强化数学语言训练！实验研究提升数学教学质量！

王工一

摘　要　本文利用对比实验方法，对强化数学语言训练，提高中师数学课教学质量的有效性进行了探讨。

关键词　实验　数学语言　教学质量　有效性

1　问题的提出

数学语言是一种特殊的科学语言，它是指一切用以反映表达数量关系和空间形式的语言。在中师数学教学活动中，数学语言表现为四种形式：①数学符号语言；②用来解释、联系数学符号语言的文字语言和叙述数学规律的文字语言；③图形语言，它是用图形来形象表达数学对象和数学关系的特殊符号；④实物（模型）语言，它是以实物（模型）来直观描述数学对象和数学关系的特殊语言。

数学语言是伴随着数学的产生而产生、发展而发展，各个时代的数学家、数学教育家和数学教育工作者都对数学语言有所关注，不少数学思维论、数学教学论、数学文化的专著对数学语言都有论述。不少数学教师对数学语言和数学教学语言都进行了理论上和实践上的探索，南京师范大学数学系的刘云章教授从符号学的角度对数学语言中的符号语言作了较为详细的论述^[1]；上海市徐汇区教育学院陈永明老师从逻辑和语法的角度对数学教学中的语言问题进行了分析^[2]。

但是，对数学语言的系统研究还是一块有待开垦的处女地，各种杂志上有关数学语言的文章也是凤毛麟角，目前中学生、中师生和中学、中师数学教师数学语言的掌握和使用情况都不尽如人意。1999年全国高考数学试题的第22题是以文字表述为主要特征的轧钢应用题，它的全国得分率理科不足15%，文科更是少于4%，属于超难考题。但江苏省泗阳中学张雪明老师从该题中抽象出数学模型：“①若a（1-b）k≤c（a、b、c都是正实数，且b小于1），求自然数k的取值范围。②若1600（1-0.2）k=Lk（1-0.2）4，求L1、L2、L3。”对高三年级某班54名同学进行测试，测试结果与原题在高考中的得分情况形成极大的反差，除一人因计算出错外，其余的53人全对。^[3]这说明了学生的阅读理解能力很弱，数学化能力差，虽然具有很好的数学“知识”，但面对高考中的“新面孔”依然无从下手，招致惨败，这实际上表明学生缺乏“文字语言”向“符号语言”转化的能力。

江苏常州市教研室的杨裕前先生对初中学习平面几何困难的学生进行了调查：初中学生认为学习平面几何最难的是：①几何概念、名称，占5.11%；②几何语言的理解和叙述，占28.7%；③看懂图形并回答问题，占12.7%；④讲清道理，占38.17%；⑤没有什么困难，占15.06%（其他占0.26%）。^[4]由此可见，语言障碍是学习平面几何的重要问题之一。

陕西师范大学数学系的李三平先生对初三学生学习数学的语言障碍也进行了调查，发现：①学生在识记方面存在一定的困难，对相近或相似的内容不能做出正确的辨析；②学生对数学问题的语言表述领会不深，缺乏语言间的转换能力；③学生对数学对象、关系和运算的语言概括尚有一定的困难；④学生在解题时不善于直接使用定义；⑤学生对非常规的语言表述很不适应。^[5]

数学教师掌握和使用数学语言的情况也不容乐观，王杰观、胡风玲老师在《加强数学语言的教学》一文中指出：他们“一年多来，先后听了68节数学课，据统计，有知识性错误的有38节，约占56%，其中由于数学语言使用不当而导致知识性错误的有22节，约占知识性错误的节次的58%。”^[6]

2000年11月份笔者在浙江杭州参加了全国教育科学“九五”规划重点课题：“开放题——数学教学新模式”课题组、杭州江干区教师进修学校、杭州市江干区教育局教研室等单位联合举办的全国中学数学开放式教学研讨会，会议有一项内容是请优秀数学教师上观摩课，结果也暴露了许多数学语言的问题，杭州市教研室副主任施储老师在评课中谈到：“两位老师上课中的最大问题，就是数学语言问题，每一堂课都有四五个使用数学语言不当的地方。”对此笔者也深有感触，作为在全国教育科学规划重点课题研讨会上上观摩课的优秀数学教师尚且如此，那么一般数学教师在平常的上课中的状况就可略见一斑了。

由此可见，提高广大数学教师和学生对数学语言的认识，使他们意识到数学语言的重要意义，尤其是意识到加强数学语言训练对提高数学课堂教学质量具有促进作用是十分必要的。

本研究利用对比实验方法，对强化数学语言训练，提高中师数学课堂教学质量的有效性进行了探讨。

2　实验的设计

由于本实验是结合教学实践进行的，故采用准实验设计。在具体研究组织上，为了防止“实验者期望效应”，实验在自然条件下进行，对学生不讲明实验目的。实验的教学内容为中师数学课本《几何》第一册（《立体几何》）。^[7]

2.1　实验变量的控制

实验教师的控制

为了排除由于教学能力不同而造成对实验结果客观性的影响，主试教师由笔者一人担任。

实验对象的控制

实验对象为浙江省衢州师范学校一年级两个平行班的全体同学，①班为实验班（强化数学语言训练班），②班为对照班，测前两个班学生学业成绩、作业优秀率和学习数学的兴趣均无显著差异。

实验投入的控制

两班的授课总时数、课外作业量尽可能保持一致，力求在规定的时间和精力内达到尽可能高的效果。

2.2　实验班强化数学语言训练的具体措施

2.2.1　咬文嚼字

要求学生在理解的基础上熟记重要的概念、公理、定理、性质等，剖析有关含有丰富数学语言特点的关键词。做到“咬文嚼字”，努力培养学生严谨的叙述表达能力。

比如在学习公理：“不在同一直线上的三点确定一个平面。”时，将公理中的某些词略作改动，得到下列命题：

（1）经过不在同一直线上的三点有一个平面。

（2）经过不在同一直线上的三点只有一个平面。

（3）三点确定一个平面。

（4）任意不在同一直线上的三点确定一个平面。

（5）都不在一条直线上的三点确定一个平面。

（6）任意两点都不在一条直线上的三点确定一个平面。

通过引导学生分析比较，判断出改动后的命题（1）只含有“存在性”，命题（2）只含有“惟一性”，命题（3）中的“三点”不能排除共线，命题（4）不够简练，去掉“任意”二字后仍然含有“任意”的意思，命题（5）、命题（6）则更是语法不通。从而让学生认识到“不在同一直线上”、“确定”这些关键词句的地位，体会到数学语言的严谨性。

2.2.2　注重知觉组织律

在教学中，注重格式塔学派的代表人物之一考夫卡（Kert Koffka，1886—1941）提出的五个知觉组织律：形——基关系律、接近律、相似律、共向律和简单律。

比如用知觉组织律的“形——基关系律”向学生说明，在《立体几何》中，为什么要用虚线来表示“看不到的部分”，而不能用实线，从而使学生不仅知其然，而且知其所以然：如图1（a）称为尼科（L.A.Necker）立方体，当注意一个面为“前面”时，可以感到是图1（b）那样的立方体；当以对面为“前面”时，则感到是图1（c）那样的立方体（图1）。这就是图形——“前面”与立方体——“背景”的对比不清晰时，意向在起作用。同样一个“刺激”——立方体，却引起了不同的“反映”——图1（b）与图1（c），是因为知觉场与人的意识互相作用的不同结果。为了避免“因人而异”，在《立体几何》中就必须作这番规定。

再比如，利用接近律，训练学生图形语言的准确性：“直线a在平面α上，直线b垂直于平面α，则a⊥b。”这个命题，若画成图2（b）则看不清各部分的字母表示什么；若画成图2（a），由于接近律的作用，题设一目了然。

2.2.3　有步骤有梯度地指导学生使用数学语言

图1

图2

指导学生进行有顺序的描述过程、概括结论、说明思路，把感性认识到理性认识的“上升过程”用语言这一方式加以体现，通过指导与训练为学生从“不会说→会说→善说”架起桥梁。

具体采取如下几种方式进行数学语言训练，以期促进学生思维品质的发展。

（1）仿述：即教给学生一种说话的模式，让学生仿造模式进行思考回答，培养学生思维的准确性。

（2）讲述：就是让学生讲思路，讲当堂课学到什么内容，增强学生记忆，培养学生思维的逻辑性。

（3）概述：就是让学生通过各种感知活动，对数学方法、规律等进行归纳小结，促进学生思维概括性的发展。

（4）扩述：是指导学生联想，通过一个条件说出与其有关的其他条件，培养学生思维的广阔性。（5）辨述：就是将错例呈现出来，通过争论来辨其错误所在，以培养学生思维的深刻性。

2.2.4　加强实物（模型）语言、图形语言的运用，弥补中师教材的不足

中师生学习立体几何感到困难最大的是将平面上的图形在头脑中立体化，解决这个困难的有效方法是加强实物（模型）语言、图形语言的运用。实物语言和图形语言的直观性，有时可以解决其他语言无法解决的难题，起到事半功倍的效果。

比如，“有一个三棱椎和一个四棱锥，它们的棱长都相等，将它们的一个侧面重叠后，还有几个暴露面？”这是美国的一道有83万人参加的1982年中学生数学竞赛试题。对这个问题，出题者和绝大部分考生都认为正确的答案是7个面。但佛罗里达州的一名中学生丹尼尔则回答是5个面，被评委会否定。结果丹尼尔自己做了一个模型验证其结论的正确性，并给出了证明，提出了申诉。最后在有关数学家再三仔细考虑以后不得不承认它是正确的。

丹尼尔就是从自己画的图形（见图3）中直觉地想到SV//AB，则S、A、B、V共面，同理S、V、C、D也共面。后来又用模型予以验证。

图3

但现行几何教材在这方面存在明显的不足，与国外几何教材相比有较大差距，在文章《我国现行高中几何教材的主要优点与不足》^[8]的启发下我做了以下对比统计：对比的一方是我国中师现行数学课本《几何》第一册（人民教育出版社，1993年12月第一版），另一方是美国ADDISON—WESLEY出版公司1983年版的GEOMETRY with Applications and Problem Solving（有着应用与问题解决的几何）课本。为具有可比性，我选取内容基本相同的部分，即《几何》第一册第三章“多面体和旋转体”与GEOMETRY的第12章“基本几何体”（Solids），加以比较。

《几何》第一册第三章共89页（32开），其中课文的插图共67幅；习题共157道，习题的插图共16幅。以上83幅插图中实物图有8幅，其余都是几何线条图，没有一张照片。

GEOMETRY的第12章共41页（大32开，每页所排文字量大抵与《几何》第一册相当），其中课文的插图共97幅；习题共167道，习题的插图共91幅。以上188幅插图中实物图有37幅，其中照片有12幅。

由此得到下面的对比表表1。

表1　对比表

从表1可以看出，我们的教科书对于课文插图、习题插图、实物图和照片等的使用频率低于GEOMETRY，而且两者差距较大。

除了上述数量上的差距外，在图的质量上同样存在着差距。我们的教科书所用插图都是黑白线条图，而且为节约版面，一般的图都占较小的位置；GEOMETRY的图既有黑白图又有彩色图，除线条外还较多地使用了网纹、阴影线等，因此图形的层次明显，立体感强，而且将图形都排在醒目的位置。

为此，在教学中（尤其是初学时），多增加实物（模型）语言、图形语言的运用，并且在使用图形语言时，尽可能地发挥彩色粉笔的作用。

2.2.5　突出数学语言“翻译”、转化的教学

经常抽出一定的时间，按一定的梯度，由易到难，进行文字语言、符号语言、图形语言和实物（模型）语言的互译训练。

同一个数学思想往往既可用文字语言叙述，又可用符号语言表达，有时还可用图形语言或模型语言表示出来。文字语言更接近学生的生活语言，而符号语言能使冗长繁琐的文字语言变得更简练精确，而图形语言或模型语言却能直观形象地表达文字语言或符号语言所提出的抽象数学模型。

如对于习题：“如果α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，那么a⊥α。”这道题目的数学思想是用符号语言表达的，抽象得令不少学生束手无策。若能提示学生把符号语言“翻译”成文字语言，并转化成图形语言，则有助于学生对题目的理解，并能清楚证法与步骤。

在数学教学中重视数学语言的相互“翻译”与转化，可以提高学生的理解能力，缓解学生惧怕数学语言的心理，又可培养学生运用数学语言能力及表达数学思想方法的能力。

2.2.6　重视教学反馈

利用控制论、信息论、系统论的有关原理，采取多种反馈，对于学生在反馈中表现出来的数学语言错误，给予及时彻底的纠正，直至真正理解掌握为止。

信息反馈能有效地调动学生学习积极性，当学生积极参加教学活动，所输出的信息得到应有的评价，他们就会从中获得求知的快乐，成功的愉悦，学习信心不断增强，学习动机得到强化。这是反馈的正效应。当然在教学过程中也会出现反馈的负效应。当学生积极参加教学活动，但输出的信息得到否定的评价时，一些心理承受能力较弱的学生会出现学习自信心减弱、情绪低落。教师在教学过程中要充分考虑和应用信息反馈的动机功能，对那些学习有困难的学生出现的负效应，要肯定其合理的、进步的因素，切忌讥笑、讽刺，以逐步培养起学习信心，鼓励他们不断努力学习。充分注意信息反馈的科学性和艺术性，想方设法将学生的反馈负效应转化为反馈正效应。

2.2.7　给每位学生建立数学语言学习的档案

档案主要包括三方面的内容：

（1）问题。对学生课内外反馈中表现出来的数学语言方面的错误，记录在案，适时地给予有的放矢的指导，以便彻底纠正错误。

（2）一题多解。鼓励学生分析解题思路尝试多角度。数形结合、化归、类比、归纳、抽象等数学思想方法落实到具体问题上往往其本身就是一个数学语言的转化过程，多角度分析问题意味着多种思想方法的应用，学生可以在一个问题中获得多种语言的体验，对一题多解者给予表扬。(www.xing528.com)

（3）创新。不论是口头表达还是书面表达，要在严谨、简洁、准确的前提下，“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”、“实物语言”等多种数学语言并用，鼓励不受常规表达所囿而有所创新，锻炼学生对数学语言的驾驭能力，丰富和完善其数学语言的内在结构，将创新内容记录在案，并予以推广。

2.2.8　把数学语言训练延伸到课外

把数学语言学习档案中带有普遍性的内容，交给科代表、班干部，让他们编成相声、小品小段，在数学晚会上表演，以加深印象；或整理成文，刊登在班级的黑板报上，让学生有更多使用数学语言的场所和机会，使数学语言的训练在课外得以延续和补充，寓数学语言训练于娱乐活动之中。

2.2.9　注重系统性

在各章节复习课上，通过归类、对比等手法，帮助学生形成语法的“网络”，在“网络”中理解个别词句，逐步使学生掌握的数学语言系统化。

对于对照班，教师仍按严格的数学教学语言授课，但不进行以上九个方面的强化训练，只要求学生能领会数学语言所表达的含义。

3　实验结果

3.1　学业成绩进步

在实验开始和结束前分别进行两次测验，测验试卷由非主试教师提供，实行教考分离。

表2　实验班与对照班学业成绩对比

由表2可以看出实验前两班平均成绩和标准差均无明显差异，实验后，实验班的平均成绩明显高于对照班，经差异检验达到非常显著水平。另外，实验班的标准差明显减少，说明实验班学生之间的成绩差异减小，整体成绩向均分聚拢趋势发展。

3.2　专业能力提高

本实验临近结束时，学校组织了“师范生基本功对抗赛”，其中有一项为“小学数学说课”比赛，比赛方法为每班先各自进行初赛，从各自的班中选出四名选手参加全年级的决赛（见表3）。

表3　两班学生说课决赛成绩比较

从表3可以看出，实验班的四位参加决赛的选手全部获奖（其中实验班的一等奖获得者为决赛冠军得主），而对照班只有一人获奖，实验班学生的专业能力明显优于对照班学生。

3.3　作业优秀率增加

作业的评比内容为正确率和清楚程度，计分方式为5分制，为了更简单明了，笔者将“5”分和“4”分归为优秀类，其余归为一般类，表4中的实验前作业成绩是指第一学期代数第一册的作业成绩。

表4　两班学生作业情况比较

表4显示，实验班学生作业的优秀率明显提高，经比率检验法检验，实验后实验班与对照班学生的作业优秀率存在显著差异（取α=0.05，Z=3.67＞1.96）。

3.4　学习兴趣有所加强

实验前后，笔者对学生学习数学的兴趣分别做了调查，结果如下：

表5　两班学生学习兴趣比较

从表5中可以看出，实验班学生学习数学的兴趣有所增加，说明学生从强化数学语言的训练中体会到“数学美”，同时由于学习成绩的提高使：“学习成绩好→学习兴趣增加→更努力学习→学习成绩更好→……”的良性循环开始运作，使学生自身有一种愉快的体验，从而内部强化得以实现。

3.5　教师能力得到提高

实验教师通过本实验的研究，自身提高了对数学语言的理解和认识，促进了教师科研能力和驾驭课堂教学能力的提高。实验教师有20余篇文章在多家报刊杂志上发表，本实验的部分成果曾在《数学教育学报》^[9]和《中学教研》（数学）^[10]上发表，产生了积极的影响。

4　分析与讨论

4.1　数学语言和数学知识

数学语言是一种特殊的科学语言，它具有准确、严密、简明、抽象的特点，这是与数学学科本身的特点相一致的，掌握数学语言是学习数学知识的基础。一方面，数学语言既是数学知识的重要组成部分，又是数学知识的载体。各种定义、定理、公式、法则和性质等无不是通过数学语言来表述的。离开了数学语言，数学知识就成了“水中月，镜中花”。另一方面，数学知识是数学语言的内涵，学生对数学知识的理解、掌握，实质是对数学语言的理解、掌握。德国数学家和哲学家莱布尼兹曾指出：数学之所以如此有成效，之所以发展极为迅速，就是因为数学有特制的符号语言。数学语言是数学科学与数学文化的结晶，是认识量与空间形式及其关系的有力工具。从这个角度说，数学教学就是传播数学语言，培养学生使用数学语言的能力，提高学生用数学语言分析和解决量与空间形式方面的问题的能力。一个对数学语言不能理解的人是绝对谈不上对数学知识有什么理解的，一个不会使用数学语言的人也称不上是一个真正懂得数学的人。因此，从一定意义上讲，掌握数学语言是学习数学知识的基础，数学语言教学是数学教学的关键。

另外，数学语言易于学生的数学知识系统化。学生获得的数学知识并不是散乱地储存在头脑中的，而是将数学知识按照一定的方式进行编码，组成一定的知识结构。各种知识也只有组成互相联系的知识结构以后，才能长期保持在头脑中，不被很快遗忘。学习新的知识也要以这些知识结构为基础去同化、顺应，这也就是奥苏伯尔所说的“认知结构”。所以知识结构组织得越紧密、越有序，就越有利于巩固知识，也越有利于学习新的知识。

由于数学语言具有简明的特点，它就易于充当知识编码的工具，从而有助于将数学知识紧密地联系在一起，形成知识的网络，比如学完《两角和与差的三角函数》一节内容以后，就可以用简明的数学语言画出图表，整理出整节知识要点，这样就显得简洁明了，容易掌握。

4.2　数学语言与数学思维

思维和语言属于两个不同的范畴，思维是精神，是语言的“内核”。语言是物质，是思维的“物质外壳”。没有语言，就不可能有人的理性思维；没有思维，也就不需要作为思维活动承担者的工具和外化手段的语言。数学语言是数学思维的工具，同时又是数学思维的产物，加强数学语言的训练，不仅不会影响数学思维的发展，而且还会利用数学语言这一数学知识的载体，促进数学思维，提高学习效率，可谓“磨刀不误砍柴工”，如果说，数学是思维的体操，那么，数学语言则谱成了“体操进行曲”。

4.2.1　数学语言训练是培养数学思维品质的良方

严谨缜密、具有高度逻辑性的数学语言是发展逻辑思维的“培养液”。数学课堂教学中，加强数学语言的磨炼，通过对学生有目的、有计划、有指导地进行数学语言的理解、运用的训练，促使学生的思维能力进一步发展。掌握数学语言，有利于思维品质的形成。数学语言的特点决定了数学语言对思维品质的形成有重要作用。严谨、准确是培养思维的逻辑性、周密性与批判性的“良方”；清晰、精练对培养思维的独立性与深刻性有特效。语言的准确性体现着思维的周密性，语言的层次连贯性体现着思维的逻辑性，语言的多样性体现着思维的丰富性。同时学生思维能力的提高又能促进学生数学语言的精确、规范、条理化，提高数学语言表达的严密性、灵活性。

4.2.2　特殊地位的符号有特殊的暗示作用

在数学题题设条件中，字母符号所呈现的各种特征，可以暗示着解题思路。特别地，在题设条件里地位相同的未知量暗示着它们在解答中的地位也相同。根据这个原理在很多时候能使我们预测到问题的解，或者发现解题途径。当然，其理由是不充足的。人们把这样的原理称为“不充足理由律”。“不充足理由律”特别适用于对称性，数据和条件的对称性往往在解题里得到反映。在某种程度上，“数据和条件里的对称性”不仅仅被“求解对象”所反映，而且也为求解过程所反映。人们把这种原理叫做对称性原理。

例　已知四面体P—ABC的六条棱长之和为1，并且∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，试求它的最大体积（美国第五届中学数学奥林匹克竞赛题）。

根据题意，有

不难看出，式（1）、式（2）都是a、b、c的轮换对称式。这种对称性，使得a、b、c在求体积最大这个问题上所起的作用是相同的。根据不充足理由律，我们可以预测，当a=b=c时，体积最大。

我们由式（1）、式（2）先求出当a=b=c时四面体的体积。

这时

下面只要证，就证实了我们的猜想。

要证，只要证

由于，因而只要证

上式的确是成立的，这是因为

所以我们的猜想得到证实。

4.2.3　数学语言可以约简思维，促进思维“机械化”

数学家怀特海曾说过“一个良好的标记法，使头脑摆脱了不必要工作的负担和约束，使它集中于先进的问题，这就在事实上增加了人类头脑的能力。”在数学中，问题的陈述、推理的过程以及定量计算，都运用简明的数学语言，大大简化和加速了思维的进程，促进思维“机械化”，思维的经济原则在数学中得到高度的发挥。韦达引入代数符号体系以后，代数的中心问题——解方程问题就有了固定的程式，或者说有了机械的法则。吴文俊先生研制的几何问题的机器证明方法，也是借助于数学语言，先把几何问题化为代数问题，再把代数问题化为代数恒等式的检验问题，从而使只认识“0”、“1”两个字符的计算机可以完成复杂的几何问题的证明，实现了真正意义上的数学思维机械化。

4.3　数学语言与师范生的综合素质

数学语言是严谨的，“差之毫厘”，将会“缪以千里”，要掌握数学语言，必须经过严格、刻苦的训练，来不得半点马虎大意。所以在数学教学中进行严格的数学语言训练，可以培养学生认真、严谨、有条不紊的工作、学习习惯，磨炼他们的意志，寓德育于数学教育之中。

在中师数学教学中，强化数学语言的训练，不仅有利于学生对数学知识本身的掌握，而且在训练的过程中，也培养了学生的胆量，帮助学生顺利地将内部言语转化为口头语言或书面语言，倒出“茶壶中的饺子”，从而提高课堂教学语言的表达能力，可谓一举多得。

4.4　进一步需研究的问题

严谨和开放并不矛盾，它们只是事物的不同方面，不能将它们对立起来，没有绝对的严谨也没有绝对的开放。在教学中必须“两手都要抓，两手都要硬”，走极端肯定会误入歧途。片面强调数学语言的严谨性，重视文字游戏，脱离数学的本质，比如：“5×3=15，非得读成5乘以3等于15，读成5乘3等于15就不行。”这就成了笑话。过分强调形式化会影响学生创新能力的发挥。逻辑化、形式化是数学的特点，却不是数学最本质的特点。“数学中的重大事件几乎都不是逻辑的派生物，至少不全是逻辑的派生物。”^[11]数学直觉、数学灵感、数学顿悟在数学的每一次进展中起着更为重要的作用。但片面强调开放性、发散性，丢弃逻辑推理、舍弃数学的严谨性、简洁性，同样是不可取的。所以，如何确定强化数学语言训练的“度”？这是一个需要进一步探讨的问题。

另一方面，在数学教学中，教师的言行会对学生产生十分重要的影响，“上梁不正下梁歪”。但令人遗憾的是现今中学、中师数学教师的数学语言掌握和使用情况并不如人意。所以如何提高在职教师的数学语言水平也是一个有待研究的课题。

最后需要指出的是，数学需要自己特定的语言，严密、精确、完整而且相容。随着数学抽象程度的提高，语言表达的严密性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但中等数学教育当然不可能一下子飞跃到数学发展的最前沿，以形式化的现代数学内容，充塞于各种教材、课程之中。因为教育必然有一定的滞后性，学生的生理、心理发展规律，也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础，可是最终应该达到的目的是，使学生理解现代数学这一特定的数学语言表达的形式体系。这就要求分阶段、分层次地对学生进行数学语言训练，使他们掌握不同层次的形式化，运用不同水平的数学语言。因此，如何系统地制定整个数学教育过程中，各个阶段的数学语言掌握标准及其相应的训练方法也是一个需要进一步探讨的问题。另外，本实验试验的范围较小，时间较短，还有待在今后的实验中加以改进。

参考文献

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8　苗东升.系统科学原理［M］.北京：中国人民大学出版社，1990

Abstract

This article makes use of contrast experimental method and approaches the effectiveness to improve the quality of the class in mathematics by strengthening exercises of mathematical language.

Key words

experiment、mathematical language、teaching quality、effectiveness.

【本文部分内容原刊于《数学教育学报》1999（4）】