随机事件概率教学设计案例：提高课堂效果

高二年级　李剑平

【教学目标】

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步认识随机现象，了解概率的意义。

2.通过经历数学实验，观察、发现随机事件的统计规律性，了解通过大量重复试验，用频率估计概率的方法。

3.通过随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性的发现，体会偶然性和必然性的对立统一。

【教学重点】概率的意义。

【教学难点】通过观察数据图表，总结出在大量重复试验的情况下，随机事件的发生所呈现出的规律性。

【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。

【教学手段】计算机辅助教学。

【教学过程】

一、创设情境，体会随机事件发生的不确定性

（一）展示生活实例1：“麦迪的35秒奇迹”

从同学们都很感兴趣的篮球比赛说起，介绍比赛最后时刻的情形.为什么在那个时刻，所有人都紧张地注视着麦迪和他投出的篮球？你能确定神奇的麦迪在即将开始的NBA比赛中的下一个三分球投进了吗？

设计意图：

从学生感兴趣的生活实例引入，一方面是为了激发学生的听课热情，另一方面是让学生体会学习随机事件及概率的原因和必要性。抓住生活实例中包含数学思维的部分进行提问，引导学生用数学的眼光观察、认识我们生活的世界，对生活中的现象和感性认识进行理性思考。

（二）展示生活实例2：杜丽北京奥运会再夺金

我们都非常关注2008年北京奥运会，大家知道这名中国射击运动员的名字吗？为什么射击比赛中每一枪都如此扣人心弦呢？

设计意图：

奥运会是社会热点话题，可以增强学生的国家自豪感。

二、归纳共性，形成随机事件的概念

从结果能够预知的角度看，能够发现以上事件的共同点吗？

设计意图：

有了前面的基础，此时学生能够有效地概括、抽取上述生活体验的共性．在数学上研究事件时，主要关注在相应的条件下，事件是否发生，因此在提问时明确思考的角度，让学生的思维直指概念的本质，避免不必要的发散。

以上这些事件都是可能发生也可能不发生的事件．那么在自己的身边，还能找到此类的事件吗？有没有不属于此类的事件呢？

通过以上思考，发现事件可以分为以下三类：

必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；

不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；

随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件．

设计意图：

在形成概念之前，通过主动的思考，在自己身边举例，一是巩固学生对随机事件概念的认识；二是通过对比，明确事件分类的标准和概念之间的差异。

三、深入情境，体会随机事件的规律性

我们看到，随机事件在生活中是广泛存在的，时刻影响着我们的生活．正因为体育比赛中充满了随机事件，而让比赛更加刺激、精彩，让观众更加紧张投入；因为每天的校园生活充满了随机事件，而让我们走入校门的时候内心涌动着好奇与兴奋；因为人生道路上充满了随机事件，而让我们每个人的人生各有各的不同，各有各的精彩，我们生活在一个充满了随机事件的世界当中。

同时，我们身边也有一些意外是随机事件，那我们是不是因此而时刻都充满着恐慌呢？实现自己的目标这也是个随机事件，我们是不是就因此而放弃了今天的努力了呢？

设计意图：

这一段教学首先表现了随机事件带给人们丰富多彩的生活，体现了教师对数学、对概率的喜爱和热情，传递给学生学习数学的积极态度；其次，这段教学既是对前面内容的总结，也引出了下面研究思考的方向，起到承上启下的作用，同时，也揭示了人们认识随机事件的过程，以及随机事件随机性和规律性之间的联系；最后，通过反问，使学生意识到，对生活的体验已经使我们积累了一些对随机事件规律性的感性认识，那么接下来就是要挖掘出这些感性认识下面的理性依据，以这种方式激发学生对生活经验的反思和探究，同时帮助学生形成正确的世界观。

回到最开始的两个实例中，反思其中包含着哪些对随机事件规律性的感性认识，以此为基础进行理性思考。

（一）提出问题，引发思考

1.既然三分球的命中都有随机性，为什么不是姚明来投最后这个三分球？

2.既然每个人参加奥运会获得金牌都是随机事件，为什么派杜丽来参加奥运会射击比赛？

（二）再次抽取共性，形成抽象概念

从同学们的回答中，可以体会到，事件发生的可能性有大小之分，是可以比较的，从而抽象出可以用数量表示事件发生的可能性的大小，这就是概率的意义。

（三）用概率的语言回答前面的问题

设计意图：

借助前面的事例，减少课堂的阅读量和重复思维量，可以提高课堂效率，也增强了规律性与随机性的对比．并且两个问题在学生看来是很容易回答的，这恰恰说明概率的雏形在生活实践中已经产生，同时这样的问题也更有利于学生对概率概念本身的把握，抽象过程就变得顺其自然了．

四、层层深入，形成概率的统计定义

通过数学实验，观察各组频率是否体现出规律性：

可以用大量重复试验的频率来估计投硬币“正面朝上”的概率，那么这种方法是否具有普遍性？方法的理论依据是什么？下面进行数学实验．

实验的要求：学生六人一组，进行试验，每组试验次数不定，注意试验的条件要求：竖直随机上抛．

实验结果的汇总与展示：各组汇报频数，输入到电子表格中，同时自动计算出各组频率并绘制出折线图。

观察得到的数据表格和折线图，是否能够找出规律，估算出事件发生的概率？

设计意图：

这一数学实验的结论不易直接推导，这说明了进行试验的必要性，也更大的调动了学生参与的积极性．学生的亲身体验，更有利于概念的形成，以及对规律的认同．对于各组频率统计表，学生也可以从中观察出一定的规律，但是这一规律尚不能帮助我们估计事件发生的概率，或者说精度不够．在此处实现学生在思考问题时的一个冲突，激发更细致的分析随机事件规律性的主动性．

（一）观察累积数据的频率表和折线图，形成概率的统计定义：

对于将所有数据累加后计算频率，来估计概率的方法，实际上就出现了累积数据的想法．对比前面对命中率的研究，其实累积数据就相当于大量重复同一试验，与前面的分析具有一致性。(www.xing528.com)

下面就利用电子表格的计算功能，计算出累积各组数据的频率并绘制出折线图，从数或形两个角度观察累积数据的频率是否体现出规律性？

表1　累积数据的频率

此图表中体现出的规律性是否具有一般性？为了加深学生对随机事件发生的规律性的认识，引出当代科学家为了探究科学的真知，不辞辛劳地做大量的试验，这种精神值得我们学习。

图1　累积数据的频率折线图

以上从数据和图形两方面印证了前面总结的规律性，形成概率的统计定义：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记作P（A）。

设计意图：

这一段是本节内容的难点，需要把对数据、图表的直观印象转化为抽象的概率定义。之所以可以用大量重复试验的频率来估计概率，是因为在数、图中累积数据的频率体现出了一定的“稳定性”，即规律性，使得我们能够从图表中大致判断出事件概率的范围、具体大小。

这里首先还是坚持从多组数据中抽取共性来形成概念，其次注重数与形的相互转化，把图形上的规律用数去描述，把数据上的规律用图形去验证，教学过程中数表起到了与折线图相同的作用．最后还采取了一些具体手段来帮助学生发掘、描述规律，如在折线图中绘制一条水平的红线，更为清晰的表现出频率在常数附近摆动的规律。

（二）概率的定义

对于给定的随机事件A，如果随着试实验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在区间[0，1]中的某个常数上，把这个常数称为“事件A的概率”，记作P（A），简称为“事件A的概率”。

概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小。

设计意图：

通过对实例的归纳和辨析对新问题的特性形成陈述性的理解，继而与原有的知识结构相互联系，帮助学生体会随机事件的随机性和规律性是不矛盾的，是辩证统一的，即随机事件在一次试验中体现出随机性，在大量重复试验中体现出规律性．这就是概率的定义。

五、探讨：频率与概率有何联系与区别？

联系：

（1）随着试验次数的增加，频率会在概率的附近摆动，并趋于稳定。

（2）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。

区别：

（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定。

（2）概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关。

设计意图：通过学生的探究，让学生充分认识频率与概率的区别与联系，频率本身是随机的，在试验前不能确定；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。

六、通过运用，复习检验所学的知识，提高运用能力。

1.下列说法正确的是（　）

A.任何事件的概率总是在（0，1）之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

2.李××、陈××两名同学想看同一本好书，于是采用“石头、剪刀、布”的方式决定谁先看。这种规则公平吗？为什么？

3.医生检查完病人的病情后摇头说：“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活。”当病人被这个消息吓得手足无措时，医生继续说：“但你是幸运的，因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病。”

医生的说法对吗？你能解释原因吗？

设计意图：

练习设计了三个小题：第（1）个是检验频率与概率的概念辨析，从而巩固概念的认识，第（2）、（3）个是用概率去判别生活中的随机事件，达到学以致用，学习知识是为了解决问题，服务于生活，对于遇到问题做出决策性判断。

七、典例剖析　悟化概念

例题：某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如表2所示：

表2　投篮练习

计算表中进球的频率。

这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？

变式：这位运动员进球的概率是0.8，那么他投10次篮一定能投中8次吗？

设计意图：

通过试验，得出随着试验次数的增加，频率会在概率的附近摆动，并趋于稳定。

概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值的结论，典例剖析，悟化概念，使学生的能力得到检验和提升。

八、课堂小结

通过本节课的学习，思考下列问题：

为了估计随机事件发生的概率，本节课的教学使用了那些数学思想？

答：抽象概括的数学思想，统计的数学思想。

设计意图：

通过对课堂实例的思考，回顾了随机事件的概念和用频率估计概率的方法，在思考中师生共同完成本节课的小结，同时形成板书，突出概念与方法。

作业：

1.设计恰当的数学实验，估计随机事件发生的概率。

2.查阅有关资料，了解概率发展的历史。

【板书设计】

【案例分析】

对于本章节提倡的“激、探、用、悟”教学方法，此教学设计能将这四个字有机的体现出来。用生活中的体育比赛“激发”学生对随机事件的兴趣，进一步“探索”随机事件的本质，学会“运用”随机事件相关规律，来进一步“悟化”相关概念。且可以看出该老师在教学前做了大量的准备工作，别出心裁地设计教学环节使这节课思路清晰、学法指导适时恰当，提问能调动激发学生兴趣，学生积极思考踊跃回答，体现了高效课堂。这种教学方法值得借鉴。