王工一
本教学片断以一道开放题进行教学，旨在培养学生的数学应用能力和发散性思维能力。
教学过程如下：
师：今天我们来研究一下“健力宝”易拉罐的尺寸。请大家拿出易拉罐，测出易拉罐的高和底面直径。
（学生进行测量，并报出测得的数据大致高为12.3cm，底面直径为6.6cm。）
师：大家测得的数据不完全一样，略有差异，这是很正常的，因为实际测量时，误差在所难免。我们不妨认定“健力宝”易拉罐的高h为12.3cm，底面直径2r为6.6cm。现在的问题是：厂家为什么要将易拉罐的尺寸设计成这个样子？
生A：产品的包装在很大程度上取决于美观程度，因为漂亮的东西往往能吸引顾客的购买欲望。也许易拉罐设计成这种尺寸比较美观、大方。
师：好！产品的外表对产品的销售确实会起很大作用，“佛要金装，人要衣装”嘛！但用什么标准来衡量物体尺寸的美与不美呢？
生A：这……
生B：用“黄金分割率”0.618来衡量，达·芬奇的很多绘画作品看起来之所以特别美，其中一个重要原因是其宽长之比都满足“黄金分割率”。
生C：生B说得不对，“黄金分割率”可以衡量平面图形美与不美，而易拉罐是圆柱体，不能用“黄金分割率”来衡量。
生D：不，可以用“黄金分割率”来衡量。易拉罐虽然是圆柱体，但它的轴截面是矩形，如果它的轴截面的宽长之比满足“黄金分割率”，它看起来就比较漂亮，希腊祭奠雅典娜女神的巴台农神庙就因为其正视图和侧视图都符合“黄金分割率”而显得格外美观、大方。
师：生D的思路很有道理，那么让我们来算一下易拉罐轴截面的宽长之比是否满足“黄金分割率”。
（学生通过计算2r/h=6.6/12.3≈0.537，发现易拉罐轴截面的宽长之比并不满足“黄金分割率”，有些失望。）
师：大家不要泄气，“健力宝”易拉罐的尺寸虽然不满足“黄金分割率”，但我们还可以从另外的角度来探讨这种易拉罐的尺寸被厂家采用的原因，在科学探索的道路上是不可能一帆风顺的。
（点评：适时鼓励，寓德育于数学教育之中。）
生E：也许是出于经济的角度考虑，这种尺寸可能能使做易拉罐的用料最省。
师：很好！这是一种新的思路。那么什么叫用料最省呢？
生E：每听“健力宝”含量为345mL，所谓用料最省是指做一个容积V=345mL的易拉罐用去的铝最少，铝的数量可以用罐体的表面积大小S来衡量。
师：你能具体推算一下吗？
利用
，当且仅当a=b时，等号成立）可得
式中，r约不掉，不能这样做。
师：生E的想法是很好的，碰到的困难是r没办法约掉。其他同学有没有办法把r约掉，使不等式的右边成为一个常数？
生F：可以把
写成
，利用
0，b≥0，c≥0，当且仅当a=b=c时，等号成立）去推导。
师：好，你试试看。
生
(www.xing528.com)
这里
是一个常数，
故S的最小值是
。且此时，由
可得
生G：易拉罐的高h为12.3cm，底面直径2r为6.6cm，很显然h≠2r，所以我们又错了。
（点评：又是一个“山穷水尽疑无路”，能否再次“柳暗花明又一村”呢？那就要靠同学的积极思考和老师的适度指点迷津。）
我觉得用料省与不省不能简单地看罐体的表面积大小，因为做罐体的铝片是从更大的铝片上裁剪下来的，所以这时“用料最省”所考虑的问题不仅仅是罐体的表面积最小，而且还要考虑到裁剪后的残料尽可能的小。
生H：我觉得还要考虑把一个矩形（圆柱的侧面）和两个圆焊接成一个圆柱所要用去的材料和工时。
师：生G和生H的思路都非常有价值，但我要提醒同学们：仔细观察“健力宝”易拉罐，是由一个矩形和两个圆焊接而成的吗？
（点评：学生的思路有时是不全面的，甚至是错误的，但只要有闪光点，就应该鼓励，因为“数学的本质在于自由”，绝不应该将学生的思维强行纳入教师的思维框架之中，将学生的发散思维和创造思维扼杀于襁褓之中。当然也应正确引导。）
（经过仔细观察）众学生：不是。
师：对。有的铁罐，比如“娃哈哈”八宝粥的罐体是由一个矩形和两个圆焊接而成的，而铝制的“健力宝”易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并不要从一块大的铝片上裁下材料，然后焊接而成。这里我要再向同学们介绍一点有关制造易拉罐罐体的知识：
铝制易拉罐罐体的底面厚度大约是侧面厚度的两倍，这是因为如果底面做得和现在的侧面一样薄，那就很难将易拉罐打开，如果侧面做得和现在的底面一样厚，则浪费材料，没有这种必要（这是经过科学测试得到的结论）。
下面再请大家来算一算“健力宝”易拉罐的尺寸是否是“用料最省”的尺寸。
生I：设易拉罐的重量为G，铝的密度为ρ，侧面厚度为d，上下底面厚度为2d。
则
即G有最小值
此时
即
即高度为底面直径的两倍。
这与我们测得的易拉罐的高和底面直径的尺寸是基本吻合的，因为12.3÷6.6≈1.9。
师：太精彩了！我们通过不断努力，通过“肯定——否定——肯定”的层层深入探索，终于得到了一个可以解释的结论了。
生J：这个结论虽然可以解释“健力宝”易拉罐采用这种尺寸的原因，但为什么像铁制的、不是一次成型的“娃哈哈”八宝粥的罐体也有类似的尺寸呢？
（点评：生J就像半路上杀出的程咬金，一石激起千层浪，刚刚获得的结论又要受到挑战，把同学的思想又引向一个新的天地。）
师：问得好！你有什么想法吗？
生J：我想厂家之所以这样设计，是否考虑到这种尺寸的罐体比其他尺寸的罐体拿着更舒服，饮用更方便？
师：有道理，这是从生理学的角度去考虑，又是一个新的、更复杂的思考领域，我们也许还可以从其他更多的角度去考虑，我想这是大家课后讨论研究的很好素材，希望看到大家的研究成果。
（点评：不把结论讲“死”，也不把问题解决得十分完善，留一份空间给学生自由地想象、探索，这也许是开放题的一个重要作用之一，与文艺作品中的“悬念”有异曲同工之妙！）
【本文原刊于《中学数学月刊》1999（4）】
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