中学数学教学方法：传统与改革，提高学生思维能力

教学方法，是师生为达到教学目的而相互联系的活动方式，它是由许多教学行为和手段所组成的一个动态体系。中学数学的教学方法，主要包括传统的教学方法和改革中的教学方法两方面内容。传统的教学方法是指讲授法、谈话法、读书指导法、作业指导法、教具演示法等。改革中的教学法是指引导探索法、自学辅导法、读读议议、讲讲练练法、单元教学法、发现法、程序法等。无论哪一种教学法其宗旨都是启发学生积极地进行数学思维，提高学生分析、解决问题的能力。近几年来，人们应用控制论、心理学、教育学和哲学等基本概念和原理，把传统的教学法和改革中的教学法糅合起来，把现代化的教学手段应用到传统化的教学模式中去，取得了良好的教学效果。了解教学法，掌握教学法，应用教学法于实践之中，应成为每个数学教师的自觉行为。例如，布鲁纳在谈到教育的一般目标时指出，不仅要教育成绩优良的学生，而且也要帮助每个学生获得最好的智力发展。如学习算术自然而然地变成逻辑练习。西德根舍因此强调不仅使学生掌握科学知识，还要训练学生的独立思考和判断力。我国近几年来为实现四个现代化培养人才的需要，也强调在教学中发展智力培养能力的重要性。^[3]

教学过程是一个实践过程，没有一种永恒不变的教学方法。只有通过实践，不断总结经验，才能创造出更符合自己教学实际的有效的教法。重要的在于根据不同的教学对象和教学目的，选择行之有效的教学方法。由于教学目的的改变，以传授知识为主的传统的教学方法显然不能适应新的要求。为此陆续出现了一些新的教学方法，如发现法、探索问题法、研讨法、独立作业法等。有些教育心理学家还同传统的教学方法做了对比实验，结果表明，探索发现式的学习对启发思维、促进学习的迁移很有好处。由于这些方法更多地发挥学生的学习主动性，在获得知识的同时不同程度地学到获得知识的方法，就有利于发展学生的智力，培养学生独立获取知识的能力，从而受到教育工作者的重视。

对于不同教学对象，选择的教法也不同：对低年级学生可选用谈话法；对高年级学生可选用讲解法。任何教学方法都应以启发式为宗旨。即在教学过程中，应用质疑启发、情境启发、直观启发、类比启发、变换启发和板书启发等多种基本方式，启发学生思考，并努力做到“启而能发、发而能导、导而不乱”，创造和保持一种和谐融洽的学习气氛。

传统的教学论，强调教师的主导作用，忽视学生在学习中的主体作用。与此相适应，提倡教学时采用讲授法。如凯洛夫主编的《教育学》中明确地说：“在教学过程中，讲授起主导的作用。”而现代的教学论有了很大的改变，强调学生是学习的主体。例如，布鲁纳把学生看作“主动参加知识获得过程的人”，教师是“主要辅导者”。

“教师的任务在于为提高学生的一般认识积极性创造条件，形成积极的学习态度，培养独立性和工作能力”。看教师的主导作用，不再是只看教师的讲授水平如何，更重要的是看他在教学过程中是否充分发挥学生的主体作用，调动学生学习的积极性，引导学生思考，指导学生逐步学会独立获取知识的方法。这种看法符合唯物辩证法关于内因和外因的关系的观点。从这一基本观点出发，研究教学方法，不再是仅仅研究教师讲授的方法，更重要的是研究激发学生的学习积极性和引导学生学习、探索的方法。讲授法的缺点就是没有充分发挥学生的积极主动性，也不能有效地使学生掌握学习的方法，培养起独立获得知识的能力，而某些新的教学方法的优点就在于比较能够促进学生积极主动地学习，培养学生独立获取知识的能力。当然也要看到，有些新方法在发挥学生的积极主动性方面体现得比较充分，而在发挥教师的主导作用方面却显得不够。发现法就是一例。这也正是国外某些教育家、心理学家提出异议的一个重要原因。如美国心理学家加涅就强调应给学生最充分的指导，使学生沿着仔细规定的学习程序进行学习；有人还针对纯发现法的缺点提出有引导的发现法，教师可以作为促进者，适当予以提示和帮助，以便有效地控制学生的学习活动，保证达到预期的目的。

（一）中学数学中的启发式教学

中学数学传统教学方法有讲解法、谈话法、练习法、讲练结合法等。当前国内外比较盛行的教学方法有目标教学法、发现式教学法、程序教学法、自学辅导教学法、“读读、议议、讲讲、练练”教学法等。无论哪种教学法都不能忽视启发式教学法。

启发式教学法，由于它不具有一套固定的教学模式或若干具体的教学环节，因此有人认为不应视为一种具体的教学方法，而应看成一种课堂教学原则。实际上，在具体教学中，只要是具备上述启发性基本特征的教学方法，我们都可泛称为启发式教学法。其反面是注入式，又称传统式教学法。

最早提出启发式教学的是我国古代的教育家孔子，他主张“不愤不启，不悱不发”。“愤”是指思考过了但没有彻底解决，“悱”是想说而又不能恰当地说出来，“启”是开导，“发”是揭开。“启发”两字也由此而来。继孔子以后，孟子也主张启发式教学。《学记》上说：“导而弗牵，强而弗抑，开而弗达。”意思是说，要引导学生，不要抱着他们走；要提高他们的积极性，不要压抑他们；要启发开导他们，而不要代替他们做出结论。

启发式教学方法，由教学目的、教学内容、教学条件和学生实际等具体情况决定而有多种形式。归纳起来有以下几种：提问式启发、提示式启发、示范式启发、图示式启发、假设式启发等。

贯彻启发式原则，首先应注意吃透教材、了解学生，这是贯彻启发式原则的基础。所谓吃透教材，就是对所教内容的知识结构、来龙去脉、地位、作用、重点、难点、关键、内在联系等弄得清清楚楚，这样才能有针对性地开展启发式教学活动。了解学生，就是了解学生的知识水平和思维发展水平，这样才能有的放矢地进行启发。其次应注意启发学生积极思维有个过程，不能急于求成。应注意以表扬鼓励为主，出现“启而不发”的现象时，不要对学生埋怨和挖苦，这样会挫伤学生的积极性。

以下我们就来具体阐述启发式教学在数学教学中的运用。

1.创设数学问题情境

“问题是数学的心脏”，数学学习的实质就是解决数学问题，即学生怎样数学地提出问题和解决问题。每堂课都需要一定的“问题情境”，借助这些情境，教师和学生之间进行思想交流和思维碰撞，获得知识，培养能力，解决问题，提高素养，从而完成教学任务。建构主义认为，知识不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得。因此，数学启发式教学需要情境的支撑，在教学设计时，应尽力创设一定的问题情境，让学生在具体的情境中实现知识的学习。

数学问题是指学生个体与已有认识结构产生矛盾，还不能理解或者不能正确解答的数学结构。问题对学生来说要有一定的障碍，不能轻易解决，需要经过认真的思考和探究方法解决。数学情境指数学知识产生或应用的具体环境，可以是真实的生活环境、身边的现实环境，也可以是抽象的数学环境。问题中有情境，情境中有问题，其中问题是核心。数学发展史表明，数学的发展一方面来自外部，即现实社会发展的需要；另一方面来自数学内部，即数学自身发展的需要。所以不能把数学问题情境片面地理解为生活现实情境，凡事都找现实原型，而也应挖掘源自数学内部的各种意义上的问题和情境，如常观问题、习题，非常观问题、习题，实验，活动，气氛等。

（1）数学问题情境创设的基本要求

现实性：现实生活中蕴含着大量的数学学习对象，通过这样的问题情境有利于学生良好数学观的养成，也有利于激发学生的学习兴趣。现实的问题情境中提供了一个亟待解决的实际问题，学生通过所学知识解决实际问题，从而提高分析问题、解决问题能力和数学应用能力。

可及性：数学问题的设计要符合学生的认知发展水平和年龄特征，要在学生的“最近发展区”内设计问题，使学生跳一跳，够得到，从而能在教师启发引导下达到解决问题的彼岸。

挑战性：数学问题设计应富于挑战性，能引起学生的认知冲突和积极的学习心问，促进学生观察、实验、猜想、验证、推理和交流等数学活动。从而激发学生的学习兴趣，自觉接受问题的挑战。

开放性：数学问题的设计要有层次感，入手较易，难度适中，坡度较小，层层深入。同时要有开放性，解法多样，多样的思考角度，给学生提供思维发散的空间，产生深刻的体验。

（2）数学问题情境创设的基本方法

创设阶梯式问题情境，引导学生深入思维；问题解决的有效策略之一是：手段—目标分析法，它的基本特点是把需要解决的问题分解成一系列问题，通过解决子问题逐步消除初始状态与目标状态之间的差异，从而导致问题的解决。因此，教师可以把教学目标以一个个“问题”的形式显现出来。把前人和自己对知识结论的认知过程分解为若干步。并铺设阶梯，层层设问，启发学生朝教学目标前进。借助这样的“问”，使学生了解分析问题的思维起点和基本模式，理解和认识知识发生和发展过程。

设置过程式问题情境，教会学生思维策略；思维从问题开始，有问题才有思考，有思考才有创造性学习的可能，所以问题是创造的基础。在教学过程中，教师可结合教学内容和实际情况，通过“问题”设计，将科学发现的过程、解题思路的形成过程、结论的艰辛探索过程简捷地再现给学生，重演于课堂，让学生通过一系列问题的解决，领会思维的策略，把握思维的方向，优化思维品质。

创设直观式问题情境，促进问题的解决；直观是指能用感官直接接收的，直观观察的。直观式问题情境就是指能够直接感知到的，直接观察的问题情境。抽象的、深奥的、复杂的数学内容往往隐含于直观的情境中，在教学中，通过创设直观的问题情境，启发学生观察分析，有助于使抽象内容具体化，内隐性质外显化，客观感性认识向理性认知的飞跃，从而抓住数学对象的本质。

创设置疑式问题情境，拨正学生的思维路径；“疑是学之始，思这由”。疑能使学生心理上感到困惑，产生认知冲突，进而拨动思维的琴弦。古人云：“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进，无疑则不进”，意指学习要善于发现问题，提出问题，直至学会思考，自觉领悟。而要达到这样的层次，教师应在启发式教学中创设置疑式问题情境，正如波利亚在《怎样解题》一书中指出的，就是要不断地向学生“提出有启发性的问句、提示，以开启和推进思维的小船前进”。所以教学中，教师应分析学生思维的具体状况和原有思路，在学生的“疑惑处”或思维的转折点处设置问题，启发、引导学生分析其“惑”之原因所在，探求解决问题的办法，帮助学生突破认知上的“瓶颈”。

创设模型式问题情境，促进学生的数学理解；数学来源于实际，同时又为实际服务，数学的广泛应用性已成为数学的重要特征。许多数学对象都能在现实生活中找到对应的模型，因此教学中，我们要借助这些模型，创设简洁、易懂的问题情境，启发学生观察、分析、抽象、概括，逐步认识数学对象，把握其本质特征。从而体会数学应用价值和文化价值，提升学生的数学素养。

2.恰当使用元认知提示语

元认知是任何以认知过程和结果为对象的知识，或是任何调节认知过程的认知活动，其核心意义是对认知的认知。元认知与认知作为两种心理活动，是有区别的。认知活动的内容是对认知客体进行某种智力操作，而元认知活动则是以认知主体和正在进行的认知活动为内容进行智力操作；认知活动的对象是外在的、具体的事物，而元认知活动以认知为主体，主体的心理活动、抽象的认识过程为对象；认知活动可以直接使认知主体取得认知活动的进展，而元认知活动则是通过对认知活动的监控，间接地促进主体认知活动的进展。

元认知提示语，是指为了激发元认知活动而使用的提示语，元认知提示语不直接指向具体问题，其目的在于激发元认知调节、监控元认知活动。它的特点是不直接指向具体问题，离具体问题较远，而认知提示语离具体问题较近或直接围绕具体问题进行提示。在启发式教学过程中，元认知提示语的使用常常是“由远及近”“由暗渐明”，从使用含认知成分较少的元认知提示语到含认知成分较多的元认知提示语，提示语激活的思维活动空间也渐渐由大变小、思维强度也由强变弱。元认知提示语可以由老师向学生提出，可以由学生向老师提出，也可以由学生自我提出。元认知提示语主要以语言的形式出现，但也包含图形、图表，甚至体态、动作语言等。常见的元认知提示语有：“我们现在应该研究什么？”“你们能发现什么问题？”“这是为什么？”“似乎还存在一些问题？”“下一步该怎么办？”“你发现了什么？”“你联想到了什么？”“你是怎么想的？”“你认为怎样？”“你得到了什么结论？”“你还有什么问题要问？”“如果增加一个条件，你看如何？”“你向另外一面看看怎样？”(www.xing528.com)

杜威认为：提问（包括元认知提问）使思维活动能够持续地进行下去并成为学生继续讨论和不断追问的原动力，在一个提问所创设的特定性情境中，学生的思维要“能够充分地从一点到另一点做连续的活动”，因此要充分发挥元认知提示语的启发作用，凭借发问刺激和指导学生的思考，使学生的思维链条连续运作，不出现断裂。所以元认知提示语既是引导认知活动的路标，又是促进思维活动深入的添加剂。

（1）运用元认知提示语，促进探究活动持续深入

数学教学过程也是对新知识不断探究的过程，探究总是在一系列的问题引导下展开的，探究离不开问题的引导，否则就会迷失方向，而且也会失去前进的动力。探究学习的每一个环节，无论探究目标的确定，探究过程的调节与监控，还是探究结论的反思总结都离不开元认知指引和发动。因此，教师要有意识地运用元认知提示语启发学生积极思考，提示语的启发作用，凭借发问刺激和指导深入地开展。

元认知提示语使用的原则是“由远及近，由暗渐明，暗中引导”，元认知提示语越暗，认知成分越少，离目标越远，探究的价值越大，否则探究的价值越小。要合理把握元认知提示语的暗示程度，应考虑学生的实际情况和所教的内容，力求使不同层次的学生在探究活动中都有所收获。

（2）运用元认知提示语，把解题反思活动引向深入

“问题是数学的心脏”，解决数学问题是数学学习的主要形式，波利亚指出：“中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练，不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种难度的独立思考、判断力、独创性和想象力的问题”，他把解题活动分为四个环节：弄清问题、拟订计划、实现计划、解题回顾。其中，解题回顾就是解题反思的过程，学之道在于“悟”，即是指理解要靠学生自己的领悟才能获得，而领悟又要靠对思维过程的反思才能达到。解题反思实际上就是对解题过程的自我调节、评价、监控的过程，是一种元认知活动，元认知活动是反思的核心成分。所以教学中要充分利用元认知提示语，对自己的解题活动予以反思，使元认知活动贯穿于解题过程的始终，使学生的解题不断成熟，解题能力不断提高。

3.暴露解题的思维过程

数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。数学解题过程不仅是知识的接收、贮存和应用的过程，更是思维训练和发展的过程。解题方法的优劣，速度的快慢，解答的精准都取决于思维能力的高低，所以在教学活动中，师生双方都必须充分暴露思维过程，教师将教材安排的意图，自己处理问题的想法复现出来，展现给学生，给予学生较深层次的启发与借鉴。学生将自己认识问题、解决问题的思维曝光，便于教师反馈评价与针对性的纠错，同时也给老师和其他学生以启迪。这样做沟通了师生间的思维路线，形成教与学的回路，有助于优化学生的思维品质，发展学生的思维能力。

（1）展现解题思路生成的真实过程

华罗庚先生说：“教知识重要，而教思考方法也重要；从书上学好形式推理重要，而学好书上没有的思考过程也重要。”在解题教学中，应把思路引进课堂，老师讲思路，学生说思路，最主要的，师生都应通过“出声思维”向大家展示自己真实的思考过程，我是如何审题的？如何利用条件？如何从结论入手执果素因的？如何缩小目标差？如何在碰壁之后又找到了正确解题途径的？如何转化为熟悉的问题？等等。这种方式会还给学生一个真实的思考过程，既真实可信，使学生容易理解；又接受自然，思维倍受启迪。在这样潜移默化的启发中，学生的思维能力会渐渐提高。

（2）展现解题思路探索的发现过程

在数学教学中，我们经常发现：学生对老师的讲解一听就懂，一做就错，学生拿到题目后识字不识意，找不到解决问题的突破口。究其原因，主要是教学中，教师只注重解决问题，把现成的解法告诉学生，而忽略了向学生讲解起思路探索发现的过程。所以在解题教学中，教师要把对问题的分析、思考、尝试、探索的过程揭露出来，包括失败、碰壁的过程，以及由失败到成功的转化过程，从反思中启发学生看到转变思维的方向、方式、策略。诸如从特殊到一般、从具体到抽象、从正面到反面、从纵向到横向、从静到动、从类比到迁移、从归纳到猜想等等。

（3）展现一题多解的魅力

思维的发散性是指打破常规，寻求变异，从多维度、多方面思考问题的思维品质，在解题教学中，要把培养思维的发散性作为一项重要的任务。要启发引导学生从不同的角度看待问题，从不同的方向切入问题，拓展思维空间，优化思维方法。例如：从“形”的角度入手，运用数形结合的方法解决问题；从反面入手，渗透正难则反的思想，训练反证法解决问题；纵横沟通，渗透化归与转化的思想；等等。经常性地暴露多种解法形成的过程，有利于学生养成多维度思考问题的习惯，提升解题能力。

（4）展现解题偏差的纠正过程

学生在解题时出现这样的错误属正常现象，学生的错误既带有主观性，又具有普遍性，抓住它进行剖析治理，必有很大的教学价值。所以教学中，教师要从暴露学生错误思维入手，启发学生自悟、自纠。但不要过早点明，尽量让学生自我发现，在教师的启发引导下，发现思维的缺陷，找到错误的原因，提升了思维能力。

4.设计问题变式

教学研究和实践表明，利用变式教学，可以优化学生的知识结构，提高学生灵活解决问题的能力，避免重复的机械训练。变式有概念性变式和过程性变式。概念性变式是指改变概念的本质属性和非本质属性，列举正例、反例，使学生从多角度、多方面理解概念，从而建立新旧概念之间本质的联系。过程性变式是指利用变式展示知识发生、发展、生成的过程，从而理解知识来龙去脉，形成知识网络，使学生抓住问题的本质，加深对问题的理解，变式教学是培养学生数学技能，优化思维品质的重要方式。

数学启发式教学的目的是“举一反三”，所谓“反三”，从解题角度来说，就是以“举一”为源，变式拓广，多题一解，一题多变，由一题会解一类题，触类旁通，融会贯通。因此，在教学中要以问题为中心，精心组织教学内容，启发引导学生纵横思索，发散联想，扩广引申，变式探究，为学生创设发现、探索、归纳的平台，使他们从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中发现“变”的规律，从而发展学生的理性思维，增强学生的创新意识和应变能力。

5.利用数学直观进行启发

数学家克莱因认为：“数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”而西方哲学家则认为：“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。”心理学家则认为：“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力。”徐利治教授指出：“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识”，即直观能够建立起人自身体验与外物体验的对应关系。直观一般有两种：一是透过现象看本质；二是能一眼看出不同事物之间的关联。可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定势圆。

数学直觉是指人们不受固定的逻辑规则约束，对数学对象（结构及其关系）的某种直接领悟和洞察。直觉包括“感性直觉”和“理性直觉”两个不同的层次，直观属于“感性直觉”，它仅是一种感性观感；“理性直觉”是对事物本质的觉察。直观是直觉形成的基础，教学中，以数学直观（几何直观或模型直观）为引诱材料进行启发，在理性思考作用下，可以使学生迅速认识数学对象的本质或不同数学对象之间的联系，诱发灵感，产生顿悟，由感性认识上升到理性认识。

（二）中学数学中的科学方法

中学数学的科学方法是建立在中学数学的逻辑基础之上的，对于改进教学方法具有积极的指导意义。中学数学中常用的科学方法主要有观察与试验、分析与综合、数学抽象方法、数学模型方法、数学公理化方法、关系映射反演方法等。这些科学的方法是密切关联着的一个体系但每一种方法都有其独立性和明显的思维特点。引导学生逐步掌握这些科学方法是从根本上提高学生数学能力的重要手段。

观察与实验，分析与综合和数学抽象等方法，是中学数学教学中最常用的数学推理方法。数学模型方法是中学数学教学中最重要的数学教学方法。数学公理化方法是从尽可能少的基本概念和基本公理出发，应用严格的逻辑推理，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法。如数学史上的重要著作《几何原本》，就是欧几里得将逻辑的公理演绎法应用于几何学，把先前零乱的、互不相关的几何知识，按照公理系统的方式进行安排，组成一个条理清晰的有机整体。

中学数学中，以初等数学为主体，采用了不十分严谨的公理系统处理各章节教材。教材结构呈以下块状形式：感性材料——设置公理、定义和概念—引进并证明定理、公式→应用举例。这种处理方法在理论上虽不够严格，但从数学教学原则上讲，仍不失它的积极作用。

关系映射反演方法在数学发现和数学解题中有着多方面的作用，它既可用来指导数学发现，推进数学研究，又能用于处理具体数学问题，开拓灵巧的解题思路。它的全过程可概括为以下几个步骤：关系—映射—定映—反演。关系映射反演方法是高层次的数学方法，由此还可以派生若干具体数学方法。如中学数学中常见的换元法、三角法、复数法、构造法、初等变换法、解析法、母函数法等，这些都是关系映射反演法在中学数学中的具体应用。

中学数学教学法的采用，是为了学生更好地掌握知识、发展能力，特别是在“素质教育”的今天，更应突出对学生科学方法的教育。科学方法能够在学生思维的过程中优化思维的品质，培养学生的探索性思维能力。所以，要大力倡导将科学方法用良好的教法施教于数学教学之中，让数学教学生机勃勃。