教是为了“学”，上述对学习观的分析，也是为了使基于认知工具的数学实验教学模型更符合学生学习的需要。数学教学模式模型的建构必须从培养学生的数学能力出发。对于中学数学能力的认识，研究者众说纷纭。许多研究者认为应将数学能力区分为两种水平，即学习数学的能力与创造性数学能力。前者主要指在校学习数学的过程中表现出的能力；后者指在数学研究中表现出来的能力，这种能力产生具有社会价值的新成果或新成就。克鲁捷茨基认为，学习数学的能力是创造性数学能力的一种表现。“对数学的、彻底的、独立的和创造性的学习，是发展创造性数学活动能力的先决条件”。
对于中学生来说，独立地、创造性地掌握数学、对较为简单的数学问题做出系统阐述、找到解决问题的方法和手段、独立发现数学规律和定理的证明等，事实上都是创造性数学能力的表现。此外，学生重新发现某些已知的数学知识，这对于他们个人来说无疑是新发现，是具有创造性的。只不过这种创造只具有个体意义而没有社会意义而已。而这也应该是学生创造性数学能力的体现。基于上述分析，学习数学的能力与创造性数学能力都是在创造性的数学活动中发展起来的，因此在本质上是统一的。只不过由于形成这两种能力的实际活动分属不同的层次水平，因此有所区别。在一定条件下，学习数学的能力可以发展成为创造性数学能力，创造性数学能力首先应具备学习数学的能力。
数学能力培养的最终目标是创造性数学能力，而这一能力完全可以在中学数学阶段通过教学模式的变革加以培养。这正是传统数学教学模式所缺乏考虑的。新课标指出，“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习”“让学生经历数学知识的形成与应用过程”。这也正是基于认知工具的中学数学实验教学模型建构的目标所在。
课堂教学是基础教育的主阵地，信息技术与课程整合不应仅仅局限于课外取得良好效果，而更应该充分发挥信息技术在课堂教学中的作用。运用教学系统结构的观点，信息技术环境下的课堂教学要素除了学生、教师、教材（教学）之外，还有一个不可忽视的重要媒体要素——计算机为主的信息技术认知工具。
重新分析上述四个要素及其相互关系对数学实验教学模式的构建具有重要意义。信息技术环境下的教学结构要素，可分为两大类：物质性要素与社会性要素。其中，物质性要素包括教学材料、信息技术认知工具等；社会性要素包括与个体发生互动的教师、其他学生等。这些要素之间相互作用，共同促进学生有意义的数学学习。在数学认知工具支持环境下，教学结构中的四个要素地位与作用发生了一定转变，主要表现如下。
1.地位的转变
学生是整个数学实验活动的主体。教学目标的确定、活动过程的设计、认知工具资源的选择与组合，都是以学生为中心，围绕着学生更主动、更有效地学习来进行。学生的地位由原来的被动接受转变为主动参与、自主探索、协作交流，学生将成为数学知识的探索者和学习过程中真正的认知主体。
2.角色的转变
在整个教育过程中，教师所担任的是一个组织者、指导者、帮助者的角色。教师在教学过程的作用，重在为学生创设一种有利于他们主动学习和发展的环境和条件。教师的角色由原来的知识讲解员、传授者转变为学生学习的指导者，学生主动建构意义的促进者。
3.作用的转变
数学认知工具在教学过程中作用明显，以学生最易接受的方式形象、动态呈现信息。数学认知工具既是辅助教师突破重点、难点的形象化教学工具，更是促进学生自主学习、自主探索、主动发现的学习工具、协作交流工具与情感激励工具。
4.内容的变化
教材不是学生唯一的学习内容和知识来源，通过教师指导、自主学习与协作交流，学生可以从多种学习对象，包括教师、同学、认知工具以及其他社会资源学习与教材相关，但是比教材更为丰富、生动形象的内容。
教学结构四个要素地位的转变导致教学过程有所变化。整个教学趋于开放的、民主的和相对宽松的过程。教学过程将由原来的逻辑演绎型的讲解式教学过程转变为创设情境、深度体验、自主探索、协作学习、会话商讨等新的教学过程。因此，基于认知工具的数学实验成为信息技术环境下中学数学教学模式的必然选择。
（二）CT-based MET模型关键属性分析
数学认知工具在数学课堂中的应用引起了中学课堂数学教学结构各要素功能的变化，这使我们不得不重新考虑应如何设计数学课堂教学。教学模式的基础是：知识建构的不同途径（Joyce，2004）。从数学学科的性质来看，数学既具有演绎性，又具有归纳性。所以基于演绎性的数学教学导致了讲解式的数学教学模式，基于归纳性的数学教学则形成了数学实验教学模式。特别是随着信息技术认知工具应用到数学课堂后，数学实验教学更应该得到足够的重视与研究。(www.xing528.com)
对数学实验教学模式的研究不能仅仅停留在操作层面。构建基于认知工具的中学数学实验教学模型的目的，是希望在吸收有关数学学习理论研究的最新成果的基础上，考虑信息技术环境对数学实验学与教过程的影响，以形成对基于认知工具的数学实验教学的一种较为全面和完善的认识。这个教学模型尽可能比较全面地揭示信息技术环境下有效开展数学实验教学所涉及的目的、条件、交互和操作，把对数学实验学习产生直接、重要影响的因素抽取出来，以便为有效开展中学数学实验教学提供指导。
CT-based MET模型从数学实验活动任务出发，根据任务选取数学实验类型，以制定相应的实验策略；以此为基础，搜集制作数学内容表征工具或材料，并设计相关的互动性数学实验活动；数学实验教学的具体环节则是从任务出发，开展相应类型的操作活动，在操作活动中实现数学知识内容的多元表征与数学活动的多重交互。上述要素之间形成层级关系。下面是对本模型的具体分析。
1.以实验任务为核心
数学实验是借助一定的实验工具，采用观察、检验、探索、分析、归纳、综合等以尝试性与探索性为主的方法进行的数学实践活动。活动是数学实验的核心，操作性是数学实验学习的一大特点。数学实验教学的开展必须考虑学习目标。而与学习目标构成直接因果关系的是学习活动中的活动任务，活动的组织形式、方式方法、过程、规则等要素围绕任务展开。
活动观下学习活动的中心是活动任务的制定。因此数学实验活动任务应当成为数学实验教学实施的先决条件。数学实验教学的设计实施都要围绕活动任务来制定，而数学实验活动任务来源于新课标（学习目标），是对新课标具体的学习任务描述。数学实验任务包括两部分：行为任务描述与认知任务描述。行为任务是可观察的，涉及学生与学生、学生与教师、学生与认知工具之间的相互作用；而认知任务则是建立在行为任务基础上，主要在学生头脑中进行的。明确的活动任务描述有助于提高数学实验教学的效率、效果。
2.关于数学实验类型的分析
对数学实验的类型，不同研究者都有自己的认识。从不同的视角有不同的分类方法，数学实验存在以下几种分类方法：按照实验的设备条件分类，按照实验的组织形式分类，按照实验的时间地点分类，按照实验的目标对象分类等。
3.多元表征知识内容
中学数学知识内容包含三种关系：数量关系、图形关系、数形关系。数量关系，主要指能用代数式、方程、不等式、函数等刻画事物间的相互关系；图形关系主要涉及图形性质、图形变换、平面图形与空间几何体转换等；数形关系主要涉及函数与图像、图形与坐标、图形与证明等。
在数学课堂上一般存在三种表征方式进行交流：符号表征、语言表征、图形表征。数学符号是指利用数学符号书面表达数与量、数与形、形与形之间的关系。日常口语指的是用口头语言来表达数与量、数与形、形与形之间的关系。图形表征则是利用直观图形来呈现上述数学关系。
【注释】
[1]刘丹，童灏，刘丽丽.高中数学教学中学生数学思维能力的培养[M].长春：吉林大学出版社，2020.
[2]张占兵.高中生数学思维培养[M].北京：阳光出版社，2018.
[3]徐泽贵.数学解题思维与能力培养研究[M].长春：吉林人民出版社，2020.
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