边角关系定等腰，直角讨论仅直角

特殊三角形讨论问题，常见于中考数学压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形判定及性质、锐角三角比的应用等数学核心知识，蕴含了分类讨论、数形结合、化归等数学思想.

对于直角三角形存在性问题，其关键在于讨论直角，当确定某角为直角后，常常会“跳出”原直角三角形，与周围几何要素相结合，推出新的结论.

对于等腰三角形存在性问题，要密切关注该等腰三角形本身，关注等腰三角形内部的边角关系（如下图所示）.

注：“腰余弦、底对半”的含义是等腰三角形腰长乘以底角的余弦值等于底边长的一半，这条性质刻画了等腰三角形的腰、底及底角之间的边角关系.

有时当原三角形不便于讨论时，可以通过图形内部的相似关系，考虑转换讨论目标.

由此，可将等腰讨论问题的一般解题思路，总结为下图.

虽然部分的特殊三角形存在性问题有一定“套路”可循，但大多数题目命题灵活，并无单一模式，对同学们提出了相当大的挑战.然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边角的相互转化，就能拨开迷雾、探寻真相.

例题详析

几何画板　动态演示

（1）求证：AP=OQ；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长.

图解与分析

例1

（2）[思路点拨]△CPF的面积可以运用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得，本题的难点是求该函数的定义域.审题时要注意题中关于动点位置叙述的语句，就本题而言，由“动点P、Q分别在线段OC、CQ上，且DQ=OP”可知“0＜x＜10”；由“AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F”可知“点E在射线OQ上，点F在边CD上”.

那当点P在CO上移动时，点E一定在射线OQ上，点F一定在边CD上吗？此时可以取一把长尺，使长尺一端绕着点A旋转，并确保长尺经过线段CO上的点，观察长尺与射线OQ与线段CD是否始终存在交点.经过试验发现射线AP（长尺）与射线OQ始终有交点，但与线段CD并非始终存在交点.其实合理运用手中工具（如直尺、不同形状的三角板、圆规等），可以模拟很多图形的运动过程.

如图（b），过点P作PH⊥AO于H，

（3）[解析]如图（d）所示，∵∠PAO+∠AEO=∠QOD+∠DOB，

∴∠PEO=∠DOB=∠COA.

∵∠COA为一个锐角，∴∠PEO≠90°.

例1

可分以下两种情况进行讨论.

例1

综上所述，当OP=8时，△OPE是直角三角形.

①本题中“∠PEO是一个定角”是通过分析“外角”推得的，这是一种比较重要的分析“等角”的方法，但同时往往也不容易发现.

②对于题中的每个可能的情况，哪怕不存在，也要说明理由.

③对于所求出的解，要检验其合理性，防止多解.

几何画板　动态演示

（2）若PE=x，△BDP的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）当△BDF为等腰三角形时，求PE的长.

例2

图解与分析

（2）[思路点拨]在△BDP中，易知BE=4，则BP=4+x，接下来让我们仔细分析该图形的右侧部分.

由此可知∠CBD=∠CEP=90°，∠PBD=45°，BP=BE+EP=4+x.

例2

在△BDP中，“两边夹一角”都能用未知数和常数进行表示，其面积也就容易表示了.

这个局部图形很重要，请同学们自己数一下，该图形的右侧部分中究竟有几组相似三角形.

例2

∴∠CBD=∠CEP=90°，∠PBD=45°，BP=BE+EP=4+x.

如图（c）所示，过点D作DM⊥BP于点M，

让我们进一步观察原图，在原图中进一步寻找信息.

例2

[解析]由△CBD∽△CEP，得∠CBD=∠CEP=90°，∠CPE=∠CDB.

进一步可得∠PBD=∠CBP=45°，由此可知△BFD∽△BCP.

∴△BFD要为等腰三角形，当且仅当△CBP为等腰三角形.

③若CP=BP，则P、E重合，不符合题意.

例3　如图（a）所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2.点E在边AD上，且AE=3ED，EF∥AB且交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上.

（1）求线段CF的长；

（2）如图（b）所示，若点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM·cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长.

几何画板　动态演示

例3

图解与分析

（1）[解析]如图（c）所示，作AH⊥BC于点H，易得AH=6，BH=3，AD=HC=8.

∵AE=3ED，AD=AE+ED，∴ED=2，AE=BF=6，CF=11-6=5.

（2）[解析]如图（d）所示，作MG⊥BC于点G，则FG=FM·cos∠EFC=x，考虑利用∠AMN=90°构造相似三角形.

过点M作BC的平行线交DC于点P，交AH于点Q，则△MNP∽△AMQ.

例3

求解定义域：

如图（f）所示，根据条件“点M在线段FE上”，考虑点M、G重合时，x=0，故x≥0.

例3

（3）[思路点拨]1°为了确保分类不遗漏，可以按下面的步骤进行有序讨论.

当点M在线段FE上时，∵∠NAM＜90°，∠ANM＜90°，∴只能∠AMN=90°.

2°此题对于同学们来说，最大的挑战在于难以想象“当点M在FE延长线上”时的两种情形.此时可以如图（g）、图（h）所示，通过摆放直角三角板，进行数学实验，克服这个难关.

例3

[解析]类似本题第（2）问作辅助线.

例3(www.xing528.com)

①当点M在线段FE上时[如图（i）所示]，

∵∠NAM＜90°，∠ANM＜90°，∴只可能∠AMN=90°.

②当点M在FE的延长线上时，

1°当∠AMN=90°时[如图（j）所示]，点G在点C左侧.

2°当∠ANM=90°时[如图（k）所示]，

例3

3°当∠NAM=90°时，

∵∠ANM=∠AND+∠DNM，∠AND＞45°，∴∠ANM＞45°，与题意不符，舍去.

精选练习

答案全解全析　P131

1　如图，已知正方形ABCD中，BC=4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一动点，连接OE交AB边于点F.以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，连接DH.

（1）求证：△HDO≌△EAO；

（2）设BF=x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）连接AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长.

第1题图

思路引导

（1）略.

（2）①用x表示AF、OF；

②求y关于x的函数关系式，并写出定义域.

（3）①说明AE≠EG的理由；

②当AE=AG时，求BF的长；

③当EG=AG时，求BF的长.

2　如图（a）所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3.点P从点A出发，沿折线AB-BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动.当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ交AC于点E，连接DP、DQ.设点P的运动时间为t秒.

（1）当点P与点B重合时，求t的值；

（2）用含t的代数式表示线段CE的长；

（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围；

（4）如图（b）所示，取PD的中点M，连接QM.当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值.

第2题图

3　如图所示，在平面直角坐标系中，函数y=-ax2+2ax+3a（a＞0）的图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D（异于点C），连接DE并延长，交y轴于点F，交抛物线于点G.直线AF交CD于点H，交抛物线于点K（异于点A），连接HE、GK.

（1）点E的坐标为________；

（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；

（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由.

第3题图