数学教学中的后进生培养方法

我们知道的数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门新兴学科。数学方法论在很大程度上可以被说成对于数学思想（维）方法的研究，其目标就是帮助人们学会数学的思维，或者说如何能够按照数学家的思维模式去进行思维。通过对具体数学事例的研究，实现对真实思维过程的“理性重建”，获得各个方法论原则的深刻体会，并使之真正成为“可以理解的”“可以学到手的”和“能够加以推广应用的”。

数学方法论对于数学教学的积极意义主要在于：以数学方法论为指导进行具体数学知识内容的教学，有助于我们将数学课讲活、讲懂、讲深。随着课程改革的进行，对于我们数学教学也提出了更高的要求。《全日制义务教育数学课程标准（试验稿）》在总体目标中，明确要求学生能够获得适应未来社会和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学思想方法、数学活动经验）以及基本的数学思想法和必要的应用技能；在基本理念中，也要求学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。显然，数学思想方法是数学教学目标的核心内容。

1.在日常的数学教学中，加强数学思想方法的渗透，培养数学思维的重要性

首先，只有培养起比较完善的数学思想与数学方法，才能有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，有利于激发学生的学习兴趣，有利于提高学生学习的自觉性，才能把学生和教师从题海中解放出来，减轻教与学的过重负担；其次，数学是一个庞大的、有秩序的系统，对于从事初中数学教学的教师来讲，必须对数学的本质和方法有一个深入、全面的理解。这种对于数学的理解会影响到一个人的数学教学实践，进而影响到学生关于数学的理解、学习态度和应用等观念的形成。由此可见，无论从学生数学素养的培养方面和教师教学实践方面，都需要教师精通数学方法论。只有熟知了这些方法论，才能开展有效的数学课堂教学。

2.数学方法论对数学有什么意义

第一，是数学课程目标改革的必然要求。

目前，数学课程改革强调情感、态度、价值观，强调数学学习的过程与方法，强调探究与发现。在这种理念下，要使数学新课程改革有效实施，教师就必须加强和重视数学方法的学习和研究。只有掌握了数学方法论的教师，才能培养出具有创新能力的学生。一位教师曾说过这样一句话：“教师走多远，你的学生就能走多远。”如果没有一双明亮的眼睛，看不清前面的道路，那么是无法走得长远的，而数学方法论会帮我们擦亮数学智慧的眼睛。如果没有这方面的知识储备和良好的专业训练，将很难适应今天的数学课程改革。数学新课程改革的成败关键在于教师。

第二，是数学课堂教学现代化的改革要求。

现在的数学课堂不再是单纯的“传授式”教学。

在新课程标准中明确指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”意在进一步改变数学的教学模式，拓宽学生在数学教学活动中的空间，关注学生数学素养的提高，而且把具有解决问题的能力作为有“数学素养”的一个重要的标志。而数学方法论在教学实践中以“问题解决”为中心组织教学，强调“数学的思维”，把问题作为载体，将数学思维方法的分析渗透到具体数学知识内容的教学中，使学生真正看到思维的力量，并使之成为可以理解的、可以学到手的和能够加以推广应用的。这一教学理论为我们从更深的层次认识数学教学提供了理论依据，值得我们去深入学习研究。因此，为了让教师更好地适应和驾驭课堂教学，必须掌握一定的数学方法论。

第三，是数学教师专业化发展的客观要求。

数学教师的专业发展，不仅要掌握深厚广博的数学基础，而且要了解数学发展的学科历史，掌握数学的思想方法，深刻领会数学的内在本质，理解数学的源与流，懂得其来龙去脉及数学的价值。对于从事数学教学的教师，不能不懂得数学发现的原理、规则和思想方法，因为它们能使我们在数学教学中更好地驾驭教材，把数学教学变得更为生动，教出方法、教出发现、教出创新。因此，数学方法论是数学教师专业发展及自身成长的必备知识。

第四，是数学方法论在数学教学中的实践案例。(www.xing528.com)

在数学方法论中，重点阐述了观察、联想、尝试、实验、归纳猜想、类比推广、模拟、化归、公理化方法、数学悖论等数学论证方法、数学与物理方法、数学智力的开发与创新意识的培养等。如果把这些理论和我们的实践教学活动联系起来，将使我们的数学课更加有数学味，帮助学生领会内在的数学思想方法，认识数学的本质特征和应用价值。数学方法论在解题教学中，应用必要的知识与知识的良好的组织是数学方法论中提及的四要素之一。记得数学大师波利亚曾说过：“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛性更为重要。至少在有些情况下，知识太多可能反而成了累赘，可能会妨碍解题者看出一条简单的途径，而良好的组织则有利而无弊。”例如，现在的初三复习在很大程度上是通过解题教学来实现知识巩固，同时题目的综合性较强，需要学生对于题目有一个很好的认识。在教学中，通常会碰到学生对于这类题目会无从下手，或解决问题的信心不够等现象。当然，这里有学生对于题目理解上的原因，关键还是在于他们没有把自己的经验和知识良好的组织起来。对于初三的学生，知识容量应该是够的，但是他们的知识仓库比较零乱，当需要去解决某些问题的时候，往往找不到对应的“工具”。所以，在初三复习重点时，我们不是多讲几个题目、多做几个练习，而应通过典型例题理清知识体系，优化知识结构。

为了让学生能形成良好的知识结构，教师在问题解决过程中应更多地暴露思维过程，通过问题的合理设置激活学生原有的知识经验，启发他们形成新的理解、新的认识。因此，数学课堂教学有效开展离不开教师的合理引导。在教学中，突出以问题为主线，启迪学生思考，使学生在课堂中深刻地感受如何发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的整个过程，理解和认识发生与发展的必然的因果关系，从而领悟到分析、思考和解决问题的数学思想方法，最终内化为自身知识结构的重要部分。

3.数学方法论在数学概念教学中的应用

我们知道每一个概念的产生都是由于知识体系扩充的需要。在教学过程中，要让学生明白为什么要产生这个概念、它有什么意义、这个概念的产生是为了解决什么问题，让学生理解概念产生的必要性。例如，在数系的扩充过程中，为什么要引入负数？我们可以这样解释：为了表示相反意义的量，如向东走10米记为+10米，则向西走5米记为-5米；或者说是运算的需要，如4-7不够减，则引入负数，即4-7=-3。后来有理数也不能满足需要了，如在解方程x2=2时没有有理数解，但它的解却是客观存在的，正方形的对角线长与边长之比就是这个方程的解，可是这个比不能用有理数表示，因此就添入无理数，这就促使数的范围扩大到全体实数。同样，为什么要规定i2=-1？它也是有实际背景的。对于n为正整数，方程xn=a中，当a≥0时总有解，但是当a＜0没有解。即使x2=-1这样简单的方程也没有解，-1没有平方根。这启发我们对数系做再一次的扩充，从而引入i2=-1，形成复数系。

概念的形成有两种途径：一种是直接从客观事物的空间形式或数量关系的反映中得到；另一种是在已有数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而成。在教学过程中，要善于启发学生去发现、探究新概念，提高学生学习数学的兴趣，而概念的形成本身有着一定的发展过程，凝聚着前人探索的智慧。我们不可能重复历史的“原始创造”，而应根据学生自己的体验，用自己的思维方式，重新创造出有关的数学知识，这对学生理解概念非常有意义。一位数学家说过：“一堆没有亲身体验和视觉形象所支持的概念、定义不能开发智力，而只能关闭思路。”在概念再创造的过程中，应对学生的思维给予暴露的机会，充分经历概念形成的两个阶段，即从具体到抽象，再从抽象到具体，有利于学生对概念的自我意识和自我反省。

那么，数学方法论在教学实践中应注意哪些问题呢？

众所周知，数学方法论是一门实践性的学科，在教学实践中主要体现在数学思想方法的教学和数学思维的培养。在教学中，重视如何将所学到的各种方法和策略应用到实际的数学活动中去，包括以数学思维方法的分析去带动和促进具体数学知识内容的教学。所以，在运用中，注重渗透的循序渐进和逐步积累数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。

正如数学大师波利亚所说：“一个想法使用一次是技巧，经过多次使用，变成为一种方法。”在贯彻数学思想方法的教学中，要关注学生的最近发展，尽可能帮助学生掌握现代数学思想方法，并根据学生的差异，采取不同的思想方法去解决问题，帮助学生完成学习迁移。布鲁姆认为，教育的基本任务是找到这样的策略，既考虑到个别的差异，又能促进个体最充分地发展。因此，教师尽可能地设计有利于学生发展的教学环节，如在教案设计、课堂探究等过程中，都应该注意使不同层次的学生能不同程度地领会数学思想方法，使全体学生尽量使用数学思想方法去分析问题、解决问题的思维策略，促成其“最近发展区”的形成，最终实现使不同的人在数学上得到不同的发展。

提高教师的自身认识和可行性数学的思想方法通常隐含在数学知识体系中，不是一个显性的知识点。只有掌握了这些数学知识背后的历史背景和发展的来龙去脉，以及当时数学家的思维过程，才能在教学设计中设计适当的教学情境，启发学生积极的思考。而教师自身对于这一知识蕴含的数学思想的认识，将直接影响教学中学生对于它的理解。因为数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现，通常以具体的知识内容为载体。所以，必须把握好数学思想方法教学的契机——概念的形成、结论推导的过程、方法思考的过程、思路探索的过程、规律揭示的过程等。同时，数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透、依势而行、潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识中的各种数学思想方法，不可因为讲“方法”而方法，生搬硬套。此外，在教学活动现场，教学实践总会突破教学理论设置的框架，并按照自己的要求，确立起新的应对情境性需要的灵活多变的思维策略。因此，教学理论应用于教学实践的过程，绝不是机械地对号入座，而是对教师教学智慧的一种考验。

所以，数学方法论给教师许多启发性的例子，其中蕴含了很多优秀数学家的智慧。在波利亚的《怎样解题》的方法论的著作中，对于数学解题的过程的分析，完全可以给中学数学教学以借鉴，我们可以将数学概念、定理的教学按着他的研究方法，将每个细节都呈现给学生，使学生体验到数学前辈们的心路历程，相信数学不是刚开始就以现在完美的形式表现出来，而是无数先辈们经过无数次的失败才形成现在比较完美的形式。学生在学习中面临的一些困惑，在数学思想发展上也曾经是那些数学家的困惑，从而激发学生极大的求知欲和好奇感，无形中增加了学生学习数学的信心。

在数学方法论的研究中，我们可以发现注重对数学本质的挖掘、关注学生学习的过程和方法是数学教学的重点。通过数学发现过程和典型问题的解题过程分析，搭建学生学习的平台，以数学思维方法的分析去带动和促进具体数学知识内容的教学。数学方法论的教学实践有利于提高教师的专业素质。由“经验型教学”转向“理论指导下的自觉实践”，需要教师不断充实自己的知识结构，提高自身的施教水平，通过理论指导和教学实践逐渐形成有个性的教学方法和教学理念，同时教师的专业成长离不开自己的反思活动。教师的实践和反思是有机结合的，是相辅相成的。通过教师的教学活动，可以让教师获得丰富的教学经验，同时通过反思在真实的教学情境中改进实践。美国一位学者提出了教师成长公式：经验+反思=成长。由此可见，实践与反思是教师积累教育教学经验、提高教学素养的有效方法。

在数学方法论的实践和反思中，我们应看到它存在的一些局限性。绝大部分数学方法论的研究偏重于理论论证，而很少有实践证明，更少研究在中学数学教学中渗透和应用。因为教学理论更多的是追求普遍和一般，而实践更多地体现为个别和特殊。所以，我们在数学方法论的实践应用中，还需有自己的反思和改进，把理论内化为自己的观念，真正发挥理论指导实践、改造实践的力量。