数学问题解决研究方法

辽宁师范大学　杨　骞

1　多种意义下的数学问题解决及其研究

数学问题解决是多学科研究的对象，心理学和教育学、数学和数学教育学等学科都从不同的侧面来研究它，但各自研究的出发点和落脚点是有差异的，比如，心理学主要是通过了解个体解决数学问题的过程来推断、预测、决策人们解决问题的一般思维过程和心理规律；而数学则是侧重研究创造性地解决数学思维和形象思维、直觉思维、想象、美感等诸方面。

1.1　心理学中的研究

在普通心理学中，人们为了研究思维，着重研究解决问题过程中的思维。随着心理学的发展，尤其是认知心理学的产生，问题解决成为一个十分热门的重要课题［1］。心理学中研究问题解决，目的在于揭示问题解决过程中所反映的心理规律。其内容主要包括：问题解决的实质及心理机制；问题解决的一般心理过程；问题解决的策略；影响问题解决的各种心理因素；问题解决的理论体系。

1.2　教育学中的研究

20世纪初，美国教育家杜威把关于“思维就是问题解决”的结论应用于教育学之中，在《我们怎样思维》（1905）一书中引入了“问题解决”，提出“通过问题解决进行学习”、“做中学”的教学思想。当然这只是问题教学的雏形，比较完整的要算马赫穆托夫（前苏联教育科学院院士）的问题教学理论［2］。这个理论的产生是基于为了实现当代科技革命给前苏联学校提出的培养目标——培养每个学生的独立认识能力和创造能力。马氏的问题教学理论内容比较丰富，主要包括：问题教学的理论基础（认识论，逻辑——心理学），基本范畴（问题与问话，问题与任务，学习性问题与科学性问题，问题的提出和解决），基本含意，原则体系，实施方法、特点、功能、效果等。

1.3　数学中的研究

由于“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满了生命力；而问题的缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”。（希尔伯特语）所以，可以说数学的发展（或发明发现）过程就是不断提出问题并不断解决问题的过程。于是有志于反思发明发现过程的数学家们就致力于数学问题解决的研究（详见参考文献［3］、［4］、［5］、［6］、［7］）。

1.4　数学教育学中的研究

数学教育的一个重要目的就是要提高学生的解题能力，所以解题研究是解题教学和提高学生解题能力的基础，数学教育中的解题研究，最富有成效、也是最有影响的莫过于波利亚的数学解题理论。《怎样解题》（1944）、《数学与猜想》（1954）、《数学的发现》（1961）三本名著的出版和发行，引起了世界许多国家数学教育工作者的极大关注，至今乃至今后仍将产生深远的影响。不过，目前人们所谈及的数学问题解决研究，主要指20世纪80年代以后的研究，这一研究发端于1980年美国数学教师联合会研制的《关于行动的课程》，并逐步发展成为80年代以来世界各国数学教育改革和研究的一个共同关心的中心课题。难怪有人把“以问题解决为主导”的数学教育称之为本世纪数学教育改革的第三次浪潮［8］。本文涉及的主要是80年代以来人们对数学问题解决的认识及其研究。

2　数学教育中的问题解决及其研究

2.1　背景简要回顾

继“新数运动”和“回到基础”之后，1980年美国数学教师联合会给第四届国际数学教育大会提交了一份纲领性报告：《关于行动的议程——关于80年代中学数学的建议》。这份文件明确地指出，“问题解决是80年代学校的核心”（第一条），“数学课程应当围绕问题解决来组织”，“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”，“在问题解决方面的成绩如何，将是衡量数学教育成败的有效标准”。由此在世界各国掀起了以数学问题解决为主题的一系列数学教育改革和研究的热潮。应该说，20年来的改革和研究，成果令人鼓舞。人们经常列举的、把“问题解决”放到重要地位的报告（或文件、教材、文献）主要有：（美）《普及科学——美国2061计划（数学报告）》（1989），（英）《Cockeroft报告》（1982），（美）《Every Counts》（1989），《面向21世纪的中国数学教育》（严士健主偏，江苏教育出版社，1994）、《21世纪中国数学教育展望（Ⅰ）、（Ⅱ）》（21CME课题组，北京师范大学出版社，1992，1995）；继1980年第四届国际数学教育大会之后的第五、六、七、八届，都把问题解决列为一个专题；美国《中小学校数学课程与评估标准》（1989）、英国《国家数学课程标准》（1989）、日本《小学算术、中学数学指导要领》（1989）等各国数学课程教学指导性文件以及“芝加哥大学中学数学教学设计”（UCSMP）等中学数学教材，无一不把培养问题解决能力作为重要的目的。

在国际数学问题解决潮流传入我国之后，我国数学教育工作者纷纷对此积极倡导和探索。张乃达先生在参考文献［9］中，从我国的实际出发，指出“数学教育应该以解题为中心”，“解题教学正是达到教学目的的最好手段”；张奠宙先生在总结我国数学教育历史经验的基础上，认为“以问题解决为主导”是改革我国数学教育的突破口［10］；张国杰先生也提出问题解决将对数学教育与数学学习、对改善数学差生、对中考高考试题的改革等显示出它应有的威力［11］。

2.2　研究范围及其主要内容

综观国际数学问题解决与教学的研究和实践，其研究范围和内容概括起来主要包括四个方面：①问题系统研究；②问题解决系统研究；③问题（解决）教学系统研究；④问题教学的理论基础和研究方法研究（详见参考文献［12］）。

2.3　研究中的几个误区

（1）对“问题”、“数学问题”的理解有偏差，显而易见，“问题”与“例题”、“习题”是不同的，那么“问题解决（教学）”包不包含“例题教学”、“习题教学”？实际上人们在大量研究中没有加以区分，显得比较混乱。

（2）对“数学问题”的分类比较混乱。为研究方便，对“数学问题”进行适当分类十分必要。然而由于分类标准难于确立，致使许多分类并不符合分类规则。比如，就有人对“常规”与“非常规”、“开放性题”提出质疑［13］。

（3）正是由于人们对“数学问题”的含义及分类认识不确定，也就必然导致对“问题解决”的理解存在偏差［14］。按照认知心理学的观点［15］，问题解决既包括创造性问题解决，也包括常规性问题解决，显然这是两种不同的形式，而人们在研究中也没有加以区分。

（4）“重视解题一直是我国中学数学的传统，仅据1991年我国有代表性的三种中学数学杂志的统计，全年发表的665篇文章中，属于数学试题和解题研究的文章有546篇之多，占文章总数的82.1%，每年公开发表的有关解题研究的文章，据不完全统计，其数量在5000篇以上”［16］。然而，如果我们认真审视一下这些研究，它对提高学生的解题能力、对促进数学改革，究竟有多大的作用和影响，结果将是十分令人失望的。

3　关于数学问题系统的研究

3.1　对数学问题的界定

关于“数学问题”的界定，参考文献［17］将其各种定义概括为四种类型：①数学问题是一种需要行动的情况（代表人物：波利亚、贝尔等）；②数学问题是一种题系统（奥加涅相，戴再平等）；③数学问题是一种情境（曹才翰等）；④数学问题是一种集合（斯托利亚尔等）。参考文献［17］的作者还提出了自己的观点。通常人们采用的数学问题的定义是：对人具有智力挑战特征的，没有现成方法、程序或算法可以解决的问题［18］。

另外，人们为了全面地刻画“数学问题”，通常用它的特点（或条件）来做补充。较为普遍的提法是［19］：接受性、障碍性和探究性。其他的提法可参见参考文献［17］、［20］。

3.2　关于数学问题的分类

如果从教学的目标和要求这个角度，任子朝先生把数学问题分为五类［21］：①识别练习问题；②算法练习问题；③应用问题；④开拓—探究问题；⑤问题情景。

如果从题的构成（通常分为三要素：初始状态A、解题过程B、最终状态C）来看，可以把数学题分为三种类型（七种形式）［22］：标准题（ABC）、封闭型变式（Abz，AyC，xBC）以及开放型变式题（Ayz，xBz，xyC），其中x、y、z是对应于A、B、C的未知成分。

通常人们将数学问题分为两大类：数学自身的问题和数学应用题，而数学自身的问题又包括常规问题和非常规问题。

3.3　“好问题”的特征

“在数学的任何一个分支里都有好问题，并且好问题到处可以找到”，“没有‘好问题’我们就创造不出数学”。但何谓“好问题”，可能确实难以下一定义，“不过一个好问题总应当具有一些特征”，比如，“①问题的解答中包含着明显的数学概念和技能；②问题能够推广或扩充到各种情形；③问题有多种解法”。［23］另外许多文献（如［19］、［24］）中都涉及到“好问题”的七个特征。

3.4　对习题的研究

习题作为教科书的一个重要组成部分，人们也在研究，国内最有代表性的成果是参考文献［25］；而且还在探索习题的改革，提出要不要在教材中编入开放题？开放题有哪些类型和特点？怎样编制开放题？又如何安排习题才有利于促进学生的发展？参见参考文献［26］、［27］。

3.5　对数学应用题的研究

来自工农业生产和日常生活中、有实际背景的数学问题，在国外一直受到青睐，近年来也成为我国中学关注的热点之一。由张奠宙先生主持编写、华东师范大学出版社出版的《中学数学应用丛书》（已出版三本），在全国反响较大。《中学数学教学参考》等刊物每年也要登载一定数量的数学应用题及其研究成果，比如，参考文献［28］把数学应用题区分为四个不同的层次；参考文献［29］从数学本质的角度提出了数学应用的两个层次。

4　关于问题解决系统的研究

4.1　对问题解决的理解

在数学教育中，通常对问题解决的解释有五种［21］：①是一种教学目的；②是一个过程；③是一种数学活动；④是一种数学能力；⑤是一种教学形式。然而心理学中对此有这样三种不同的观点：①是指向某些目标的一系列智力运算；②是一种特殊类型的学习；③作为学习的反面，还有人从哲学的角度提出了问题解决的质和本质的概念［30］。

4.2　问题解决的心理模式

问题解决的心理模式，说法颇多，较早提出的是美国杜威的五步模式，还有英国华莱士的四阶段模式、美国纽维尔和西蒙的信息加工模式等心理学研究成果；在数学教育界流行最广的是波利亚的四阶段模式；在波氏模式的基础上，人们又提出了许多类似的模式。如美国印第安那大学MPSP构造的六步模式；我国专家提出的模式理论，可参见参考文献［31］、［32］、［33］。

4.3　问题解决策略举例

问题解决的策略，参考文献［24］概括为如下七个方面：①目标策略；②知觉策略；③模式识别策略；④问题转化策略；⑤特殊化策略；⑥逆向策略；⑦整体策略。参考文献［19］中也提出了十条策略。参考文献［34］还对辩证思维策略进行了较为深入的探讨。

4.4　数学问题解决能力的构成分析

从数学问题解决的过程出发，参考文献［35］提出数学问题解决能力主要包括：①对问题情境进行分析和综合，从而提出问题的能力；②把问题数学化的能力；③对数学问题进行变换化归的能力；④灵活运用各种数学思想方法的能力；⑤进行数学计算和数学证明的能力；⑥对数学结果进行检验和评价的能力。

4.5　影响问题解决的因素分析

影响问题解决的因素很多，参考文献［36］认为主要有三个方面：①问题情境因素（如问题的类型、难度、陈述方式等）；②学习者个人的特征（如知识经验基础、个性品质等）；③问题解决中的认知策略（如多角度思考问题，抓住问题的要害等）。另可参见参考文献［37］。

5　关于问题解决教学系统的研究

5.1　对问题解决教学的认识

对问题解决教学主要有三种不同的理解：①作为数学教学的一种形式，与概念教学、命题教学相对应，如参考文献［38］；②作为数学教学的惟一形式，即所用教学内容都以问题形式出现，通过解决问题实现教学目的；③作为一种过渡形式，如参考文献［39］。

5.2　对问题解决教学功能的认识

无论对问题解决教学做怎样的理解，它都应该发挥多种功能。比如：①教学功能；②培养功能；③发展功能；④控制功能［40］。

5.3　数学课程中的问题解决

作为一种过渡形式，英国在高中设立了问题解决课程，其目的在于让学生认识数学的意义和价值，培养学生创造自己的数学知识的能力，并树立起对自身数学能力的信心。其主要内容包括［41］：①如何开展数学探究；②如何组织数学问题；③数学模型化；④数学交流；⑤个案研究；⑥数学问题。

5.4　问题解决教学的模式和方法

美国贝尔在参考文献［42］中，以解题的模式为基础，构建了问题解决教学的五步模式：①以一般形式提出问题；②把问题重述为可解的形式；③提出假设和解决问题的过程；④检验假设和运用解决问题的方法；⑤检验问题的解的分析解决的方法。前苏联马赫穆托夫的问题教学理论中也包括了一套十分完整的实施方法［2］。我国袁小明先生在参考文献［43］中，针对我国的实际，提出了具有“‘以教材为中心’选编问题；通过对教法的改革开拓问题的教育价值；注意解题的归纳与思维的训练”三个特征的“中国式问题解决教学模式”。(www.xing528.com)

5.5　问题解决教学的原则和教学建议

问题解决教学应该遵循的原则，可列举许多，比如贝尔在参考文献［42］中就提出了14条，如鼓励学生提问题、提问题、再提问题（第5条），创造一个解题的、轻松的、无压力的气氛（第9条）；从认知心理学的角度，问题解决教学应该充分注重教认知过程、教问题结构的形成、教模式再认、教问题解决的程序、教知识结构的形成、教能力倾向，等等［32］；参考文献［24］、［44］也提出了若干条问题解决教学的建议。

6　有待研究的若干问题

（1）在我国现行的教材体系和教学要求之下，关于数学问题解决的定位问题是一个首要前提。只有首先解决好这个问题，方能卓有成效地研究相关问题。当然这并不排除以改革的眼光仅从某一角度开展一些局部的探索。

（2）可以说到目前为此，我们还没有找到培养学生解决问题能力的行之有效、切实可行的对策，是否应该系统地开展问题解决能力培养的实验研究。为此，当然还要对学生解决问题能力的结构做静态的和动态的分析。

（3）数学应用题，乃至数学建模，对提高学生用数学的意识和能力尤为重要；数学探索性问题，对改善学生学习数学的兴趣和数学思维结构，乃至培养创造性思维能力的作用不可低估，所以都应该大力开展探索。

（4）通过课堂提问（包括口头提问和书面提问）设置问题情景，是我国课堂教学的一个薄弱环节，而这一环节直接影响着教学结构的优化和教学效益的提高，应努力尽快开展实质性的研究。

（5）心理学界和数学界也都研究这个问题，我们应该恰如其分、卓有成效地将他们的研究成果应用于数学教学的实践，但决不能牵强附会、生搬硬套。（6）笔者主张把“问题解决”作为一种教学形式，可望建立起问题解决教学的理论与实践体系。

参考文献

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【本文原刊于《中学数学教学参考》1997（10）】