数学教学中培养后进生的数学思想

1.分类讨论思想

分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。如教材中给实数的定义是“有理数与无理数统称为实数”，这个定义揭示了实数的内涵与外延，这本身就体现出了分类思想方法。

“在同一个圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。”为了验证这个猜想，教学时常将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，这时可能出现三种情况：折痕是圆周角的一条边、折痕在圆周角的内部、折痕在圆周角的外部。验证时，要分三种情形来说明。这里实际上也体现了分类讨论的思想方法。此外，还有对三角形全等识别方法的探索。教材中的思考题：如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论，由简到繁，一步步得出。这样，教学时要让学生体验这种思想方法。

那么，什么是分类思想？分类是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归为一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。在职高的教学中，分类的思想方法应用比较广泛，而且比较重要。通过比较分类，可以帮助学生理清各个知识点之间的异同和相互联系，使不同的概念和知识要点条理清楚、泾渭分明，从而使知识条理化、系统化，促进认识结构的发展。分类方法虽侧重于理性思维，但是条理化、系统化的信息便于检索和储存，对知识的巩固、理解的深化、后续的学习和问题的解决都起着重要的指导作用。这就是所谓的分类思想。

2.数形结合思想

一般地，人们把代数称为“数”，而把几何称为“形”。数与形表面看相互独立，其实在一定条件下可以相互转化，即数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。初一教材引入数轴，为数形结合思想奠定了基础。有理数的大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义、列方程解应用题中的画图分析等，充分显示出数与形结合起来产生的威力，这种抽象与形象的结合能使学生的思维得到锻炼。数形结合在各年级中都得到充分的利用。例如，点与圆的位置关系，可以通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小来确定；直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径的大小来确定；圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定。又如，勾股定理结论的论证、函数的图像与函数的性质、利用图像求二元一次方程组的近似解、用三角函数解直角三角形等，都是典型的数形结合的体现。再如，有理数的加法法则、乘法法则、不等式组的解集的确定都是利用数轴或其他实图归纳总结出来的。实践与探索中行程问题教学，经常是利用线段图解的方法来引导学生分析题中的数量关系。

在数学教学中，由数想形、以形助数的数形结合思想具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解。在解答数学题时，数形结合有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数学转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。

那么，我们先对数形结合思想进行简单的认识。我们知道在数学教学中，教师往往特别强调数学知识的教授、数学技能和技巧的训练，而忽略数学思想方法的教学。中学数学教学大纲中明确指出中学的数学基础知识是指“数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想方法”。新课标也特别强调教学中数学思想方法的渗透。

数形结合是高中数学中一种重要的思想方法，能够清楚地认识它，灵活地运用它，不管是教还是学都显得尤为重要。法国数学家笛卡尔创立了坐标系，使点与有序实数对建立了联系，进而使曲线与方程建立了联系，于是创立了《解析几何》学科，标志着代数与几何的第一次完美结合。数形结合是高中数学中一种重要的思想方法，指出了解决某些数学问题时，应从“数”与“形”两者联系来考虑问题。“数”指数量关系，“形”指空间图形，当我们解决某些数学问题时，常把问题中的代数形式转化为几何图形，借助于几何图形的直观寻找解决问题的思路；相反，当我研究几何图形时，常用代数的方法来研究。数形结合的基本思想是：在研究数学问题的过程中，注意把数与形结合起来考查，或者把几何图形问题转化为数量关系问题，运用代数、三角知识进行讨论；或者把数量关系问题转化为图形问题，借助于几何知识加以解决。简单地说，就是“以形助数”和“以数辅形”两个方面。比如，应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或是应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等，在这就不一一举例了。

有很多问题若能巧妙灵活地运用数形结合思想方法，就能快速准确地解决，对数学学习起着十分重要的作用。可是，大部分的学生却不一定能将此思想方法理解透彻，不知何时用，不知如何用，其关键在于没有深刻理解数学思想方法的精髓所在。正像张奠宙先生在他的著作《现代数学思想讲话》中所指出的：“在数学课本里，在大多数课堂教学中，看不见生动活泼的数学思想，呈现在学生面前的是一大堆形式化的定义、定理、法则、公式，以及用严格的逻辑链条联结起来的一串串奇特的符号。学生尽管并不理解这些概念和符号，但不得不死记硬背、机械套用，其目的在于对付各种考试。”

当然，在以应试教育为主的教育背景下，要学生和教师完全抛开考试来教学似乎不太可能，但我们必须认识到数学思想方法是数学的核心，是数学发现的源泉，是解决数学问题的钥匙，应通过数学知识的教学和适当的解题活动突出数学思想和方法。俗话说：“授之以鱼，不如授之以渔。”当我们教学解数学题时，应向学生讲清解决一类数学问题的思想方法，而不是仅仅告诉他一个题的解法。

3.整体思想

整体思想在初中教材中体现突出。比如，在实数运算中，常把数字与前面的“+”“-”符号看成一个整体进行处理。又如，用字母表示数，就充分体现了整体思想，即一个字母不仅代表一个数，而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等。再如，整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理，如（a+b+c）×2=［（a+b）+c］×2视（a+b）为一个整体展开等。这些对培养学生良好的思维品质、提高解题效率是一个极好的机会。(www.xing528.com)

4.化归思想

化归思想是数学思想方法体系主梁之一。“化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学中解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决模式的问题，且通过对问题B的解决而得到原问题A的解答。

解决问题的过程是从未知向已知转化、复杂问题向简单问题转化、新知识向旧知识的转化、命题之间的转化的过程。笛卡尔认为，任何问题都可以化为数学问题。这里的“化”意为“化归”，善于使用化归是数学家思维方式中的一个特点。数学内部的逻辑联系、讨论问题的条件与结论之间的关系为寻找化归目标及途径提供了可能。所以，化归思想在数学方法论思想中具有特别重要的地位，是解决数学问题的最基本的思想。在实数的运算、解方程（组）、多边形的内角和、几何证明等的教学中，都有让学生对化归思想方法的认识，而学生有意无意接收到了化归思想。

如已知（x+y）2=11，xy=1，求x2+y2的值。显然，直接代入无法求解，若先把所求的式子化归到有已知形式的式子（x+y）2-2xy，则易得x2+y2=9。又如，“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决。再如，解方程（组）通过“消元”“降次”最后求出方程（组）的解等。这都是化归思想在实际问题中的具体体现。

化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法，化归的手段是多种多样的，其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解，实现新问题向旧问题转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。如在加法的基础上，利用相反数的概念，化归出减法法则，使加、减法统一起来，得到了代数和的概念；在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出除法法则，使互逆的两种运算得到统一。又如，在对等腰梯形有关性质的探索中，除了教材中利用轴对称方法外，还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法，把等腰梯形转化成平行四边形和三角形，以此来探索。除此之外，很多知识之间都存在着相互渗透和转化：多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三角形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答。

5.变换思想

变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换、定律和公式中的命题等价变换、几何图形中的等积变换等，都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征，就是善于变换，从正反、互逆等进行变换考虑问题，但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题，因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。

6.比较思想

所谓比较，就是指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行辨别。比较是一切理解和思维的基础。随着学习的不断深入，学生要掌握越来越多的知识，这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。

7.数学模型思想

所谓数学模型，就是用数学的语言和方法对各种实际对象做出抽象或模仿而形成的一种数学结构。通过建立数学模型，将考查的实际问题化为数学问题，构造出相应的数学模型；通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得以解决，这种解决问题的方法叫作数学模型的方法。建立数学模型的思想方法在数学教学当中有着广泛的应用，是在解题时要求学生掌握的一种数学思想方法。例如，对于“导数的应用”和“数列的应用举例”这两节内容，就要求学生运用所学的导数的知识和数列的知识来解决实际问题，即解应用题。学生在解应用题时得分率不高的原因是没有掌握数学建模的最基本方法，有的读不懂题意，有的是无法转化为相应的数学问题，对题目是无从入手。因此，针对这些问题，要教会学生建立数学模型的方法，切实解决实际问题，提高应用题的正确率。

首先是模型准备，这是建立数学模型的第一步。根据题意，必须了解实际问题的背景，明确建模的目的，弄清实际对象的本质特征，为下一步做好准备工作。其次是模型假设。根据实际原型的特征和建模的目的，对问题进行抽象和简化，抓住问题的主要因素，忽略次要因素，做出正确的假设。再次是模型建立。根据模型假设，运用数学语言，把所要研究的实际问题的内在规律表达出来，建立合适的数学模型。接着是模型求解和模型分析。在建立模型的基础上，进行数学的求解，并对模型的求解结果进行数学上的分析，得出最优的结果。最后是模型检验。模型分析的结果是否符合实际，还必须回到实际中去对模型进行检验，检验其是否符合实际问题的合理性和实用性。