拖”的情绪，这些情绪对心理健康极为不利。特别是在数学考试中，消极情绪的惯性与保持会造成记忆呆痴，甚至会导致心理紧张和焦虑，造成大脑抑制、破坏知识间的联系，从而妨碍对知识的回忆。最后是旧经验定势。在记忆中，有些旧经验有利于回忆和再认，但有些旧经验却起着干扰作用。产生干扰作用的旧经验包括两个方面：一是旧经验与新环境存在较大差异，在新环境中，旧经验失真；二是旧经验的思维定势，虽然旧经验不适应解决新环境下的问题，但由于这种经验反复出现在大脑里，结果就妨碍了回忆其他适用的经验或经验的再组织。旧经验定势对考试效果的影响非常大，考试中最先想到的（或提出的）知识往往对解决问题不是十分有效，或者是信息捕获不到位，或者是应用时缺乏依据，但它又顽固地阻挠去联想其他的知识，造成对问题解而不决。

回忆要借助于中介联想，依赖于经验的广泛联系，但并不是所有回忆的经验都能解决新环境下的问题，也并不是所有的联系都有利于回忆。决定因素是，怎样消除记忆的干扰，还记忆一个清净的世界。一旦出现了干扰就要及时反思：是否记忆太零散，是否与情绪有关，是否思维僵化；要针对出现的问题随时进行思维调整，或厘清记忆，或暂缓思考，或转移注意力，正所谓“运笔不灵看燕舞，行文无序赏花开”。记忆的重要特征是表象，即在头脑中所保持的关于客观事物的印迹所表现出来的形象。根据遗忘原理，并不是所有关于事物的印迹都能表现出形象，因此记忆必须强调选择，具有选择的记忆能在适当环境下表现出具体事物印迹的形象。

（四）操作与数学思维发展

思维具备了数学必要的基础、具有观察和记忆的能力和品质，那么坚持操作和实践就成为发展思维能力的特别因素。说它特别，在于其过程是严格的、规范的和辛苦的，比观察和记忆复杂得多。一般来说，对客观事物仅凭知觉、感觉是难于记忆的；而理解了的东西，尽管能够保持在记忆之中，但随时能应用还需要一个过程，即要进行反复操作。因为被理解了的对象与新背景的关系是多种多样的，且理解的对象与新背景的区别有时不是固定不变的。要突破背景材料的限制来获得新认识，必须在学习过程中反复操练，以形成自己的模式或自动化，才称得上是真正的理解。

思维作为一种认识形式不可能离开思维的内容而独立存在，积极操作并强化操作技能是掌握知识、形成更高级认识、提高解决问题思维能力的一个重要过程。思维虽然开始于感性直观，但同时又需要通过分析、抽象，对感性材料做筛选识别，抽取并概括出一定抽象的规定，超越感性的具体限制。反过来，进一步把事物中的各种规定按照它们在总体中的真实关系具体地结合起来，即从本质抽象走向“思维中的具体”。因此，学习不能满足于对抽象概念、规则的理解和记忆，而要进一步加强操作，使复杂的概念与规则在理解和记忆上变得特殊化和具体化。

“一快”“二准”“三新”是操作的三个基本品质，其中“新”是操作的最佳品质。操作中的“快”指活动的速度，反映了原有知识和经验的理解和掌握程度。操作中的“准”是活动效果的要求，是是否能够被认为可以执行操作训练的检验，“准”反映了操作中最充分的品质。操作中的“新”包含了操作的新颖性和操作发挥着创造的成分。

操作推动着技能的发展，是思维技能发展的中介因素。“技能的生理机制是由在大脑皮层运动中枢的神经细胞之间形成了牢固的联系系统，在一定刺激作用下，一系列动作就可以一个接一个地、自动地产生出来。”由此操作的技能靠长期积累而成。正如《兵经百字》所讲，“性无所不含，狃于一事而出，久则因任自然”就是说，任何事物都有它自己的特性和规律，经常做某件事，时间久了就能达到运用自如的境界。懂得操作的人，所见的是知识，所想的是方法，所论的是技巧，所待的是变化。通过操作形成一定的技能，再次操作时其动作由两部分组成，一是有意识的活动，二是自动化的活动。所以，在反复操作中，所增长的技能都是由有意识活动和自动化活动形成的。因此，技能是受一定意识控制的。科学的操作有三个基本特点。

1.操作要有明确的目的

之所以要进行练习操作，是为了巩固和应用相关的知识和结论，诊断和强化学习的效果。这就是操作的目的。数学中需要培养多种学习能力，并促进思维的发展。例如，通过数和式计算与变形的操作培养学生的运算能力，通过几何图形元素位置关系所表示的空间意义培养学生空间想象能力，都是有目的的操作。操作活动展开过程中，会形成两种技能，即动作技能和心智技能。动作技能表现在外部行动上，是有目的地、主动地对事物对象直接进行演示的具体行动。心智技能是一种认识的思维活动，包括感知、记忆和想象等思维技能。

心智技能操作服从于有目的的意识操作，其目的是把心智活动的结果通过一定确切的思维语言传送给外部动作技能，外部动作技能通过思维过滤形成一定的、被确定的格式把内部思维语言记录出来。显然，操作活动是由动作技能与心智技能共同完成的，且两种技能同时具有共同的目的和要求。

操作是认识目的的实现形式，也是思维技能目标的实现形式，同样也是领会知识、消化知识、保存知识以及掌握知识的应用价值、提高知识应用能力的实现形式。这些目的的实现中，有三个层次。首先是实现理解知识、领会知识的目的。要真正理解和领会数学基础知识，就要做到不断地读、想、记、用。读就是朗读概念、定理、公式和范例等，明确字、词和符号及推理的意义；想就是思考道理和原因，以求得明白、心安理得；记就是对明白了的东西再赋予一定的意义组织记忆；用就是有意识地进行训练，促进所学牢固保持。有计划、有目的、有要求地做一定量的练习，可以保证读、想、记过程的落实，从而达到对初步技能的巩固。其次是实现掌握知识系统理论、理解数学基本方法应用的目的。这一层次需要掌握正确的练习方法，在“练”的技术上下功夫，即在准确性、稳定性和规范性上下功夫。最后是实现熟悉数学思想、提高数学分析和综合能力的目的。这一层次需要有提出问题的能力以及掌握分解问题、合成问题的思考方法。

2.操作要有清醒的头脑、细致的态度

从理论上讲，任何操作都会形成技能，技能是思维总结和反思的结果。这表明，技能既具有迁移的一面又具有干扰的一面，技能既可以增强、提高，又可能减弱、降低。因此，操作训练时，头脑要清醒，思维要缜密，要有细致认真的态度。操作是手、脑动作协调活动，脑负责心智技能动作，手负责外部技能动作，思维作为它们联结的工具。脑是思维的外壳，手是正确描述思维外壳的工具。二者协调完成操作活动，失去任何一方，都将失去操作的价值。由此，操作时，大脑不清醒不行，思考不细致不行。

在操作中已掌握了的技能对于新技能的形成有积极影响，并促进新技能的形成，这是技能的迁移。一般来说，头脑清醒、知觉细致、操作认真能促进技能的迁移。在操作过程中，如果过去形成的技能对于新技能的形成具有消极的影响使新的技能难以形成，这就是技能的干扰。一般来说，操作盲目、不细心、思路不清晰，就会导致操作技能的干扰。

在操作中，技能的干扰还与以下因素有关：一是原掌握的有关基础知识的技能，即知识的理解和应用技能。一般来说，新技能的形成需要用到过去掌握知识的技能，如果原来缺乏掌握知识应用的技能，那么相对于过去经验来说新的技能就难以形成。二是操作模式的熟练程度，任何操作都是由简单操作组成的。所谓简单的操作，就是基本概念、基本法则等应用的操作，这些操作组成一个个基本模式，包括在操作中多种基本技能应用的选择。