解题：符号谜-美妙的数学

例1　在□内填入“＋”、“－”号，使等式成立

1□23□4□56□7□8□9＝100

解：解这类题目仍要先观察等号右端的数，根据这个结果的大小，确定算式中数间的符号。本题的结果是100，比式中任何一个数都大得多，便可肯定在式中的23、56之前必须用“＋”号，而后再用“＋”或“－”，试算其他各数，直到符合最后结果是100为止。

这题的正确填法是：

1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100

例2　左端是一位数的四则运算，请填入＋、－、×、÷、（）等符号，使等式成立。

①9　8　7　6　5　4　3　2　1＝100

解：算式的结果是100，如果全用“＋”，9～1九个数的和是45（简算用中间项5乘以项数9）。显然，需用乘号。倘在较小的数间填“×”，与100仍相差很多，因此需在较大的数间填“×”。经试算，8×9＝72，余下七个数的和是4×7＝28，相加恰是100。即：

9×8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝100

②9　9　9　9　9＝17

解：结果是17，等号左端的数是五个9。9＋8＝17。因此，必须把其中的四个9，通过添加运算符号，使其得数为8，才能保证最后结果为17。通过试算：

(9×9－9)÷9＝8

这样，整个算式可组合为：

(9×9－9)÷9＋9＝17

例3　改动下式中的一个运算符号，使下式成立。

1＋2＋3＋4＋5＋……＋19＋20＝200

解：这是个连续数相加的算式，确定改动哪一个符号，必须先知道已知的和200与实际和的差数。

1～20各数的实际和是：

总和＝（首项＋尾项）×（项数÷2）

(1＋20)×(20÷2)＝210

210比已知的和多10，即210－200＝10

因此，只要在算式中，将“＋10”改为“－10”即可以了。

例4　在下式合适的位置添上（）、〔〕和（），使等式成立。

1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝9081

解：本题的最后结果是9081，数目较大，求解有一定难度，但仍可用“层层剥笋”的方法，缩小推导范围。

将9081分解得：

9081＝1009×9

因此，{　}位置可定，即：

{　}×9＝9081

1009－8＝1001。而1001＝7×11×13＝77×13。据此，可将8前的算式用添括号的方法，使它成为结果为77和13相乘的两个算式。经试算，（1＋2）×3＋4＝13（5＋6）×7＝77

从而，可以确定各种括号的位置。即：

{〔(1＋2)×3＋4〕×(5＋6)×7＋8}×9＝9081。

例5　用六个9组成等于100的算式。

解：本题没有规定六个9的组合形式，因此，每一个数可以是9，也可以是99，或999……。各数间的运算符号也没有特殊要求，＋、－、×、÷、（）、〔〕、{}完全可根据自己需要选用，只要把六个9组合成算式使结果为100，便符合题目的要求了！因此，有时可以有许多种解法。

如，本题可组合为：

解1：99＋99÷99＝100

解2：（999－99）÷9＝100

解3：9×9＋9＋9＋9÷9＝100

解4：99÷9×9＋9÷9＝100。

例6　在下列算式中加上运算符号，使每一道算式都不相同，但结果却都等于5。

①5○5○5○5○5＝5

②5○5○5○5○5＝5

③5○5○5○5○5＝5

④5○5○5○5○5＝5

⑤5○5○5○5○5＝5

解：解这类问题没有固定规律，只有不断地反复尝试，才能找到答案。

下面是参考答案。

①5＋5＋5－5－5＝5

②5÷5－5÷5＋5＝5

③5÷5×5＋5－5＝5

④5×5÷5×5÷5＝5

⑤5×5－5×5＋5＝5。

例7　用五个3组成十一道算式，在数字间加上不同的运算符号，使它们的结果依次等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

①3○3○3○3○3＝0

②3○3○3○3○3＝1

③3○3○3○3○3＝2

④3○3○3○3○3＝3

⑤3○3○3○3○3＝4

⑥3○3○3○3○3＝5

⑦3○3○3○3○3＝6

⑧3○3○3○3○3＝7

⑨3○3○3○3○3＝8

⑩3○3○3○3○3＝9

3○3○3○3○3＝10

解：填符号的方法不是唯一的。下面是参考答案。

①3×3－3－3－3＝0

②3－3÷3－3÷3＝1

③3×3÷3－3÷3＝2

④3×3÷3＋3－3＝3

⑤3×3÷3＋3÷3＝4

⑥3＋3＋3÷3＋3＝5

⑦3×3－3＋3－3＝6

⑧3×3－3＋3÷3＝7

⑨3＋3＋3－3＋3＝8

⑩3×3÷3＋3＋3＝9

3＋3＋3＋3÷3＝10

例8　下面各式，等号两端的数字是一样的，请在等号右端的○中，填上与等号左端不同的运算符号，使等式成立。

①1×2×3＝1○2○3

②4×2－1＝4○2○1

③8÷4＋1＝8○4○1

④3×2＋2×1＝3○2○2○1

⑤4×2＋3×1＝4○2○3○1

解：答案是：

①1×2×3＝1＋2＋3

②4×2－1＝4＋2＋1

③8÷4＋1＝8－4－1

④3×2＋2×1＝3＋2×2＋1

⑤4×2＋3×1＝4＋2×3＋1。

例9　下面的七道算式结果都等于1，数字间应加上哪些符号，算式才能成立？

①1○2○3＝1

②1○2○3○4＝1

③1○2○3○4○5＝1④1○2○3○4○5○6＝1

⑤1○2○3○4○5○6○7＝1

⑥1○2○3○4○5○6○7○8＝1

⑦1○2○3○4○5○6○7○8○9＝1。

解：下面是参考答案：

①(1＋2)÷3＝1

②1×2＋3－4＝1

③〔(1＋2)÷3＋4〕÷5＝1

④1×2×3－4＋5－6＝1

⑤1×2＋3＋4＋5－6－7＝1

⑥(1×2×3－4＋5－6＋7)÷8＝1

⑦〔1＋2)÷3＋4〕÷5＋6－(7＋8－9)＝1(www.xing528.com)

例10　下面的三道算式，运算结果都错了，能否不改动数字，只加入适当的括号使等式仍成立？

①78＋84÷3＋21＝75

②573－273＋149＝151③500÷250×8－1500＝1。

解：解这类问题，首先应算出式子的结果，再对两个不同的结果比作较如（1）78＋84÷3＋21＝78＋28＋21＝127，大于75，则考虑使算式得数变小，从而确定括号所加的位置。这三题可以是：

①(78＋84)÷3＋21＝75

②573－(273＋149)＝151③500÷(250×8－1500)＝1。

例11　在下列各式左端添上＋、－、×、÷、（）等，数字也可以根据需要任意组合成两位数或三位数等，使等式能够成立。

①9　9　9　9　9＝17

②9　9　9　9　9＝18

③9　9　9　9　9＝19

④9　9　9　9　9＝20

⑤9　9　9　9　9＝21

⑥9　9　9　9　9＝22

解：下述答案可供参考：

①(9×9－9)÷9＋9＝17

②(9－9)×9＋9＋9＝18

③9＋(99－9)÷9＝19

④(9＋9)÷9＋9＋9＝20⑤(99＋9)÷9＋9＝21

⑥(99＋99)÷9＝22

例12　下列各式是一位数四则运算，请填入运算符号及顺序符号，使等式成立。

①9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1

②9○8○7○6○5○4○3○2○1＝10③9○8○7○6○5○4○3○2○1＝100

④9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1000

⑤9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1993

⑥9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1994

解：参考答案：

①9－8＋7－6＋5－4－3＋2－1＝1

②9×8－7×6－5×4＋3－2－1＝10

③9×8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝100

④(9×8×7－6－5＋4＋3)×2×1＝1000

⑤(9＋8)×(7＋6)×(5＋4)＋3＋2－1＝1993

⑥9＋8×(7＋6×5×4－3)×2＋1＝1994

例13　在下列各式的适宜位置添加（）、〔〕和{}，使等式成立。

①1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1005

②1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝9081

③1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1717

解：可如下添加括号：

①(1＋2)×〔3＋4×(5＋6)×7〕＋8×9＝1005

②{〔(1＋2)×3＋4〕×(5＋6)×7＋8}×9＝9081

③1＋2×3＋〔(4×5＋6)×7＋8〕×9＝1717。

例14　A、B、C各代表一个整数，根据下面三个相联系的式子，它们各是什么数？

A＋A＝A

B－B＝A

B×A＝A

A÷B＝A

解：从前两道关系式，可断定“A＝0”，因为只有0＋0＝0，同数相减得0。

从后两道关系式，可断定B为任意数都可以，因为任何数乘0等于0，0除以任何数得0。由于0不能作除数，而A÷B＝A，必须具备“B≠0”，等式才成立。

例15　下面的四道算式所得结果的和恰是100，A是什么数，算式才能成立？

A＋A＝□

A－A＝□

A×A＝□

A÷A＝□

□＋□＋□＋□＝100

解：四道算式中，有两道可以直接得出结果。即：A－A＝0，A÷A＝1，因为同数相减差是0，同数相除商是1。这样，另两式的结果之和必为99。

经尝试运算，在1～9九个数字中，只有A＝9算式才能成立。即：

9＋9＝18

9－9＝0

9×9＝81

9÷9＝1

例16　下题中“□、○、△”各代表一个数，根据已知的条件，你能知道它们是什么数吗？

①□＋□＋□＝120

②○×△＝45

③□÷○＝8

④△＝?

解：从①式，可知：

“□＝120÷3＝40”

将③式换成：40÷○＝8，可知：

“○＝40÷8＝5”

将②式换成：5×△＝45，可知：

“△＝45÷5＝9”

例17　下列三式是互相有联系的，每个图形代表一个整数，其中□、△、○各代表什么数？

①□＋△＋○＋○＝13

②□＋△＋△＋○＝14

③□＋△＋△＋○＝17

解：经观察，每道式中都有两个相同的图形。若能求出三个各不相同图形的和，而后与四个图形的和作比较，便可求得一个图形所代表的数了。将三式相加可得：

4□＋4○＋4△＝13＋14＋17＝44

将等式两端各除以4，得：

④□＋○＋△＝11

将④式与①对照，用①－④得：

○＝2

将②－④，得：

△＝3

将③－④，得：

□＝6

把数字代入算式，验证无误。

例18　下式中“○”和“△”各代表一个什么数字，两个相关联的等式才能成立？

①○＋○＋○＋△＋△＝41

②△＋△＋△＋○＋○＝39

解：认真观察后发现：①式是三个“○”加两个“△”和为41，②式是三个△加两个“○”和为39，①式的和比②式多2。为什么会多2呢？因为①式与②式的区别只将“○”换成了“△”，可知“○－△＝2”。①式中含二个“△”若都换成“○”，必须增加“2＋2＝4”，这样和就是41＋4＝45。

由此可知：

“○＝(41＋4)÷5＝9”

“△＝9－2＝7”

想一想，还可以怎么解？

例19　下面三式中“□、☆、△”各代表什么数字，等式能同时成立？

①□＋△＝15

②△－□＝1

③☆－□＝2

解：这是个图形符号谜。

①＋②得：2△＝15＋1＝16

“△＝8”

由“△＝8”，代入②式得：“□＝7”

由“□＝7”，代入③式得：“☆＝9”