富于联系的概念图式：小学数学教学与研究

【案例1】

除法教学的教学目标

新手教师的教学目标：

（1）学生初步理解除法的含义和概念。

（2）认识“÷”。

（3）认识除法算式中的3个名称“除数”、“被除数”、“商”。

专家型教师的教学目标：

（1）通过对围棋子分一分，理解“同样多”。(www.xing528.com)

（2）认识“平均分”，知道可以用除法表示平均分，认识除号，会读写除法算式，理解除法算式各部分的意义。

（3）结合点子图发现除法与乘法、加法、减法的内在联系，感觉数学知识之间的内在联系。

从上述案例可看出，新手教师更多地关注所学概念本身；而专家型教师不仅关注了数学概念本身及其与其他知识间的联系，而且对学生学习起点也作了预设。比如，“同样多”是“平均分”概念的基础，“平均分”则又是“除法” 的现实模型，这是一个借助学生可能拥有的操作经验逐渐抽象的过程，也是数学本身发展的过程。

两位教师在预设教学目标时的差异表明了两者本身所拥有的数学专业知识网络的差异。我们认为，一个好的小学数学教师或一个专业化水平高的小学数学教师应当拥有层次、复合的数学知识网络。这即是指，新手教师虽然对数学知识有比较清晰的概念，而且也能很容易地理解数学题目，但对数学知识之间的联系把握不清，表现在两方面：一方面，不了解某个具体的数学知识是通过什么知识发展而来的，导致认知结构中的数学知识缺乏层次性；另一方面，不了解数学知识间的联系，导致认知结构中的数学知识缺乏联系。

案例中的另一个差异是新手教师与专家型教师在预设学生学习起点时的差异。专家型教师能有效地考虑学生在学习新知识时可能存在的学习起点，而新手教师则只关注学生所要学习的新知识本身。比如：“把一堆东西分成同样多”是大部分学生所拥有的操作性经验，这与所要学习的“除法”概念本质上存在一致性，只是抽象程度不同而已。因此，我们认为，一个好的小学数学教师善于将学生的经验与所要学的知识有效地结合在一起。当然这些经验并不特指学生的生活经验，也包括学生科学学习中的经验。

概括起来，一个专业文化水平高的小学数学教师应该拥有一个富于联系的概念图式，这里的图式不仅包括有层次而有复合的数学知识网络，而且网络中又有许多如具体的生活经验等经验性的知识作为支撑。