数学教学：培养后进生

（一）为什么数学是一门抽象性学科

我们了解在对传统数学教学原则的认识中，具体与抽象相结合原则是呼声最高的原则之一。抽象是数学的特点，从认识论角度来讲，人们对客观世界的认识都是由具体到抽象，由感性认识到理性认识，以至无穷的循环往复过程。在数学教学过程中，抽象思维与生动具体的对立统一是由教学过程与人的认识的共同性与特殊性决定的，在数学教学中具有特殊意义。正是由于它的抽象性，所以成了后进生形成的主要原因。因此，教学时，应加强教学的直观性，像物理、化学一样，通过直观性使学生理解概念、性质。例如，在讲三角形任意两边之和大于第三边时，我们可以利用几组不同长度的三段铁丝，通过学生自己动手，提问哪几组铁丝可以组成三角形，能组成三角形的三段铁丝之间有何关系，从而引导出上述性质。因此，加强直观教学可以吸引后进生的注意力。

我们知道人们对数学科学的认识通过具体地丈量土地、统计粮食储量、观察天象得到具有明显直观意义的初等几何和简单的数字计算，又通过这些明显直观的初始概念与逻辑推理得到不太明显的派生概念，伟大的数学研究者们借助派生概念又构建远离现实的数学抽象物，从而形成数学体系。概括地讲，就是从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。

（二）数学抽象性的特征

数学的抽象性有着几点明显的特征：具有明显的目标、无对象的具体内容、仅仅保留空间形式和数量关系。不管是高中生还是初中生，都较难直接理解抽象概念，直观具体分析依旧是主要思考模式。它的适用范围广泛，既有提炼数学概念的表征性抽象，又有探索数学理论的原理性抽象。它含有丰富的层次，不仅表现在直接从现实世界中抽象出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为已有数学知识基础上的再抽象。

数学抽象性是数学最基本的抽象性，要求和保证了数学的严谨性，而高度的抽象性是出现数学应用的广泛性和数学美的主要根源。没有了抽象性，也就没有了数学的研究对象。因此，抽象性是数学的本质，抽象能力是最基本的数学能力，也就是说，把数学形式从内容中分离出来、把数学材料形式化、从具体的数值关系和空间形式中抽象出它们本质特征的能力。这种能力是发现问题、形成概念的最主要的能力。

数学尤其是初等数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象，任何抽象的数学思想和数学方法都有具体、生动的现实模型。数学的抽象性不仅以具体行为为基础，而且更以广泛的具体性作为归宿，因此数学中的具体和抽象是对立统一的，它们相互区别、相互联系、相互转化。由具体到抽象、由抽象到思维的具体，是人们认识具体数学事实的基本的认识过程。

（三）数学的抽象性与具体性怎么样结合

那么如何将数学的抽象性与具体性相结合是一个值得思考的问题。在教学过程中，贯彻具体与抽象相结合原则的具体要求是做到具体与抽象的有机结合，灵活教学。

在中学，学习的都是抽象的概念与方法，而学习这些内容的目的是将其运用到实际。在教授知识时，首先注意从具体实例引入教学。抽象是从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。为了锻炼这种抽象能力，并习得知识，需注意从实例引入。通过实物直观（包括直观教具）、图像直观或语言直观形成直观形象，提供感性材料。例如，通过温度的升降、货物的进出等实例，来引进相反意义的量。在数学教学中，引用直观事物说明某个概念是非常有利的，这是因为对具体、生动的事物的感知有利于理解和记忆抽象概念，但是个别事物总有它的特殊性和与概念的不一致性。因此，在使用直观说明概念时，一定要有语言加以指导、概括和说明，并且正确领会书中引入例题的作用，做到在从学生熟悉的问题环境到产生疑惑的过程中以及能力范围内提取信息，得出结论。例如，从折纸问题中产生对指数走向直观感性的认识，同时使学生感觉到数学的实际用途，引发学生的实际兴趣，所以我们可以从现实生活中搜集材料。只有把数学引起生活，并从生活中提炼、建构，我们的数学才具有生命力，才能让学生真正地体验到数学的价值。从具体实例引入教学就是通过一些学生一知半解的特例发现问题，引入到一般性规律的讲解。抽象能力是最基本的数学能力，也就是说把数学形式从内容中分离出来。

在设计特殊教案时，注意逐步抽象，做好有关知识的复习工作。数学的逐级抽象性反映着数学的系统性。如果前面有些概念没有学扎实，就难以依赖这些概念抽象出更高一个层次的概念。从这个意义上来说，要打好基础，一步一个脚印地前进。因此，在讲较高层次的数学知识时，要做好有关知识的复习工作，这样就为新知识的抽象创造了必要的条件。这种方法既符合数学的发展规律，又符合学生认识的发展规律，容易取得好的教学效果。从简单到复杂，多样的形式让学生从中归纳，这符合中学生的认知规律。在这个过程中，给学生留一定时间思考与观察，引导学生抓住一般性规律。在成功抽象出一般规律后，便是抽象概念运用到更广泛的具体中去，这才是学习概念的重要意义之一。所以，要注意培养学生抓住数学实质的能力。现在初中生普遍存在这种现象——应试能力强，通过记住解答步骤来实现学习目标，而非真正理解、应用概念与自己的逻辑推理，于是就产生抽象与具体脱节的现象，导致学生解决实际问题的能力差，抓不住数学实质，不能使所学知识灵活运用。因此，教师引导学生在观察、探索中抽象与具体相结合，就是为了使学生对抽象的理论有正确的理解与深刻的认识。发展学生的抽象思维，使抽象理论的教学具体化，而具体、直观仅仅是手段，培养抽象思维能力才是根本的目的。因此，如果在教学中不注意培养抽象思维能力，学生就不可能学好数学；反之，如果不依赖于具体、直观，抽象思维也难以培养。只有在教学中不断地实施具体与抽象相结合，循环往复，才能不断将学习引向纵深，使认识逐步提高和深化。

“抽象”一词源于拉丁语“abstracto”，其本意是排除、抽取的意思。现在人们对抽象的理解一般有两种：一种是用来形容那种远离具体经验，因而不太容易理解的对象性质的程度；另一种是指从具体事物中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程和方法，后者反映出抽象是一种思维活动。抽象性是数学的基本特点之一，也是数学活动最基本的思维方法。作为方法的数学抽象，抽取的是事物在数量关系和空间形式等方面本质属性，进而提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。

（四）数学抽象的分类

数学的一切活动从概念到方法，实质上都是抽象的，大到组织一个数学体系所用的公理化方法、在实际应用中的数学模型方法，小到一个概念的给出、一个计算过程的建立、一个证明技巧的发现，甚至于一个问题的表征，都需要用到数学抽象。由此可以看出，数学抽象是多种多样的，也是多层次的。了解数学抽象的分类，有助于我们在教学中抓住抽象的重点和关键。

根据抽象对象的性质，数学抽象可以分为表征型抽象、原理型抽象和建构型抽象。对事物所表现出来的特征的抽象称为表征型抽象。例如，三角形、正方形、圆、立方体、轴对称等概念都是表征型抽象的结果。对事物内在因果性、规律性、关系性的抽象称为原理型抽象。例如，乘法分配律、三角形内角和为180°等基本数学关系都是原理型抽象的结果。而建立在这些抽象基础上的数学建构性活动称为建构型抽象。例如，定义质数和合数的概念的活动就是建构型抽象。

根据抽象过程的特征，数学抽象还可以分为理想化抽象、等置抽象、弱抽象和强抽象。理想化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象的思维过程。理想化抽象得出的数学概念包含了对于真实事物或现象的简化和完善化，因而这些概念与现实原型本身未必完全相符。如线段、射线、直线等概念都是理想化抽象的结果。又如，在解决实际问题的时候，往往用线段图来表示题目中的数量关系，而线段图是理想化抽象的结果。理想化抽象也可以通过引进理想化元素来发现数学理论，如虚数概念的建立。等置抽象是指依据某种等价关系抽取一类对象共同特征的抽象方法。如从三个苹果、三棵树、三枚棋子这些在数量上具有共同特征的事物中抽取出“自然数3”这一概念，就是等置抽象。弱抽象可以叫作概念扩张式抽象，即由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。如对于长方形的概念来讲，如果只保留“两组对边分别相等”的属性，而舍弃“角”方面的特征，则可抽象出“平行四边形”的概念，这个过程就是弱抽象。强抽象可以叫作化结构式抽象，即通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象过程。如在一般三角形概念上引入“两条边相等”，就抽象出特殊的“等腰三角形”这一概念，这个过程就是强抽象。

从思维过程上来看，弱抽象是“特殊到一般”的归纳推理过程，这个过程比较直观，比较贴近学生的思维水平，有利于学生的理解，适合学生自主学习；强抽象则是“一般到特殊”的演绎推理过程，这个过程比较直接，但是不易理解，对学生的思维水平要求较高，需要教师进行讲解指导。

（五）数学抽象的教育价值

数学抽象由于抽象的对象（概念、模型、理论体系等）和过程不同，体现出不同的层次性。例如，自然数、整数、有理数、实数、复数等概念的抽象性，几乎是逐步提高的。一般来说，抽象水平越高，反映出人们抽象思维能力水平越高，相应的民族文化发展水平也越高。因此，对教师而言，引导并训练学生逐步从初级的经验水平转向高级的科学水平的抽象，提高他们的思维水平，促进他们智慧发展，是数学教育的重要任务。(www.xing528.com)

数学抽象可以帮助学生更好地体会数学的本质。数学抽象方法虽然多，但是这些方法实质上都是一种构造活动，是借助于定义和推理进行的逻辑建构。这里的逻辑建构是借助于明确的定义逻辑构造出相应的数学对象，这样的方法使得数学对象能够由内在的思维活动转化为外在的独立存在，从而形成一种客观的知识。例如，倍数和因数是两个整数在有整除关系的基础上构造出来的概念。通过数学抽象的这一构造活动，不仅可以让学生经历数学知识产生的过程，还有助于让学生体会数学知识本身的量化、形式化、模式化和理想化的特点，逐步形成“数学是关于模式的科学”的数学观和初步的“模型思想”。

数学抽象可以帮助学生体会数学知识之间的层次性和结构规律。通过数学抽象，可以帮助我们找出数学概念和定理的原型，真正弄懂它们的含义，掌握数学知识的来龙去脉，并洞察知识形成过程的全貌。这有助于我们了解概念层次结构中各步骤的难易程度，看清概念的结构，从而进一步理解这些数学知识之间的关系及其抽象的过程。例如，从因数到最大公因数这是一个强抽象的过程；2、3、5的倍数的特征是原理型抽象的结果。

一般来说，人们先认识一些较为具体直观的事物对象，如果其内涵丰富，往往会成为弱抽象的原型；反之，如果内涵非常贫乏或者不够丰富，则会成为强抽象的出发点。当我们认识到这一规律后，在今后的学习中遇到一个概念，可以就其性质特征加以追问、反思和抽象，提高抽象思维的水平。例如，当学生学习平行四边形时，我们可以追问“四条边都相等的平行四边形是什么图形？四个角都是直角的平行四边形是什么图形？”这样的过程实质上就是强抽象的过程。

数学抽象有利于培养学生的抽象概括能力和发展思维能力。思维最显著的特征就是概括性。思维之所以能揭示事物的本质和内在规律性的关系，主要来自抽象和概括，而对事物的认识只有经过抽象、概括，才能由感性上升到理性。概括是指从某类事物中的个别对象具有某种特有属性推广到该类事物的全体对象具有这种特有属性的思维过程。此外，在数学抽象的过程中，概括起着至关重要的作用。

可以这样说，数学中的任何一类数、一种运算、一个概念、一个法则，都是抽象、概括共同作用的结果。如果说抽象重在分析、提炼，那么概括则侧重于归纳、综合。由此可见，抽象是概括的基础，没有抽象就不可能有概括，而概括有助于抽象，能使抽象而来的特有属性推广到研究对象的整类中去。当抽象概括水平越高，知识系统性就越强，迁移就越灵活，一个人的智力和思维能力就越能发展。

（六）数学抽象性在数学教学中的应用

数学中的概念、运算、性质和法则等都是通过数学抽象逐步在学生的头脑中建构起来的。因此，提高数学抽象方法使用的有效性，让学生能够通过数学抽象建立正确的数学知识就显得尤为重要。下面来谈谈数学抽象在小学数学教学中的应用。

1.数学抽象时要充分发挥表象的作用

表象是感性认识的一种高级形式，是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁，因此在概念形成、计算法则和公式的推导过程中，建立能突出事物共性的典型表象是非常关键的，这为进一步高水平的抽象概括提供了基础。例如，在认识平行四边形的时候，为了便于抽象概括出其“两组对边相等”“两组对边分别平行”等本质特征，可以提供给学生典型图形，让其充分感知、观察比较后，思考这些图形共同之处，然后再抽象概括。这里典型图形不一定只有一种，可以是多种多样的，这样有助于让学生建立比较丰富的平行四边形的表象。但是，目前的大多数小学数学教材中在认识平行四边形一课中所呈现的素材并没有给出长方形和正方形（可能考虑到学生认知规律的原因），因此常导致学生产生片面认识，即平行四边形的四个角不能是直角，这正是提供的表象不全面导致的。为了避免这样的问题产生，在选取表象的时候，一定要考虑全面。

2.数学抽象时要把握时机，及时抽象概括

在对具体事物充分感知、形成表象后，就要把握好时机，及时地抽象概括，这样才能使感性认识上升到理性认识，提高学生的思维能力。试想，如果不及时抽象概括，那么学生的思维水平必然停留在表面的、肤浅的、零碎的外部现象上，对事物的认识就不能够深入下去。例如，在认识线段的时候，先让学生“把线拉直”，发现毛线两头拉紧后，中间一段是直直的；然后引导学生在不看实物的情景下，想象出拉直后毛线的状态，并把头脑中形成的图像画下来，以此抽象出线段的概念。这里的抽象概括是建立在学生充分操作、想象的基础上的，时机是恰当，也是及时的。

3.数学抽象时要注意层次性

学生的抽象能力是随着年龄的增长而逐步发展的，是从抽取事物外部特征逐步发展到抽取事物本质特征的，是从借助于具体事物进行较低层次的抽象发展到借助于表象或者数学概念的较高层次的抽象，这种发展需要教师的指导和点拨。像在研究轴对称图形时，教师先通过一些具体的轴对称物体抽象为轴对称图案，再抽象为具体的轴对称图形，最后抽象出“对折之后完全重合的图形叫作轴对称图形”这一概念，其中的层次性显而易见。又如，加法交换律的教学中，教师先从具体情境“朝三暮四”的故事中抽象出数量关系“3+4=4+3”，再通过一组这样的等式抽象概括出“交换加数的位置和不变”这一结论，最后用抽象的字母表示为“a+b=b+a”。这种抽象的层次性符合学生认知从具体到抽象、特殊到一般的发展规律，便于学生理解和接受。

4.重视语言在数学抽象过程中的作用

数学抽象的结果是形式化的，多数是用词、词组和句子来表达的，任何一个数学概念、法则的推导过程也是要借助于语言的指导和帮助的，因此要重视语言在数学抽象过程中的作用。在数学抽象过程中，使用语言一般有两个作用：一是加工调节作用，通过语言表达，让感知对象的特征更加清晰，表象更加明确精细，这样有利于后续的抽象；二是概括作用，通过语言将抽象出来的结论表达出来，给它命名，或者给出一个结论，便于学生理解和记忆。例如，异分母分数的计算法则是“异分母分数相加减，通常先通分，再按同分母分数的加减法计算”。把抽象的计算过程简洁明白地表达出来，不仅使学生易于掌握，而且还可以培养学生的数学语言。

5.抽象是基本的数学思想

数学抽象方法是数学化的一般方法，是数学学习过程中必定要用到的数学方法。教师在教学中要精心设计数学知识逐步抽象概括的过程，引导学生逐步感悟抽象思想。