班级平均成绩与全校平均成绩的比较结果

研究课题1：评价教学效果

张老师是一名刚参加工作的青年物理教师，在某中学负责讲授高中一年级（5）班物理课程，期末全校物理统一考试，高一5个班的物理平均分μ0=50分，标准差σ0=10分，其中（5）班有41名同学，物理平均分=47.5分。根据考试结果：μ0＞，学校领导认为张老师的教学效果低于学校的平均水平，而张老师不同意学校的看法。

问题：怎样科学地评价张老师的教学效果呢？

●课题分析

从表面上看，（5）班平均成绩为47.5分，低于全校平均分，但是并没有任何其他科学依据说明该班真实水平低于全校平均分。由于一个班的平均成绩具有统计意义，故存在抽样误差，其平均成绩是在一定范围内波动的。假若再进行一次考试，也许该班成绩又比全校平均成绩高了。因此，该班的真实水平（用μ1代表），比全校平均成绩是高还是低需要用差异的显著性检验。经过检验，如果所得差异超过统计学所规定的某一误差限度，则表明这个差异已不属于抽样误差，而是总体上确有差异，反之，若所得差异未达到规定限度，说明差异主要来源于抽样误差。

假设检验的基本思想是先建立一个假设H0，然后在此假设成立的条件下，看看会产生什么样的后果。在正确的逻辑推理和数学的分析计算下，如果导致一个不合理的现象出现，就表明原先的假设H0是错误的，应予以否定；如果没有出现不合理的现象，那就没有充分的理由否定原来的假设，此时称原假设H0是相容的。

什么样的现象叫做不合理现象呢？人们在实践中都承认这样一条原则：小概率事件在一次试验中基本不会发生。如果在一次试验中小概率事件竟然发生了，我们就认为这是不合理的现象，这就是所谓的“小概率事件实际不可能原理。”

在统计中，把概率小于或等于0.05的事件叫做小概率事件，即它只有5%可能发生的机会。小概率事件的概率一般用α来表示，通常取α=0.05或0.01。在假设检验中，原假设H0是否真正成立，是与α的大小有关系的。我们称α为显著性水平或信度，1—α称为置信度。

综合上述研究课题，全校平均成绩可以看成是一个正态分布的总体，每一班成绩可以看成是从总体中随机抽样的样本，采用随机抽样的方法，每次从这个总体中抽取n个学生为一个样本，计算出它的平均分，然后将这n个同学放回总体中，再次随机抽取n个同学，又可计算出一个，这样如此反复，可计算出无限多个，这无限多个平均数是如何分布的呢？理论和实验都可证明，这无限多个平均数的分布为正态分布。样本平均数的分布（平均数、标准差）与总体的分布有如下关系：

其中，为样本平均数分布的平均数，为样本平均数分布的标准差，μ。为总体分布的平均数，σ0为总体分布的标准差。

假设H0：样本的真实水平μ1等于总体的平均水平μ0，即μ1=μ0，如图5-1所示，为从总体抽取的任意一个样本平均数，它可能大于μ0也可能小于μ0，但只要没超出左右两个临界线落到阴影区，与μ0的差异就被认为仅由抽样误差所致，或者说与μ0的差异不显著，这时就不能推翻假设H0∶μ1=μ0。如果两端的阴影区面积很小（仅占全面积的5%），而却落到阴影区，亦即很难发生的情况（小概率事件）出现了，那么假设H0就有充分理由被否定，或者说与μ0的差异显著。

图5-1　假设检验原理示意图

●计算方法

第一步：假设H0：μ1=μ0=50，即（5）班平均成绩与全校平均成绩相同。

第二步：计算统计量Z

第三步：查Z分布表，找临界点。因为（5）班真实水平（即μ1）比μ0是高是低不知道，因而需要用双侧检验。若显著水平α定为0.05，zα/2=1.96。

第四步：作结论。

因为|Z|＜Zα/2，所以小概论事件未发生，接受H0假设，即（5）班真实水平与全校平均水平一致，无显著性差异。说明学校对张老师的评价是不科学的。

需要解释的是上述检验结果具有统计意义，而非绝对结论。显著性水平α为0.05，置信度1-α为0.95（95%），即上述结果具有95%的可靠性，或者说，如果学校组织100次统考，由于抽样误差的存在，（5）班成绩将有95次平均分在50±（1.96×1.562）范围之内（抽样误差允许范围）。

●公式适用范围

（1）严格地讲，上述公式只能在总体为正态分布，且总体标准差σ0已知的条件下使用。

（2）当总体标准差σ0未知时，原则上应选用t检验（见研究课题2），但只要样本数n≥30，可以直接用样本标准差s代替总体标准差σ0，可近似使用Z检验公式。

（3）在心理学和教育学领域中，大部分连续变量（如学生成绩），在总体上都可以看成正态分布，所以在Z检验（或t检验）前不需要对总体是否正态分布作严格检验。如果有理由认为某一变量的总体不是正态分布，原则上是不能进行Z检验（或t检验）的，但当n≥30，可以近似地使用Z检验公式。(www.xing528.com)

综上所述，在平均数的显著性检验中，只要是大样本（总体标准差已知或未知均可，正态分布与否均可）或方差已知的小样本都可以使用上述Z检验公式。

研究课题2：评价演讲比赛对学习成绩的影响

王老师在某大学担任全校5个班的英语课，为了研究英语演讲比赛对学生英语学习成绩的影响，选定（1）班同学进行试验。每次她给（1）班上课占用10分钟时间让学生进行英语演讲比赛。一学期后，全校期末英语考试平均成绩为78分，（1）班15名同学考试成绩如下：75、68、72、89、86、78、91、92、79、83、88、90、85、77、82。

问题：怎样评价学生演讲比赛对英语学习成绩的影响？

●课题分析

（1）本课题同课题1比较，样本［（1）班学生］的平均数与标准差未知。需要利用下述公式计算平均数和标准差。

公式中∑Xi表示所有数据的和，

（2）总体标准差σ0未知时进行样本平均数与总体平均数差异的检验，其基本原理与总体标准差已知时相似，所不同的是，由于总体标准差σ0未知，要用样本的无偏估计值sn-1来代替：

（3）由于总体标准差σ0未知，不满足Z检验的适用条件，应选用t检验：

由上述可见，t分布与σ0无关而与n-1（自由度）有关，t分布的自由度（用df表示）一般为n-1，t分布与正态分布相似，当n很大时，t分布与正态分布一致，如图5-2所示。

图5-2　标准正态分布与t分布

●计算方法

第一步：假设H0：μ1=μ0=78，计算样本的平均数与标准差。

第二步：计算统计量t。

第三步：查t分布表，找临界点。因为演讲效果的好坏事前并不知道，因而需要用双侧检验。若显著水平α定为0.05，查t分布表（双侧）df=14，t0.05/2=2.145。

第四步：作结论。

因为|t|＞tα/2，所以小概论事件发生了，否定假设H0，即（1）班成绩与全校平均成绩有显著差异。说明王老师的英语演讲比赛实验是成功的，演讲对学生英语成绩有促进作用。

●公式适用范围

（1）t检验适用于总体为正态分布，总体标准差未知时（不管样本n的大小）。

（2）由于某种原因当n→∞时，t分布接近正态分布，因此在实际中，当n≥30时，即使总体标准差σ0未知，也可近似应用Z检验：而n＜30时则必须用t检验。故Z检验又叫大样本检验方法，t检验又叫小样本检验方法。

（3）当总体为非正态分布，且n＜30时，不符合近似Z检验的条件，严格地讲，此时也不符合t检验的条件，这时的检验只能用非参数方法或数据转换法。