小学数学教学：正比例和反比例教学

正比例、反比例关系实际是两个不同的函数关系，比和比例知识在现实生活中的应用是非常广泛的。所以，现行小学数学课程一直保留着这部分知识。《标准》要求，在实际情境中理解和学习这部分知识。就是想通过这部分知识的学习，使学生不仅可以掌握这部分知识，并能解决简单的实际问题，还可以通过对具有比和比例数量关系事物的认识，获得初步的函数思想。这部分知识包括比的意义和性质、比例的意义和性质及正比例、反比例的意义等内容。

（一）比的意义和基本性质的教学

比的知识在生产生活中应用比较广泛。如比例尺和按比例分配是比的概念的应用，学习比例知识要以比的知识为基础。教学这部分内容时，要结合生活实际中的问题，让学生理解比的意义。“比”这个概念实际上是用表示两种量（这两种量可以是同类量，也可以是不同类量）的数对两种量进行比较的一种数学方法。要使学生知道两个量的比是一个有序的概念，颠倒两个数的位置，就会得到另一个比。因此，要按语言叙述的顺序，搞清楚哪个量与哪个量相比。

比的基本性质是化简比的依据。要使学生理解和掌握它。要让学生知道求比值和化简比是不同的。它们之间既有联系又有区别，求比值是根据比的意义，用前项除以后项的方法计算，其结果是一个数（不要求写单位名称）。化简比是根据比的基本性质，把比的前项和后项同乘以或同除以一个数（0除外），其结果是一个比。

（二）比例的意义和基本性质的教学

比例的意义和性质是在学习了比的意义和性质的基础上进行教学的。这部分知识是学习正比例、反比例意义和解正比例、反比例应用题的基础。要使学生理解比例的意义，认识比例的各部分名称，掌握两个比组成比例的条件，理解比例的基本性质，会根据比例的基本性质解决有关比例的问题。

1.要使学生理解组成比例的条件，搞清比和比例的联系和区别

教学比例的意义，可以通过一些实例，把比值相等的两个比用等号连接起来，然后概括出比例的意义。进一步引导学生找出比和比例的联系和区别，使学生明确：比是由两个数组成的，表示两个数的关系；比例是由两个比值相等的比组成的等式，表示四个数之间的关系。

2.要在学生计算、探究的基础上归纳比例的基本性质

教学比例的基本性质，可以先列举一些比例式，让学生计算两个外项和两个内项的积，从中发现规律，再归纳总结。

3.要使学生学会用比例的基本性质解比例

解比例的问题，实际上与以前学过的解简易方程的过程一致。不过，根据比例的基本性质，可以把两个比相等写成两个乘积相等，再解就容易一些。

（三）正比例、反比例的教学

正比例、反比例部分的内容集中渗透了函数的概念。正比例、反比例概念中揭示的两种相关联的量之间的关系，实质上就是函数关系。这部分内容从事物的运动、变化的角度研究数量之间的比例关系，以小学生能接受的形式和表达方法介绍初步的函数思想。教师处理这部分内容时，应通过画图、列表等直观形式，画龙点睛地强调量的“变化”，突出“两种相关联的量”之间的对应关系。

1.通过观察分析，逐步概括出正比例、反比例的意义(www.xing528.com)

在教学正比例时，可先举出生活和生产中一些浅显的例子，让学生对已知的数量关系进行观察、分析：一共有哪几种量？其中哪个量是不变的，哪个量是变化的？哪两个变化的量是相关联的？相关联的量是怎样变化的？通过实例引导学生观察，找出变化规律，进一步概括出正比例的意义，抽象出关系式。教学反比例的意义时，可由复习正比例的意义入手，并按正比例的教学方法进行教学。对正比例、反比例的意义，应强调两种量中相对应的数值的比值或积一定，如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示一个常数，那么正比例关系可以表示为（一定），反比例的关系可以表示为x·y=k（一定），从而突出正比例、反比例关系的本质特征。

2.通过判断、比较、辨析加深对正比例、反比例意义的理解

概括出正比例、反比例的意义后，要及时练习，让学生利用关系式判断两种量的比例关系。主要还是找出相关联量之间的变化规律，再写出它们和常量的关系式，从而确定它们的比例关系。正比例和反比例是学生容易混淆的两个概念，可在学生初步学会判断它们之后，引导学生对两个概念进行比较，帮助学生弄清正比例和反比例的共同点和不同点，加深对正比例、反比例意义的理解。

（四）比和比例知识应用的教学

比和比例知识的应用，主要通过比例尺、按比例分配和正比例、反比例应用题来实现。

1.比例尺应用的教学

比例尺是图上距离和实际距离的比。显然，比例尺一定时，图上距离和实际距离成正比例。因此，把比例尺作为比的应用或作为正比例的应用都是可以的。

地图比例尺在实际生活中用得较多，所以，小学地图比例尺是比例尺应用的重点。地图是把实际距离缩小到若干分之一得到的，为了计算方便，一般选用前项是1的比例尺。除了教学用数表示的比例尺外，还可以介绍线段比例尺，以扩大学生的知识面。

教学比例尺的概念时，教师可以利用地图，通过实例使学生理解比例尺的含义。说明因为不能在纸上画出实际距离，所以需要把实际距离缩小到若干分之一再画出来。而要保证图的准确性，图上每一段距离与实际距离的比都应有固定的比值。据此，可以引导学生根据比例尺的关系式列方程求解。

2.比例知识应用的教学

比例知识的应用主要是通过按比例分配应用题来实现的。按比例分配应用题是“平均分”应用题的发展，又是在平均分的基础上进行的。这类应用题有多种解法，适合小学生的主要有以下三种：一是将按比例应用题转化为分数乘法应用题，这样教学有利于知识的融会贯通；二是先算出每一份是多少，实际上是一种“归一”的方法，比较基本，便于迁移到解答一些稍有变化的题目中去；三是正比例的应用，更能体现按比例分配的本意。前两种解法比较简单，学生更容易理解，是比的应用，安排在比的概念之后进行教学。但是，应用题数量之间的比例关系，只有学习了正比例之后，才能引导学生加以认识。教学这部分内容时，不论哪一种解法，都必须根据比的意义弄清把总量分成几份，每个部分数量各占总量的比例，然后再列式或列方程解答。

3.正比例、反比例应用的教学

应用正比例、反比例知识解决实际问题的关键是判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。学生完成这样的判断是有困难的。因为他们在学习正比例、反比例的意义时，往往问题中明确指出判断的对象是哪种量，哪种量保持一定。但在遇到具体实际生活中的应用问题时，判断哪两种量存在某种比例关系需要学生自己从题目的叙述中找出来；而且保持一定的量常常是隐蔽的、潜在的，需要通过分析来确定。因此，教学的重点是引导学生判断题目中的两种量是否成正比例或成反比例。教学时应引导学生仔细审题，弄清题中有哪几种量，哪两种量是相依变化的，哪种量是固定不变的，进而根据三者之间的关系式，判断是不是比值（或乘积）一定，从而确定某两个量之间的正比例、反比例关系。然后列出方程求解。