小学数学教学与研究：图形与几何教学的层次性

（一）图形的认识的教学

正确理解与把握《标准》对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点，对于课程的实施和目标的达到是十分重要的。

1.明确认识的对象

在第一学段，《标准》要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形” 等，这些要求中既涉及对简单几何体的认识，也涉及经过抽象后的三维图形和二维图形。

人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球……都给我们以长方体、正方体、圆柱、球等直观形象。基于这样的生活经验，图形认识的学习是从认识立体图形开始的。因此，在第一学段图形认识的教学中，教师要充分利用学生的生活经验，多让学生观察、操作实物模型，不仅要让学生从不同的角度看，而且要让学生用手摸，再配合多媒体的动态直观演示，让学生在生动具体的情境中，积累几何活动经验，进一步丰富对图形的理解和认识。

在第二学段中，认识的图形增加了线段、射线和直线等一维图形；对角的认识扩大到了平角、周角，增加了梯形、扇形，对三角形的认识从一般三角形到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等；三维图形的认识对象增加了圆锥。

与其他二维图形、三维图形相比，点、直线、平面这些基本图形抽象的程度更高，因此必须结合对现实生活中物体的抽象才能更好地理解它们。

2.明确图形认识的要求

图形认识的要求主要包括两个方面：一是对图形自身特征的认识；二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。

对图形自身特征的认识，是进一步研究图形的基础。《标准》在两个学段中认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”。例如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体，第一学段要求“辨认”，第二学段要求“认识”。又如，对于平行四边形，第一学段要求“辨认”，第二学段要求“认识”。再如，关于“视图”，第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”。第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”。这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐渐深入，循序渐进。

对图形的各元素之间、图形与图形之间关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。第一学段的“了解直角、锐角和钝角”，第二学段的“体会两点间所有连线中线段最短”“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”“了解三角形两边之和大于第三边”等，都是对图形大小关系的研究。

3.明确认识图形的方式与途径

《标准》中较多地使用“通过观察、操作，认识……”“结合实例（生活情境）了解……”“通过实物和具体模型，了解……”的表述，这实际上明确了认识图形的过程和方式。

图形是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。例如，点是位置的抽象，在几何中用“点”来标记一个物体的位置（如地图上用点表示城市）；线是路径的抽象，我们把“从一个地方走到另一个地方的路径”抽象为“线段，或折线段、曲线段”。又如，观察一张书桌，它占据一定的空间，有长短、宽窄和高矮，这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念，就抽象成几何图形。继续观察，发现桌面上有四个相等的角，两两相等的对边，长和宽不相等。黑板、书本、门窗……都具有这些相同的特征，于是就形成了“长方形”的概念。“长方形”已不再是某个具体的物体，而是抽象了的图形。

（二）测量的教学

对于图形，人们往往首先关注它的大小。一般地，一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。图形的大小是可以度量的，度量的关键是设立单位，而度量的实际操作就是测量。图形测量的相关知识对每个学生的学习和适应未来的生活都是有用的，测量过程中蕴含的方法和思想有助于学生提高分析问题和解决问题的能力。

《标准》中测量的课程内容主要安排在第一、二学段，其要求主要包括：体会测量的意义，体会并认识度量的单位及其实际意义，了解测量的一些基本方法，掌握一些基本图形的长度（包括周长）、面积和体积的测量方法和公式，在具体问题中进行恰当的估测。

1.使学生体会建立统一度量单位的重要性

《标准》在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性”。这种要求对面积、体积的单位也同样适用。

度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。因此，在课程的实施过程中，应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在相互交流的过程中发现单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的重要性。

2.使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟

《标准》在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。

进行单位之间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练，而是要能够体会单位之间的实际关系，这就涉及对单位的理解。长度（面积、体积）单位不是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的实际意义。例如，生活中哪些物体的长度大约为1米？1厘米的长度可以用什么熟悉的物体来估计？哪些物体的质量大约是1千克？哪些物体的体积大约是1米3？

对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。比如，一个成人的身高为175（），应当选择cm而不是mm作为单位，这是对长度单位认识的一个深化。

3.在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量

测量是从人类的生产、生活实际需要中产生的，学习测量的目的是为了实际的应用。在明确实际测量的对象后，选择恰当的度量单位、测量工具及方法，关系到测量能否方便、可操作地进行，影响着测量结果的准确程度。比如，用直尺测量黑板的长度是不错的选择，用它测量一栋大楼的长度就不是上策了。学生只有在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的经验。

4.重视估测及其简单应用

估测或估计是《标准》突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。估测与精确测量之间有着密切的关系。生活中精确测量的结果有时需要用估计的办法来感受，对事物进行估计时则需要对度量单位有很好的认识与把握，对图形度量知识有很好的掌握，同时还要具有一定的空间观念。

估测的意识和能力是在实践中发展起来的。《标准》要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，同时给出具体的实践任务：“测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果估计课桌面的面积；测量步长，利用步长估计教室的面积。”这样，把测量与面积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法。

用小方格估测不规则图形面积的估计方案可以是：小方格里有图形就记为1，无图形就记为0，然后相加求和；精细估计的方案可以是：小方格的图形，大于一半的记为1，小于一半的记为0，然后相加求和。当然，还可以分得更细。让学生通过记录、计算、比较等，体会估计的意义和方法。

5.探索并掌握规则图形的周长、面积和体积公式，并能应用公式解决实际问题

关于规则图形的度量公式，《标准》要求探索并掌握长方形、正方形的周长公式；探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式，并能解决简单的实际问题；探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。

《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等，通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想（如微积分的思想）。

（三）图形的运动的教学

《标准》第一、二学段中关于图形的运动，涉及的主要内容是图形的平移、旋转和轴对称。

了解图形的变换，对学生认识丰富多彩的现实世界、形成初步的空间观念，以及对图形美的感受和欣赏都是十分重要的。通过画简单的对称图形和运用平移、对称和旋转设计有趣的图案，有利于学生初步了解图形之间的关系，有利于发展学生的空间观念。

在图形运动的教学中，教师要引导学生充分地利用折纸和在方格纸上画图的方式学习、理解轴对称图形的特性；利用在方格纸上将一个简单图形沿上下、左右方向平移若干格来理解平移的特性；利用在方格纸上将一个简单图形按顺时针或逆时针旋转90°、180°等来理解旋转的特性以及在方格纸上设计自己喜欢的图案等。用这样简单易学的直观操作的方式引导学生初步认识“图形与变换”的数学内涵。

几何图形的直观为运用图形运动的方法研究图形性质提供了有利条件。通过图形的运动探索、发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣，从中体会研究图形性质可以有不同的方法。

在图形运动的课程实施中，除了直观形象地介绍图形变换的知识外，还应组织学生开展一些实践操作活动，以此来使学生体验图形变换的方法。比如，可要求学生利用图形变换制作一个美丽的图案。学生可以从一个或几个简单的图形出发，按照自己的设想进行平移、旋转、轴对称变换，得到新的图案，并可以不断地改变操作过程，使所得的图案更美，进而相互交流各自图案的特点，相互欣赏、评价图案的美以及设计的创新。

（四）图形与位置的教学

《标准》在第一学段要求用两种方法定性地刻画物体的位置：一种是用“上、下、左、右、前、后”描述物体的相对位置；一种是用“东、南、西、北”等描述物体的绝对位置。第二学段则在此基础上定量刻画物体的位置，即用数对表示物体的位置。

在图形与位置的教学中，应当密切结合学生的生活实际，引导学生体验确定位置的重要性，掌握确定位置的一些具体方法。比如，可先要求一位学生说出其他同学座位的位置（如第3排第5列、第5排第3列等），再要求学生根据座位图说出任何同学座位的位置，然后引导学生感知：表示一位同学的位置通常用两个数，第一个数表示这个同学在第几排，第二个数表示这个同学在第几列，并把这样的两个数写成诸如（3，5）的形式，最后，可要求任何一个学生说出表示自己位置的数对，并在方格纸上根据数对确定位置。又如，可以让一位学生描述从家到学校的路线途经的主要建筑物（参照物）以及相应的距离等，其他同学按他的描述画示意图，然后分组讨论学生的描述和所画的示意图是否清楚、准确，并加以修改、完善。在这样的过程中，学生不仅学会了“借助不同参照物确定物体的位置，并画出示意图”，而且能感受到合作的意义和交流的重要性。

【案例1】

对称

教学过程

一、情境导入

同学们，你们喜欢小白兔吗？请看老师给大家带来的小白兔图片（图片中小白兔右边的眼睛下移了许多，不对称。）

哎呀，不好意思，刚才撞了一下，小白兔的眼睛掉下来了。谁能帮我恢复原状？（同学们看后交流，并上台移好。）

追问：你为什么要把右边的眼睛移到这个位置？你是怎么想的？说说你的理由。（小白兔的脸是左右对称的。）

当学生说出对称时，及时提问：什么是对称？

二、新知探究

1.认识对称轴

自己做一个轴对称图形。学生拿出学习袋中的白纸，先对折一下，然后随意剪出一个图形再展开，观察图形，你有什么发现？

将学生剪出的图形展示在黑板上。看了这么多漂亮图形，谁能够说说这些图形有什么特点？

一个图形沿着一条直线对折后能够完全重合的图形叫轴对称图形。对折后的这条折痕叫作对称轴。

2.长方形的对称轴

大家仔细观察，这个长方形是轴对称图形吗？你能通过对折或其他方法找出它的对称轴吗？拿出自己学习袋中的长方形试一试。

从刚才同学们的不同折法中你有什么发现？长方形有几条对称轴？你们都找到了吗？

3.正方形的对称轴

我们再来研究正方形的对称轴。

（小组合作）你们找到正方形的对称轴在哪里？有几条？画一画，再在小组内交流。

学生汇报，正方形有四条对称轴。

刚才同学们都是通过折的方法找到了长方形和正方形的对称轴，如果不能对折，比如课桌面、老师手中的卡片，你能找到它的对称轴吗？

小组探究。我们可以用测量的方法来找出图形中对应点（到对称轴距离相等的两点）连线的中点（找出两个中点），然后连接中点。

用同样的方法，我们可以画出其他的对称轴。试画出书上长方形的对称轴。

三、实践与探索

1.小博士研究小组：现在我们一起来研究几个问题，并完成研究报告。

问题（1）：下表中是我们以前学过的平面图形，表中哪些是轴对称图形，哪些不是？是轴对称图形的找出各自的对称轴，各有几条？填写研究报告。

问题（2）：这是一些美丽的图形，这些图形都是轴对称图形吗？你能画出轴对称图形的对称轴吗？

（1）先在书上独立完成。

（2）小组交流：是轴对称图形吗？有几条对称轴?

问题（3）：下面的图形都是轴对称图形，先折一折或画一画，它们各有几条对称轴？比较这些图形的特点，你有什么发现？

学生汇报发现的规律。

教师顺势追问：如果用字母n表示正多边形的边数，那么它有对称轴（）条？

2.解决问题

刚才我们找了许多图形的对称轴，也知道了找对称轴的方法，那么找对称轴有什么用呢？我们来看下面的问题。

问题（1）：你能根据对称图形的一半，猜出它的另一半是什么吗？用手比画一下。

问题（2）：剪双喜字。（放一段结婚录像，主要突出双喜字。）大家都看到过结婚的场面吧，结婚时的双喜字你知道是怎么剪的吗？（抓住：双喜是轴对称图形，可以对折，再对折。）（媒体演示。）

四、欣赏与思考

1.对称在我们的生活现实中到处存在，只要我们细心观察一定会有发现。下面我们来欣赏几幅具有对称性的图案或实物照片（国徽、工商银行标志、蝴蝶、蜻蜓等图案），想想它的对称轴在哪里。

2.一条线段是轴对称图形吗？它的对称轴在哪里？任意两个点呢？你能找到它的对称轴吗？（线与点的对称轴引起了认知冲突。）

五、设计

刚才我们欣赏了许多对称图形，那么你能运用学过的知识创作一幅轴对称图形吗？请同学们展开丰富的想象画一幅吧。

六、课堂小结

轴对称图形非常美丽，被广泛运用于服装、家居、建筑、交通、商标等各方面的设计中。老师希望大家能运用今天所学的知识，把我们的教室装扮得更漂亮。

（龚雪生：江苏苏州市相城区湘城小学）

【案例2】

面积和面积单位

教学过程

一、谈话导入

课件出示：面积和面积单位。

师：请看大屏幕，知道我们今天学什么吗？

生：面积和面积单位。

师：看到这个课题，你想知道什么呢？

生：什么叫面积？

生：面积单位有哪些？

师：这节课我们就来研究这两个问题。

二、认识面积，建立面积的概念

师：如果老师请你把黑板面和课桌面擦干净，擦哪个用的时间短一些，为什么？

生：擦课桌面用的时间会少些，因为课桌面比黑板面小些。

师：如果是擦课桌面和凳子面呢？

生：擦课桌的面比擦凳子面用时要多些。

师：我们刚才说的黑板、课桌、凳子都是物体，这些物体的表面都有大小。物体表面的大小就是它们的面积。

（课件出示：长方形和梯形各一个。）

师：这两个图形相比较，谁大呢？

生：长方形比梯形大些。

（课件出示：一个角和一个长方形。）

师：这两个图形呢？

生：长方形的面积大。

生：无法比较。

师：为什么？

生：因为角没有封闭，角的两条边是可以无限延长的。

（课件演示：角的两边延长的情况。）

师：看来，只有封闭图形的面积才是确定的。封闭图形的大小，就是它们的什么呢？

生：封闭图形的大小，就是它们的面积。

师：通过刚才的学习，你们知道什么是面积了吗？

生：物体表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。

师：很好。请大家把这句话读一遍。

三、比较鉴别，感受统一面积单位的必要性

（出示实物：文具盒和数学书。）

师：文具盒上面的面积和数学书封面的面积相比较，谁大谁小？

生：数学书封面的面积比文具盒上面的面积要大些。

师：数学书的封面到底有多大？我们能不能用自己手里的工具测量一下？

生：数学书封面的面积大约有我的4个手掌面那么大。

师：这个同学是以他自己的手掌面积为单位进行测量的。

生：数学书封面的面积大约有我的2个文具盒上面的面积那么大。

师：你们的数学书封面都是一样大小的，为什么测量得到的数据却不同呢？

生：因为我们用的测量工具不一样。要比较两个面的面积大小，就应该使用统一的面积单位来测量。

师：说得太好了！老师准备了一些统一的面积单位（一组正方形和一组圆片）。

（课件演示：用同样大小的正方形和同样大小的圆片测量数学书封面的面积。）

师：从大屏幕上我们可以看出，选择什么形状的面积单位来度量面积要好些？为什么？

生：选择正方形要好些，因为正方形可以密铺，而圆片不能密铺。

师：关于这个问题的研究，数学家们早在两千多年前就规定了用正方形作面积单位会合适些，同学们的想法和数学家的想法完全一致。

四、认识面积单位，感受单位面积的大小

师：请同学们猜想一下，数学家会用边长为多少的正方形做面积单位呢？

生：边长为1厘米的正方形。

生：边长为1分米的正方形。

（课件演示：以边长为1厘米的线段画一个正方形，这个正方形的面积就是1平方厘米。）

师：从学具中找到1平方厘米的正方形。看到这个学具，你有什么感受？

生：这个面积单位太小了，大约有一个大拇指的指甲盖那么大。

师：在生活中，哪些物体的表面大约是1平方厘米？

生：写字本中一个小方格的面积大约就是1平方厘米。

生：麻将骰子的一个面的面积大约也是1平方厘米。

师：通过刚才的学习，我们知道了边长是1厘米的正方形的面积就是1平方厘米，由此我们还能想到哪些面积单位？

生：边长是1分米的正方形的面积就是1平方分米。

生：边长是1米的正方形的面积就是1平方米。

师：我们能在哪里找到1平方米和1平方分米的物体？

生：新华字典的封面、香烟小包装盒子的一个面大约就是1平方分米。(www.xing528.com)

生：吃饭的方桌的桌面大约就是1平方米，黑板面的面积的三分之一大约也是1平方米。

师：还有哪些面积单位？

生：1平方千米和1平方毫米。

师：到现在为止，我们知道的面积单位有哪些？

生：我们知道的面积单位有平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米和平方千米。

师：在这些面积单位中，平方厘米、平方分米和平方米是常用的面积单位。

五、分层练习，提升对面积和面积单位的认识

1.读一读，你发现了什么？

小兔一家在1平方厘米的方桌上吃饭，小兔一不小心把那颗1平方分米的门牙磕掉了，鲜血直流。兔妈妈赶紧掏出一个4平方米的手帕帮它捂住嘴巴，兔爸爸扶着小兔向离家50厘米的医院跑去。

2.想一想，填哪些单位名称合适？

（1）数学书封面的长大约是24（）；（2）课桌面的面积大约是64（）；

（3）信封的面积大约是200（）；（4）操场的面积大约是3600（）。

3.数一数，每个图形的面积是多少？周长是多少？（每个小正方形的边长是1厘米。）

4.看一看，你想说什么？

美国城市人均绿地面积为2000平方米，日本城市人均绿地面积为4000平方米，中国城市人均绿地面积只有10平方米，联合国要求城市人均绿化面积达到16平方米。

（刘华：河北省仙桃市第二实验小学）

【案例3】

认识周长

续表

续表

续表

续表

（选自第二届中国小学数学教育峰会“课标修订与数学教育发展”研讨会。）

【案例4】

“位置与方向”教学设计

山西省太原市迎泽区海边街小学高伶

教学内容　～

教科书第2—4页的内容。

教学目标

1.使学生认识东、南、西、北四个方向，能够用给定的一个方向辨认其余的三个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向。

2.在活动中培养学生初步的空间观念和推理能力。

3.体会生活中处处有数学，产生对数学的亲切感。

4.培养学生热爱祖国、热爱科学的良好品德。

教学重点

使学生在具体情境中学会辨认东、南、西、北四个方向。

教学难点

用东、南、西、北描述物体所在的位置。

教具、学具准备

天安门广场情境图、指南针、积雪、木桩等。

教学过程

一、情境导入

师：上节课老师布置了一个作业，让大家收集有关北京的资料。谁愿意把你收集到的给大家介绍一下？

生：北京是我们国家的首都，总面积……

生：北京有许多著名的建筑物，比如故宫、颐和园、万里长城……

生：天安门广场是北京最大的活动中心，每天要接待上万名游客……

师：同学们查到的资料可真丰富，老师相信你们一定从中学到了许多知识。天安门广场是我们首都北京的著名旅游景点之一，几乎所有的游客到了北京都要来这里看看。你们瞧（出示天安门广场情境图），这里有我们大家非常熟悉的天安门城楼、故宫、毛主席纪念堂、人民英雄纪念碑等等，你们去过这里吗？那我们请去过的同学当一次小小导游员，给我们介绍一下这些建筑的具体位置。

生：这里是国旗，从这儿向上走就到了天安门城楼，再向上就到了故宫……

生：各位游客大家好，我们现在在人民大会堂，向右走就到了毛主席纪念堂，再向右走就到了中国国家博物馆……

生：欢迎来到天安门广场，这是著名的天安门城楼，北面是故宫，南面是人民英雄纪念碑，再向南是毛主席纪念堂……现在开始自由活动，活动完后在人民英雄纪念碑的左面集合。

师：这三位小导游介绍的各有特点，都非常好。那你们知道在什么地方集合吗？谁愿意上来指指？

学生指的位置不同。

师：这是怎么回事？是不是他们弄错了？

生：不是弄错了，是所处的方向不同。

师：那能不能用一个更准确的词来表示天安门城楼在国旗的哪一面呢？

生：天安门城楼在国旗的北面。

师：“北”这可是个新名词，你们听说过吗？“北”是表示什么的？和北一样表示方向的词你还知道哪些？

生：东、南、西、北。

师：好，这节课我们就来认识方向：东、南、西、北。谁来写课题？

指名学生板演。

师：你怎么知道天安门城楼在国旗的北边呢？

生：从地图上知道的，上北下南左西右东。（出示标志。）

师：人民大会堂在广场的哪面？毛主席纪念堂在国旗的哪面？你还知道什么？

生：中国国家博物馆在毛主席纪念堂的东面。

生：国旗在天安门城楼的南面。

生：故宫在广场的北面……

师：其实东南西北在我们日常生活中经常都会遇到，你们还知道哪些知识或者词语和东南西北有关呢？

生：太阳从东方升起。

生：冬天要刮西北风。

生：我家住在半坡东街……

师：看来有关东南西北的知识还真不少。那我们在现实生活中怎样来辨别方向呢？今天就让我们走出教室到外面去看一看，找找方向。找方向时我们同样以小组为单位活动，活动中着重解决以下内容。

1.你们小组首先找到了哪一个方向，是用什么方法找到的？

2.怎样根据这一个方向来判断其他三个方向？

3.站在操场中间，看看东南西北方向各有什么？

二、探究新知

1.认识具体情境中的方向。

教师带领学生去户外活动，学生以小组为单位自己找方向。

师：同学们，刚才老师看到你们各个小组合作得都非常默契，你们找到方向了吗？你们首先找到了哪个方向？

生：我们首先找到了东方，是根据太阳找到的。早晨太阳从东方升起。

师：你们这么快就找到方向了，真聪明。请你们组拿着标志牌站到操场东面的圆圈里。

生：我们首先找到了北方，是根据指南针找到的。指南针指针所指的方向是北。（同学观察指南针。）

师：那就请你们组拿着标志牌站在操场北面的圆圈里。

生：我们首先找到了西方，是根据影子找到的。早晨太阳在东方，影子在西方……

师：现在我们站在操场的中间，用手指一指东南西北，你有什么感受？

生：东南西北各占一方。

生：东西相对，南北相对。

生：面对东方，向右旋转，分别是东南西北……

师：同学们观察得可真仔细，你们组商量一下东南西北各站一人。

师：现在我们大家一起面朝东方，如果知道了东方，怎样辨认其他三个方向呢？

生：我们一年级的语文课上学过儿歌：早晨起来，面向太阳，前面是东，后面是西，左面是北，右面是南。（同学回忆儿歌。）

师：现在我们一起面朝北方，如果知道了北方，怎样辨别其他三个方向？

生：前北后南左西右东。

师：如果我们面朝其他方向，又该怎样辨认呢？

师：现在你认准方向了吗？那好，老师考考你。先绕着我跑一圈，再指指方向。

全体同学将身体转向东方。右手食指指向南方。向北走15步。

师：同学们认得可真准。现在请同学们再向远处看看，我们操场的各个方向都有些什么？

生：操场的东面是游乐园。

生：幼儿楼在操场的北面。

生：我们的西面有护城河……

师：同学们观察得可真仔细，我们的校园里有这么多丰富多彩的建筑，你们喜欢它们吗？那我们想办法把它们画下来，好吗？

师：我们准备回教室。想一想，我们从水房那边回教室，该怎么走？

教师带领学生又回到教室。

2.认识地图上的方向。

师：同学们，现在我们坐在教室里闭上眼睛想一想，如果你站在操场的中间，操场的东南西北方向各有什么？

生：操场的东面是游乐场，操场的西面是花池，操场的北面是幼儿楼，操场的南面是艺术楼。

师：同学们记得可真清楚。你能把你刚才想到的作成校园的示意图吗？

教师给学生发示意图纸，学生独立完成。

学生汇报，出现多种画法。

师：同学们，你们觉得这几种画法一样吗？

生：不一样，有的上面为东，有的上面为北。

生：一样，无论怎样画，操场的北面都是幼儿楼……

师：同学们画得都非常正确。在日常生活中，为了便于观察、利于操作，我们画图时都采用上北下南左西右东来绘制。那现在，你们有没有好办法将手中的地图变为上北下南左西右东的形式呢？

学生将示意图旋转。

3.认识其他情境中的方向。

同学们，我们现在已经有了一些辨别方向的方法，那如果我们换个时间，换个地点，处在一个陌生的环境里，你还有其他辨别方向的方法吗？把你的好方法告诉组里的同学。

学生汇报：

组1：看树叶，树叶茂盛的一面是南面。（观察大树。）

组2：看年轮，年轮密集的一面是南面。（出示木桩教具。）

组3：看标志，道路上会有指示方向的标志……

师：同学们的课外知识可真丰富，想出了这么多种方法，真了不起。其实，大自然中有许多天然的指南针，只要我们细细观察，多多去想，都可以加以利用。

（选自人民教育出版社课程教材研究所、小学数学课程教材研究开发中心年编数学（三年级）培训资料。）

【案例5】

“垂直与平行”教学设计与说明

山东省济南市市中区教研室　董惠平　姚慧明

山东省济南市胜利大街小学　唐忠亮　陈海霞

教学内容

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学（四年级上册）》64—65页的内容。

教学设想

本课教材是在学生学习了直线及角的认识的基础上教学的，是认识平行四边形和梯形的基础。垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，在生活中有着广泛的应用。如何唤起学生的生活经验，感知生活中的垂直与平行现象？如何进一步发展学生的空间想象能力，让学生发现在同一平面内两条直线的位置关系并得出结论？本课主要通过观察、讨论、操作、交流等活动让学生去感知、理解、发现和认识。感知生活中的垂直与平行的现象，初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系，发现同一平面内两条直线位置关系的不同情况，初步认识垂线和平行线；并且通过一系列的数学活动使学生的空间想象能力得到进一步的发展，如对“面”的想象、对两条直线位置关系的想象、对看似不相交而实际相交情况的想象等等。围绕这些目标，我们在设计教案时努力体现了以下几个特点。

1.创设纯数学研究的问题情境，用数学自身的魅力感染学生。

本课在设计导入时，并没有从生活中的现象入手，而是直接进入纯数学知识的研究氛围，带领学生先进行空间想象，把两条直线的位置关系画到纸上，然后进行梳理分类。之所以这样设计，原因有两个：一是学生对直线的特点已有了初步认识，有一定的知识基础和空间想象能力，对两条直线的位置关系会有更丰富的想象，而生活中平行、垂直的现象居多，情况较单一，不利于展开研究；二是四年级的学生在各个方面都处在一个转型阶段，它应为高年级较深层次的研究和探索打好基础、做好过渡，逐步使学生对数学研究产生兴趣，用数学自身的魅力来吸引、感染学生。

2.以分类为主线，通过学生自主探索，体会同一平面内两直线间的位置关系。

从新旧教材的区别上来看，原来的教材是由“点”到“面”，把这部分知识分成垂直和平行两个内容进行教学，最后再把这部分知识汇总起来，总结出垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系。而新教材把二者合为一课，从研究同一平面内两条直线的位置关系入手，逐步分析出两条直线的位置关系有相交和不相交之分，相交中还有相交成直角与不成直角的情况，是一种由“面”到“点”的研究，这样设计，不仅符合学生的认知规律，也更有利于学生展开探索与讨论，研究的意味浓了。所以，在设计教案时我们大胆地让学生以分类为主线，通过小组汇报、班级争论、教师点拨等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角两种情况。通过两次分类、分层理解，提高学生的空间想象能力，培养学生初步的问题研究意识。

3.在知识探究的过程中完成自主探究意识与空间想象能力的培养。

（1）自主探究意识的培养。整节课自始至终注重对学生自主探究意识的培养。主要表现在以下几个方面。首先，学生画完两种直线的位置关系后，在小组中进行归类整理，选取有代表性的情况贴在黑板上。其次，对两条直线位置关系的理解，以学生为主体展开讨论进行分类整理。再次，在练习的过程中，创设生活中的情境，让学生主动探索、发现规律。

（2）空间想象能力的培养。主要表现在以下几个方面：①无限大平面的想象以及在同一平面内两条直线位置关系的想象；②对看似两条直线没有相交而实际却相交的情况的想象；③对平行线永不相交的想象；④拓展练习中有无数条直线与已知直线平行或垂直的想象。

教学目标

1.引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。

2.帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。

3.培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识。

教学重点

正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。

教学难点

相交现象的正确理解（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）。

教具、学具准备

课件、水彩笔、尺子、三角板、量角器、小棒、淡粉色的纸片、双面胶。

（选自人民教育出版社课程教材研究所、小学数学课程教材研究开发中所心编数学（四年级）培训资料。）