小学数学教学：变换菜单作图及方法简介

使用几何画板的变换菜单可以作如下四类变换，即平移、旋转、缩放、反射。

1.旋转

日常经验告诉我们，在做旋转动作时，需要知道旋转的对象、旋转的中心点以及旋转的角度；在几何画板中也同样如此，在使用“变换”菜单下的“旋转”命令作图时，需要选取旋转对象，指定旋转中心点和旋转角度。

在几何画板中将指定旋转中心点称为“标记中心”。标记中心的方法有两种：

图9-23　变换条件

方法1　选取欲做旋转中心的点，单击菜单命令“变换∕标记中心”。方法2选取工具箱中旋转箭头工具，用其在欲做旋转中心的点上双击鼠标。

几何画板按旋转角度值的固定与可变，有以下两种旋转变换：

按“固定角度”旋转变换　直接输入固定角度值（若为正值，则逆时针旋转；若为负值，则顺时针旋转）；

按“标记角度”旋转变换　按事先标记好的旋转中心和标记角度做旋转。

其中标记角度的方法有：

（1）依次选中一个角的边上的点、顶点、边上的点，单击菜单命令“变换∕标记角度”，可以标记一个角度。要注意选取三个点的顺序，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角；按顺时针方向，标记的是负角。标记角时选择的方向决定对象的旋转方向。

（2）选中某角的度量值或选中一个新建参数值（单位为度或弧度），单击菜单命令“变换∕标记角度”，可以标记一个角度。

例10　绘制一个60°的角。

（1）选取线段直尺工具作一条线段AB。

（2）选取“移动箭头工具”选中点A，单击菜单命令“变换∕标记中心”。

（3）选中线段AB和点B，单击菜单命令“变换∕旋转”，弹出“旋转”对话框。

（4）选择“旋转参数”下的“固定角度”，在其下方的文本框内输入“60”，此时可以预览图形旋转后的效果（如图9-24），再单击“旋转”按钮。

图9-24

（5）选取“文字工具”单击旋转后生成的点，系统默认标注为B′。

（6）选取“移动箭头工具”，选中点B和点B′，单击菜单命令“显示∕隐藏点”，则得所要求的角。

例11　中心对称演示

将三角形“按标记的角”旋转，同时能通过改变角的大小动态演示对象的旋转过程。

【步骤】

（1）作一点O及三角形ABC，将点O与三角形的三个顶点分别用线段连接，连线线型设置为“点线”。

（2）在右边绘制一条线段，构造线段的中点E，依次选取中点E、线段的右端点和左端点，单击菜单命令“构造/圆上的弧”，在弧上任意取一点F，连接EF、ED（这样做的目的是使得∠DEF在0～180°范围内变化），隐藏圆弧、直径和左端点。

（3）用移动箭头工具依次选取点D、E、F，单击菜单命令“变换∕标记角度”，标记角。

（4）双击点O，将其标记为旋转中心。

（5）选择点A、B、C及线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，单击菜单命令“变换∕旋转”，在弹出的对话框中选择“标记角度”，单击旋转按钮完成，如图9-25所示。

（6）拖动点F，可以看到红色三角形旋转过程。

图9-25

2.平移

对一几何对象进行平移变换时，需确定移动的方向与距离。基于这一点，几何画板设计了三种平移方案：极坐标平移、直角坐标平移、按标记向量平移。

在极坐标系中最多可以组合出4种方法，在直角坐标系中可以组合出4种方法，按标记向量平移有1种方法。如图9-26所示。

图9-26

例12　用平移绘制全等三角形

【步骤】

（1）新建文件，作一个三角形ABC。

（2）在画板空白处作一条线段DE，在DE上取一点F，按Esc键，依次选中点D、点F，单击菜单命令“变换∕标记向量”，则标记向量。

（3）选中三角形ABC的三条边和三个顶点，单击菜单命令“变换∕平移”，弹出平移对话框（如图9-27），单击“平移”按钮，得到一个与三角形ABC全等的三角形A′B′C′。

图9-27

（4）拖动点F，观察两个三角形的位置变化情况，当点F和点D重合时，两三角形也重合。

例13　作一个相邻三条棱都可以改变的平行六面体

【步骤】

（1）作线段AB、AC、AD。

（2）标记向量AB，选中线段AC、AD及其顶点，让它们按标记向量平移，连接DD′。

（3）标记向量AC，选中四边形ABD′D及其顶点，让它按标记向量平移，连结对应顶点。

（4）选中线段AD、DD′，将其线型修改为“虚线”，如图9-28。

图9-28

3.缩放

缩放变换，就是将对象以某一点为缩放中心，按一定比例进行的位似变换。几何画板有两种缩放变换方案：一是按固定比缩放；二是按标记比缩放。

（1）按固定比缩放(www.xing528.com)

首先标记某一点为缩放中心，然后选取缩放对象，单击菜单命令“变换∕缩放”，在弹出的“缩放”对话框中的“缩放参数”中选择“固定比”，在下方文本框输入象与原象的比值（分子是象值，分母是原象值），单击“缩放”按钮，则得按相似比缩放后的象。

图9-29　缩放对话框

（2）按标记比缩放

按标记比缩放需要预先标记比例，其方法有：

①选定两条线段，单击菜单命令“变换∕标记线段比例”，标记以第一条线段长为分子、第二条线段长为分母的一个比。这种方法也可以事先不标记，在弹出“缩放”对话框后依次单击两条线段来标记。

②选定度量得的比值（无单位）或选定一个参数（无单位），单击菜单命令“变换∕标记比值”。

③选定同一直线上的三点，单击菜单命令“变换∕标记比”，可以标记以一、三点距离为分子，一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便，根据方向的变化，比值可以是正、零、负等。在弹出“缩放”对话框后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记这个比值。

例14　通过缩放变换由一个已有的三角形ABC生成一个与它相似三角形ADE，它们对应边之比为2∶3

【步骤】

（1）选取三角形ABC顶点A，单击菜单命令“变换∕标记中心”，将该点设置为缩放中心。

（2）选中点B、点C和线段BC，单击菜单命令“变换∕缩放”，在缩放对话框的文本框内按图9-30所示输入比例，单击“缩放”按钮，由此生成一条线段和两个点。

图9-30　缩放

（3）用文字工具将AB边上的点标注为D，AC边上的点标注为E。

4.反射

反射，就是将选定的对象按标记的镜面（即对称轴）构造轴对称关系。在使用该命令时需将某直线（射线或线段）标记为镜面。

例15　通过反射变换由一个已有的三角形ABC生成一个与它全等的三角形A′B′C′。

【步骤】

（1）在画板已有的三角形ABC的右侧作一条竖直的线段。

（2）选中该线段，单击菜单命令“变换∕标记镜面”，将此线段设置为对称轴。

（3）同时选中三角形的三个顶点和三条边，单击菜单命令“变换∕标记镜面”，由此生成一个三角形A′B′C′（图9-21）。

图9-31

5.迭代与深度迭代

迭代是一种重复的过程，其目的通常是逼近所需的目标或结果。每一次对过程的重复被称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。

几何画板中的迭代，是指按照一定的变换规则，原象形成初象，然后初象又作为原象形成新的初象，经过多次变换形成的系列变换。迭代的对象可以是点，也可以是参数。

迭代命令操作：先选取一个（或几个）自由的点（即平面上任一点或线上任一点，称为原象点），然后单击菜单命令“变换∕迭代”，出现“迭代”对话框后，选取原象点产生的目标点作为初象，同时设置迭代次数，最后按“迭代” 按钮，即得迭代的象。

例16　迭代法绘制正五边形

【步骤】

（1）在画板作两点A、B，让B点绕点A旋转度得点B′，连接BB′。

（2）选取点B，单击菜单命令“变换∕迭代”，弹出“迭代”对话框（如图9-32）。

图9-32　迭代对话框

接着鼠标单击点B′，在对话框初象下文本框内，自动填入B′，同时预览到迭代后的图象，此时对话框显示“迭代次数：3”，预览图中迭代后所得边数也为3（如图9-33）。

图9-33　迭代

再单击“迭代”对话框“显示”按钮，在显示的选项中，单击“增加迭代”选项（也可使用它的快捷命令，按键盘上的“+”键）一次，此时对话框显示“迭代次数：4”，预览图中也恰构成五边形，单击“迭代”命令，则生成一个正五边形，如图9-34所示。

图9-34　迭代

深度迭代

迭代次数由一个参数控制的迭代，即为深度迭代（或称带参数的迭代）。单击“变换”菜单，同时按住键盘上的Shift键，则显示“深度迭代”选项。

深度迭代的操作方法：新建一个参数n（取正整数），选中原象点和参数n，并按住键盘上的Shift键，接着单击菜单命令“变换∕深度迭代”，出现“迭代”对话框后，选取原象点产生的目标点作为初象，按“迭代”按钮得动态迭代的象。选中参数n，按键盘“+”号键增加迭代次数，按“-”键减少迭代次数。

例17　绘制正n边形

（1）单击菜单命令“数据∕新建参数”，新建参数n（作为正多边形的边数），并改参数数值为6，单位选择“无”，单击“确定”按钮，如图9-35所示。

（2）选中参数n，单击鼠标右键，选择快捷菜单中的“属性”选项，弹出“参数”对话框，在“动画参数”标签“键盘调节”中设置改变以1.0为单位，单击“确定”，如图9-36所示。

图9-35

图9-36

（3）单击菜单命令“数据∕计算”，在弹出的计算器中，单击数字按钮输入“360”，接着点选“单位”按钮，在下拉选项中选择“度”，然后单击“÷”按钮，再鼠标点取参数n，单击“确定”，在画板得计算值=60.00°。

（4）在画板作点A、点B，标记点A为旋转中心，选中点B，单击菜单命令“变换∕旋转”，弹出“旋转”对话框，选取计算值=60.00°，旋转参数变为标记角度，单击“旋转”，得点B′，连接BB′。

（5）单击菜单命令“数据∕计算”，弹出计算器，然后单击参数n，接着点击计算器中“-”键、“1”键，单击“确定”按钮，在画板得计算值n-1=5.00，该值将作为迭代次数。

（6）选中点B和计算值n-1=5.00，并按住键盘上的Shift键，接着单击菜单命令“变换∕深度迭代”，出现“迭代”对话框后，选取点B′作为初象，按“迭代”按钮，即得正六边形.

（7）选中参数n，用键盘数字区上的“+、-”键可以改变n的大小。

图9-37