小学数学教学与研究：概率知识亲身体验、联系统计知识

对小学数学来说，概率内容主要涉及不确定现象，其内容包括：初步体会有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的，能够简单地试验所有可能发生的结果，知道有些事件发生的可能性大小，并能对这些可能性的大小用文字语言进行描述，并和同伴交换想法。

（一）初步感受不确定性

“初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的”。这一内容的重点是让学生初步体验有些事件发生的结果，有确定的与不确定的两种情况。实施过程是在学生动手操作中，在愉快的玩中，获得初步的体验。对小学生来说，在课堂教学过程中做一些小游戏是有很大吸引力的，比如，让每个小学生准备一些不同分值的硬币，然后猜一猜硬币掷在课桌上，它是正面朝上，还是反面朝上，在学生猜的过程，安排学生做掷硬币的游戏。通过掷不同的硬币，让学生体验到硬币朝上或朝下的可能性。

“能够列出简单试验所有可能发生的结果”。记录简单试验的结果，是分析事件发生可能性的依据。学生通过记录的形式，既能从中体验不确定的现象，又能为简单分析提供依据。这项目标的重点是会做简单的试验，在学生做试验的过程中，懂得试验的操作方法，并会进行记录。例如：摸小球的试验，如果盒子里有5个颜色不同的小球，每次摸一个小球，每次摸出小球的颜色有哪些可能？对于这一活动，首先要明确摸球规则，一个学生摸球后，另一个学生才能接着摸。其次要指导学生会放球。当一个学生摸出小球看见了颜色后，应把小球放回原处。以上这些操作虽然是十分简单的操作动作，但只有在教师的指导下，他们才会懂得试验的操作过程。

（二）感受可能性

事件发生可能性的大小是由事件的各种因素决定的。同样摸球，如果某种颜色的球数量多一些，那么摸出这一颜色球的可能性就大一些，对于这一道理，既不能由教师直接告诉学生，也不能在活动中刻意去追求。它只有在学生自己的活动过程中，通过经历悟出其中的道理。因此，这项目标实施的重点是，通过一系列活动，逐步让学生悟出事件发生可能性有大有小。例如：盒子里有2个红球和2个黑球，请学生连续摸10次，看一看摸到红球的可能性与摸到黑球的可能性哪个大。然后将盒子内的1个红球改为黑球，使盒子内有1个红球和3个黑球，再请学生连续摸10次，从中观察摸出哪种球的可能性大。接着再增加黑球的数量，再进行操作。经过一系列的活动，学生会体会到事件发生的可能性是有大小的。

对一些简单事件发生的可能进行描述，使学生用语言来表述自己的感受，在教学中，要注意两点。一是要注意在活动中描述不确定的现象。如，在上述的摸球活动中，盒子内是10个白球，那么，语言的描述就是“摸出的球一定是白球”。学生只有通过一边操作、一边观察、一边描述，才能真正体会到描述词语的实际意义。二是要注意在比较中，深刻理解词语的意义。

（三）注重学生的亲身体验

概率知识很重要，但很抽象，小学生难以理解。小学生的思维毕竟是以形象思维为主，在理解一些抽象的事物时总是存在客观上的认识、理解和接受的障碍。在学习活动中，学生更愿意自己去经历、去实践。学生或许会相信你告诉他的，但他更愿意相信自己看到的、经历过的事，这就是一种体验。让学生经历学习的体验非常重要，因为这将直接影响到学生对知识主动建构的质量。这一过程恰恰体现了学生学习的主动性和主体意识。为此，教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学活动；创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会概率知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验。在具体的活动和实际的操作中，学生亲身参与实践，感知概率，获得亲切的学习体验，这对于学生构建“概率”这一知识尤其重要。当然，概率教学的课堂活动中，会出现很多丰富多彩的具体情境，不同的活动，不同的实验方法，不同的记录方式，不同的结果等，让学生充分领略到概率的内在魅力。学生在感受变化无穷的事件发生的过程中，内心的感受也一定是丰富的、饱满的，此时与同伴的交流就是学生的一种心理需要，也恰恰是教学的需要。学生在交流中逐步感知、建构起概率知识。

（四）渗透统计与概率知识之间的联系

统计与概率的内容和其他数学领域的内容有着紧密的联系。这部分内容的教学，应为发展和运用比、分数、百分数、度量、图象等概念提供活动背景，为培养学生综合运用知识解决问题提供机会。统计与概率之间的一些关联在小学数学的学习内容中也开始有初步的表现。比如，对事件发生可能性的感受需要经历对数据的收集和整理工作，而对事件发生可能性的把握又可以促进对有关数据的准确预测。这些对于学生理解统计与概率的有关知识，有效地使用这些知识去解决问题有着极为重要的意义。因此，要使学生在具体知识的学习过程中初步体会这些关联，感受数据中所包含的不确定性和不确定事件的结果中所存在的统计意义。为此，我们可以在教学中安排一些具有若干个不同可能性结果的活动，让学生收集多次活动结果所产生的数据，并通过对它们所做的处理去判断下一次活动结果的可能性。例如：可以安排学生收集和处理塑料袋白色污染的数据，经历数据的收集、整理、描述和分析的过程，加深对不同统计量意义的理解。让他们在活动中综合运用已经学过的数学知识，感受丢弃塑料袋的行为对大自然所造成的污染，以唤起他们的环保意识。

【案例1】

统计

教学过程

一、智慧总动员

师：同学们，今天刘老师要与大家一起继续学习第9单元：统计。

板书：统计。

师：统计的作用可大了，有一个人听说同学们都会统计了，想请大家用统计的方法帮帮忙，你们愿意吗？

生：愿意。

师：同学们都是助人为乐的好孩子，这个人是谁呢？你看，她来了。（课件出示交通警察图片。）是一位漂亮的警察阿姨。

（课件）同学们好，请大家帮我统计路口一分钟内通过的四种车辆的数量，谢谢了！

师：警察阿姨多有礼貌啊！这位警察请同学们统计的四种车辆是小轿车、货车、公共汽车和摩托车（在黑板上的统计表中贴四种车的图片）。

二、智慧大探秘

师：准备好了吗？我们一起到路口看看去。（课件播放动画：路口车辆通过情况。）

生：太快了。

生：我记住摩托车过了2辆。

师：看来我们用前面学习的统计方法不能完成警察阿姨交给的任务，想个什么办法能准确记住通过路口的四种车的数量呢？聪明的孩子们，老师知道你们一定能想出好办法，在小组内讨论一下。

学生分小组讨论、教师指导。

师：哪个小组的同学能告诉大家你们想出的好办法？

生：我们觉得把车写下来。

师：你的意思是每过一辆车都记下来是吗？

生点头同意。

师：这可是个好办法，你准备记在哪儿？怎么记？

生：记在纸上，记数字“1”。

师：老师已为你们准备了记录单，除了记数字“1”以外还可以记什么？

生：还可以画圆圈。

生：画三角形……

板书：画记号（1、0、△、√、正……）

师：除了画记号外还有其他的办法吗？

生：一个人记一种。

师：分工，这个办法好！你打算怎样给你们组的六名同学分工？

生：四个女生一个人记一种。

师：还有两个男生做什么？记一种要画记号吗？

生：他们也可以记一种，要画记号。

师：你们太了不起了，想出了这么多的好办法，下面我们再去路口统计一次，请在记录单上用你喜欢的记号在每种车的下面用彩色笔记录车的数量。（课件播放路口车辆通过情况，学生统计。）

师：哪位同学能大声告诉大家，你是用什么方法统计的？统计的结果是怎样的？如果是用分工的方法统计的，就几个人一起汇报。

生汇报统计的方法和结果。

师展示三种不同统计方法的记录单。

师：经过统计，现在大家可以把每种车的数量填在统计表中了。（学生独立完成。）

师：告诉我，你们是怎么填的？

（学生说，教师记录。）

师：同学们真能干，用自己想出的办法统计出了路口四种车辆的数量。你能根据统计表中的数据完成这个统计图吗？（课件出示四种车辆的象形统计图。）

师：谁能告诉大家，画统计图的时候要注意什么？

师：请大家在纸上完成统计图！看谁完成得又快又好。

生完成统计图。

师：大家完成了，刘老师也要完成（课件完成统计图）。

师：小组长带领大家一起评一评小组内哪位同学的作品最漂亮。

师：说说你们组谁的作品最优秀，他的作品哪些方面做得比你好？

师：从统计图中我们可以了解很多信息，解决很多数学问题。请你们根据统计图回答下面几个问题（课件依次出示三个问题，点名回答）：

①路口通过的（）车最多，是（）辆。

②通过的轿车比货车多（）辆。

③你还能提出什么数学问题？

三、智慧大盘点

师：同学们，在大家的共同努力下，我们出色地完成了警察阿姨交给的任务。我们每个人的表现都很棒，如果我们要评选出在这次课中表现最棒的同学，你选谁？为什么？（学生推荐，教师在黑板上记录。）为了等会儿便于书写，我给每个同学编个号。

师：经过大家推荐，我们初步选出四名同学。刘老师想通过小组投票的方式在这四名同学中评选出一名最优秀的同学为本次课的“学习之星”。小组讨论，谁是四名同学中最优秀的，小组长就把谁的号码写在纸上交给刘老师。

学生小组活动。

师：现在每个组选了一名同学，可我们都不知道每位同学到底得了多少票，怎样应用今天的统计方法统计每位同学得了多少票？

生：把每个同学的票数出来。

生：在每个同学的下面画记号。

师：那老师就开始唱票，请同学们在记录单上画记号统计。

师：根据你的统计结果将统计表填写完整。

生填写统计表。

师：哪位同学能告诉我，四位同学中哪位同学被评为本次课的“学习之星”？

生汇报统计情况。

师表彰“学习之星”。

（刘洪超：湖北恩施市施州民族小学。）

【案例2】

复式折线统计图

教学过程：

一、情境引入，复习旧知

1.问题情境

下面是我们班张明和王星同学五天的跳绳训练成绩，如果我们要选拔一位同学参加学校的1分钟跳绳比赛，我们应该选谁？

张明：201 205 208 213 217

王星：206 204 210 209 202

2.学生说理

学生都从数据的变化趋势中发现张明在不断进步，而王星起伏不定，一致认为应选张明。

教师板书：数据的变化趋势。

3.引导转换，复习旧知

师：如果我们想更清楚、直观地看出两人成绩的变化趋势，还可以用什么方法来表示？

生：我们可以用统计图表示。

师：我们已经学过了条形统计图和折线统计图，那么用什么统计图来表示比较合适呢？

学生讨论，得出应选用折线统计图，并说理“可以清楚地看出数据的增减变化情况”。

4.简单读图，感悟趋势

呈现张明和王星跳绳成绩的折线统计图（图1、图2），学生读图，简述趋势，得出“淘汰王星”的结论，课件隐去图2。

图1　张明一周1分钟跳绳情况统计图

图2　王星一周1分钟跳绳情况统计图

二、学习新知，初步感悟

1.制造冲突，引发思考

（1）下图是刘辉同学的跳绳成绩（图3），请分析他的进步趋势。

图3　刘辉一周1分钟跳绳情况统计图

（2）设问：如果张明和刘辉要一决高下，谁获胜的可能性更大一些。

课件切换，将张明和刘辉两人的折线统计图并排呈现在一起，学生交流。

（3）学生都认为张明获胜的可能性比较大。因为他们两人的成绩虽然都在上升，但张明的折线要斜得厉害，说明他上升的趋势更明显。

（4）引发思考。

师：我们能不能再想个办法，对这两张图作个处理，使得我们能一下子就看出张明比刘辉进步得更快？

2.唤醒旧知，初步感悟

（1）直接过渡。

生：我们可以把两张统计图合并在一起。

师：以前我们学过把两张条形统计图合并在一起，今天你们想把两张折线统计图也合并在一起。好的，老师给你们试一试。

课件演示合并（合并后，两条折线都是黑线）。

（2）细节教学。

师：现在老师把两条折线合在了一个图上，你们可以怎样来看这个图呢？

引导学生发现同一种颜色的折线无法区别两人成绩，再次唤醒学生已有经验，课件直接演示出不同颜色（线型）的折线以及图例（图4）。

揭题：复式折线统计图（板书）。

图4　张明和刘辉一周1分钟跳绳情况统计图(www.xing528.com)

（3）感悟优点。

师：看了现在这张统计图，你怎么一下子就看出张明的成绩进步快呢？

生：虚线一开始在下面，慢慢到了实线上面，这就说明张明进步得比较快。

师：这张复式折线统计图，相比刚才的两张折线统计图，你觉得它有什么优点呢？

师生共同得出：便于比较两组数据的变化趋势。（板书补充完整）

三、多种途径，加深体验

1.变式练习

师：复式折线统计图到底是不是真的便于比较呢？我们再来看一个例子。

课件呈现“王芳7—15周岁体重变化情况统计图”（图5）。

师：仔细观察一下这张统计图，你了解到了什么？

生1：我知道王芳的体重在不断增加。

生2：我看出王芳的体重增加得很平均，很好。

图5　王芳7—15周岁体重变化情况统计图

师：看一条折线做出这样的结论，其实不是很科学。老师再给大家看一个信息。

课件演示，加上一条“标准体重”折线。（图6）

图6　王芳7—15周岁体重与标准体重对比情况统计图

师：现在你能不能再来评价一下王芳的体重发展情况？

生1：现在我看出了王芳的体重一直高于标准体重，有点不正常。

生2：我反对。我觉得高一点是正常的，因为每个人不可能都是像标准体重一样的。

生3：他说的有道理，不过我还是觉得有点不正常。主要是王芳在13岁以后，远远超过标准体重。

师生共同体会到复式折线统计图确实便于比较两组数据的发展趋势，并能帮助人们做出科学的判断。

2.巩固练习

屏幕呈现电脑销售复式折线统计图（图略），简单读图。

（1）请学生根据统计图反映的信息，比较分析两款电脑的销售情况。

（2）请学生设想销售公司将会采取的销售对策。

四、落实技能，强化体验

1.教师指导，学生尝试绘图

（1）屏幕呈现“第9—14届亚运会中国和韩国获金牌情况统计表”，要求学生将其绘制成复式折线统计图。

（2）学生独立绘图，教师巡回指导。

（3）投影呈现学生作品，反馈纠错，课件演示绘制过程，得出完整统计图（图7）。

图7　第9—14届亚运会中国和韩国获金牌情况统计图

2.读图练习，再次体验（略）

3.对比旧知，实现沟通

（1）从亚运会引导到奥运会。出示中国和美国在第24—28届奥运会上获金牌情况的复式条形统计图（图8），请学生分析一下中美情况。

（2）根据“中国是否可能在今年奥运会上金牌赶超美国”，引导学生观察复式条形统计图中反映的两国夺金趋势。

（3）课件演示复式条形统计图转化成复式折线统计图的过程（图9），再次观察趋势。

图8　中国和美国在第24—28届奥运会获金牌情况统计图

图9　中国和美国在第24—28届奥运会获金牌情况统计图

五、知识梳理，总结体验

略。

（何月丰：浙江省海盐县实验小学）

【案例3】

可能性

教学过程

一、创设摸球情境，引导探究体验

1.通过猜球游戏，体验“一定”。

师：吴老师这里有个漂亮的纸盒，里面装着一些球，下面我们来玩一个游戏，（请两名学生上台。）大家听清游戏规则：我们3人合作，由你来摇动纸盒，他从里面随意摸出一个球，别让老师看到，老师来猜它的颜色。下面的同学，好好欣赏一下老师的本领吧！

师：（生摸球。）我猜是黄球。（学生高举球。）看，我猜对了没有？

生：猜对了，猜对了。（部分学生鼓起掌来。）

师：再来一次。我猜又是黄球。（展示。）哇！我又猜对了吧！

师：再来再来，我还是猜黄球。（学生热烈鼓掌，情绪高涨。）怎么样？同学们，吴老师猜颜色的本领够厉害吧！知道老师为什么猜得这么准吗？

生：因为你知道这个盒子里装的全都是黄球。盒子里装的全是黄球，那么，如果吴老师继续摸下去的话，摸出来的也一定是——黄球。

（板书：一定）

师：（拿出一袋白球。）如果让你闭上眼睛，从这个袋子里任意摸出一个球，结果会怎样？

生：因为盒子里只有白球，所以摸出来的一定是白球。

师：确定吗？（学生齐：确定。）像这种一定会发生的事情结果总是确定的。

（板书：结果确定）

2.创设摸奖情境，体验“不可能”。

师：同学们，老师今天带来了一个摸奖的箱子，现在老师把一些球放进去，（白球、绿球各4个，不让学生看）只要你们能从这个箱子里摸出一个黄球，就中奖了，奖品是贴画、彩笔、小本子，谁想来试试？

生1没中奖。

生2也没中奖。

生3、生4……都没中奖。

师：这么多的同学都摸过了，为什么都没能中奖呢？难道你们今天的运气都这么差吗？

生：箱子里面根本就没有黄球。

师：真的吗？你们都这样认为？这只是你们的猜测吧？既然是猜测就要验证哦！怎么验证？

生：把球都倒出来看看。

师：好吧，大家请看，有黄球吗？

生：没有，都是白球和绿球。

师：如果继续让你们摸下去的话，可能中奖吗？

生：不可能。

（板书：不可能）

师：从这个箱子里还不可能摸出什么颜色的球？（学生有的说红球，有的说紫球，有的说黑球……）也就是说：除了白球和绿球，其他任何颜色的球都不可能摸出，是吧？像这种不可能发生的事情，结果也是确定的。

3.继续创设摸奖情境，体验“可能”。

师：既然从这个箱子里不可能摸出黄球，那么你们就都中不了奖了，这样的摸奖游戏有意思吗？那应该怎么办呢？

生：可以把一些黄球放进去。

师：好，老师听你们的（把一些黄球放进去）。这回如果从箱子里任意摸出一个球一定能中奖吗？

生：不一定。

师：为什么？

生：因为箱子里既有黄球，也有白球，还有绿球。

师：那你们觉得会摸出什么球呢？

生：可能摸出黄球，也可能摸出白球，还可能摸出绿球。

师：也就是说这三种颜色的球都有可能摸到。因此，可能中奖，也可能不会中奖，结果能确定吗？

生：不能确定。

（板书：结果不确定）

师：像这种结果不能确定的事情，我们只能用哪个词来描述？

生：可能。

师：同意吗？

生齐：同意。

（板书：可能）

师：下面谁来试试自己的运气？（生摸，实际体验。）

师小结：同学们，刚才我们通过玩一玩、猜一猜、说一说，学会了用“一定”“不可能”“可能”来描述游戏中的各种情况。请同学们回忆一下这些游戏的全过程，当只有一种结果的时候我们用“一定”来描述这件事；当有两种或两种以上结果的时候，我们用“可能”来描述这件事；不存在的事物或现象我们用“不可能”来描述。

二、联系生活，实际运用

1.判断生活中的事件。

师：今天老师带来了几个生活中的例子（课件出示六种现象：

（1）三天后下雨；

（2）我从出生到现在没吃过一点儿东西；

（3）地球每天都在转动；

（4）有人用左手拿筷子；

（5）太阳从西边升起；

（6）地球上每天都有人出生）。

如果你认为某个事件一定会发生，就在方框里画√，认为不可能发生，就在方框里画×，认为可能发生，就在方框里画○。

a.六种现象做成六个签，学生回答之前，先让另一学生猜猜他会抽到几号签。

b.回答时，用“一定”“不可能”“可能”这些词来描述这些现象，还要说出理由。

2.下列事件，用“一定”“不可能”“可能”中的哪个词来描述比较合适？请说明理由。

（1）明天老师表扬我。

（2）有人敲门，是妈妈回来了。

（吴梅珍：江西新干县金川小学）

【案例4】

平均数（二）

教学设计方案

续表

续表

续表

（选自第二届中国小学数学教育峰会“课标修订与数学教育发展”研讨会。）