中学数学教学研究：培养创新思维的路径

数学是一门重要而应用广泛的学科，被誉为“锻炼思维的体操”和“启迪人类智慧的催化剂”。数学是否是通过发现或创造产生的？或者说，在什么程度它是作为科学产生的，在什么程度上是作为艺术产生的？可以看出，数学本身就含有一定的创造性。因而数学教学作为一种特殊的认识和实践活动，也表现出了它的特殊性。从认识的角度来看，它具有认识对象的特殊性、认识目的的特殊性、认识条件的特殊性和认识任务的特殊性；从实践的角度来看，它又具有实践目的的特殊性、实践环境的特殊性、实践过程的特殊性和实践方式方法的特殊性。弗赖登塔尔说：“在教的过程中，我很早以前是选用创造的，创造既包含了内容又包含了形式，既包含了新的发现又包含了组织。”创造，照弗赖登塔尔的解释，是学习过程中的若干步骤。而且，他认为学生在数学学习过程中或多或少地进行了创造，正如他早就解释过的那样，数学是不同的，既然一个聪明的年轻人能再创造出许多他自己的数学，那些不太聪明的年轻人为什么就不能在别人——成年人或他们同龄人的帮助和指导下也这么做呢？学生的数学学习是在教师的指导下，获得数学知识、技能和能力，发展个性品质的过程。数学学习中的发现是经过教师教学加工的再发现过程，是对人类发现过程的一种体验。创新精神和创新意识的唤醒，应该成为数学教学的一个重要目标。

（一）数学教学的过程性和创生性

对教学的内涵真正的领悟，应从多方面、多角度进行观察和思考。从教学活动的性质来观察，教学过程本身就是一种特殊的认识过程，这个过程是在教师的引导下学生获得知识的一种实践过程；从教学活动的任务来观察，教学过程是为了在促进学生的全面发展和富有个性的发展中，使学生增加知识、提高能力、丰富情感；从教学活动的主体来观察，是双主活动，即教师的主导和学生的主体，并在双主活动中不断推进；从教学活动的要素来观察，主要有三个要素，即学生、教师和教材，教师与学生借助静态的文本来实现教学目标的落实；从知识加工的角度来对教学活动进行理解，我们可以看到知识首先要经过教师的消化、加工和组织，再经过教师的诠释，达到学生知识的增加。教学活动是师生双边互动、共同发展、共同进步的一种活动，是一种引导学生积极主动学习，自主知识建构，不断追求创新以实现自我价值的过程。

1.数学教学的过程性

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在教学建议中对数学教学提出了六条建议，其主体思想是，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师的指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。在数学教学中，引导学生实践、思考、探索、交流，其本身就是一种过程性的活动。只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时，才能真正懂得数学、学好数学，而让学生经历数学化、再创造的活动过程，正是为学生的感受、体验和思考提供了有效途径。国际21世纪教育委员会向联合国教科文组织提交的报告中指出，面向21世纪教育的四大支柱是学会认知、学会合作、学会生存、学会做事。在数学教学中，我们也应体现这四个方面的要求，利用数学科学的特点，努力促进学生的发展，有意识地通过数学知识的学习过程，使学生感悟数学的思考方式，要通过数学推理过程培养学生说理、批判、质疑、求真求实的理性思维和理性精神；通过数学问题的解决培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，进而发展学生的应用意识和创新精神。我们在数学教学活动中要以发展的观点来认识和进行基本知识和基本技能的教学，以及在解决挑战性的大的问题时培养学生克服困难的顽强意志和锲而不舍的精神，以适应未来社会对人才培养的要求。我们的学生在未来的人生历程中，即使有很多人不是以数学为事业，也不从事数学或数学教育的工作，会忘记具体的数学内容，但是数学留给他们的思考方式，留给他们的精神和态度、意识和观念，将使他们终身受益，使他们学会认知学习、学会合作、学会生存、学会做事，为促进他们的终身学习和终身发展奠定良好的基础。

（1）数学教学是对话交流的过程

数学对话教学强调以对话的形式展开数学教学过程，强调数学教学中师生的民主平等。教学活动中的教与学是教育者与受教育者在社会交往中形成的一种特有的社会现象，是一种沟通与合作的现象，对话教学是一种尊重师生双方主体性的教学形态，是一种尊重主体性、体现创造性、追求人性化的教学活动。在师生之间的数学教学中，自古以来就有以对话为形式的历史先例，没有对话与交流就不可能有教学。著名的Cockcroft报告最早提出了要对数学进行教学的原因之一就是要让学生学会使用数学，将数学作为一种交流信息的手段。从20世纪90年代开始，美国NCTM就把数学交流列为K-12年级的数学教学标准之一；我国2001年颁布的义务教育数学课程标准，以及2003年的普通高中数学课程标准都关注了数学的交流。数学课堂教学中的师生对话是数学交流的一种重要方式。在数学教学中，师生对话是相对于教师在课堂教学中的对知识的控制和单向传递而言的，希望能以师生互动、生生互动的形式进行数学学习，以数学交流为本质的教学形式。师生对话交流的教学早已有之，中国的孔子和古希腊的苏格拉底堪称鼻祖和典范。孔门一直有对话的传统，孔子及其弟子通过展开立足于现实生活的、真诚的对话，引导学生对社会现象、教育规律等方面进行深入理解，在彼此启迪的过程中完成对学生数学素质的养成和知识的传递。对话教学是一种培养师生生成性思维，体现教学创造品质的教学形态，是一种旨在解放师生、追求生命意义的教学形态，因而在数学课堂内要鼓励教师与学生、学生与同伴间的对话。对话仿佛是一种流淌于人们之间的意义溪流，它使所有对话者都能够参与和分享这一意义之溪，并因此能够在群体中萌生新的理解和共识。在学生之间的对话中，学生要能够提出自己的观点和主张，并能够有效地与其他同学进行交流。学生之间的对话是一种民主和平等的关系，是交流与合作的关系。数学本身就是一种语言，而且是语言的语言。由于大量的数学符号往往使得数学被认为是一门难懂而又神秘的科学，我们不了解符号的含义，那就什么也不知道。所以学生数学学习之间的对话不能只停留于简单的经验和观点的交流上，必须产生观点碰撞和引发问题，否则就不能引起思维上的变化。除了数学语言和符号，数学还有一个很重要的特征就是数学推理。数学证明是数学推理的一种表现形式，数学证明不仅是从对话形式发展而来的，而且要得到数学共同体的确认也必须要使用这种对话形式。所以，数学的对话性是以各种不同的方式渗透到数学的学习和数学的理解之中。数学教学活动中，角色的对话关系创造着各种主体的复杂的角色关系，强调师生精神的相遇和经验共享，强调以开放、探究、猜测、验证、反驳等方式在经验共享中创新知识和形成能力。

（2）数学教学是师生活动的过程

教师的数学教学行为和学生的数学学习活动是交织在一起的，在教学实际中是不可分割的。数学教学活动应是师生的数学活动的互动过程，无论是让学生经历数学化、再创造过程，还是帮助学生构建和发展数学认知结构，都需要师生进行交流和沟通。自20世纪以来，随着现代认知心理学的产生和发展，人们更为深入地了解和认识了数学教学的实质，认为每一个学生在数学的学习中都积累了自己的数学知识、基本技能和数学活动经验，都有着自己独特的思维方式和解决问题的策略。在教学和教育过程中，把个别对待学生的各项任务做出妥善安排也十分重要。学生有意义的数学学习不是一个被动接受数学知识并强化储存的过程，而是根据个体原有的数学知识处理各项新的学习任务，通过同化和顺应等心理活动和变化，不断地构建和完善数学认知结构的过程，而所有这些都是个体在数学活动中完成的。由于每个人的知识背景不尽相同，数学课程标准要求通过丰富的实例，针对不同的学生把数学建模、数学探究等活动安排渗透在数学教学活动的方方面面，其目的之一，就是帮助学生个体构建和发展数学认知结构。

在师生的互动活动（这种互动包括教师与学生间的互动和学生与学生间的互动）过程中对数学教育教学进行反思，我们发现传统意义上的数学教学强调的是知识的传授、技能的训练。教师在数学课堂上的教学方式基本上是“灌输式”，学生的数学学习基本上是在课堂上听教师讲例题、模仿教师的解题方法，对不易理解的部分就死记硬背，在数学解题和考试时就是再现教师在数学课堂上传授的知识。由此我们可以看到，数学教学活动成为一个学生被动接受数学知识、强化储存的过程，缺乏师生之间、生生之间的交流沟通，忽视了学生在数学学习过程中的主体性。对于抽象程度很高的数学学习来说，这样一种数学教学活动导致的一个直接结果就是扼制了学生学习数学的积极情感，使学生觉得学习数学枯燥无味，畏惧数学学习，或越学越没有兴趣，认为数学就是做题，数学没什么用处，这就导致了在客观上学生的主体参与缺乏是由于教师的控制太多，而且在主观上也让学生缺乏主体参与的意向，学生需要在数学活动中通过互动、通过交流中的思想交锋来激活数学思维、建构他们的数学知识，因此我们强调师生互动的数学教学活动是对数学学习本质的认识不断深化的必然结果。为此，教师要设计一系列具有可操作性且能体现数学内涵的活动。数学高度抽象性的特点，造成了数学的难懂、难教、难学，这就更需要学习者的感受、体验和思考过程，数学教学不是简单的数学知识灌输或是知识移植的过程。如前所述，真正的数学教学过程应当说是学习主体（学生）、教育主体（教师）和环境交互作用的过程。

以学生的发展为中心的教学代表着教育学及教学论的一种发展趋势，在教师指导或引导下的学习活动中展开数学学习也不例外，只是由于数学科学高度抽象等特点，使得数学学习活动在学科的特点下具有自身的特殊性。数学课程标准充分注意到了这一特殊性，要求教师引导学生用具体的实践活动和内心的体验来学习数学知识，只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时，才能真正懂得数学、学好数学。数学教学的辩证法就是，教师和学生是教或学的中心人物。因此，我们必须从教与学的关系、教育者与受教育者的关系出发，让学生经历数学化、再创造的活动过程。再认识与再创造对学生来说，也是一种创造的方法来学习数学，同时也为学生的感受、体验和思考提供了有效的途径，让学生置身于适当的学习活动中。学生从自己的经验和认知基础出发，在教师的指导或引导下，通过观察、实验、归纳、类比、抽象概括等活动，用数学的思想与方法去组织、发现或猜测数学概念或结论，进一步去证实或否定他们的发现或猜测。通过这种数学化、再创造的活动过程获得的数学知识，与被动接受、强化储存获得的数学知识相比，效果是不同的。在经历数学化、再创造的活动过程中，能使学生更好地感受、体验，从而更好地建立起自己的数学理解力，更好地认识、理解和获得抽象的数学概念、结论。

教师在实际的数学教学过程中应当通过教学意图和策略等影响学生，把学生作为沟通与活动的主体，使之成为数学学习的主体，通过与学生的沟通和活动展开教学活动，应帮助学生构建和发展数学认知结构。如果我们把数学课堂中的每一个提问看成一个教学片段的标记，那么这样一堂课就可以看成由这若干个连续的片段构成的。在每一个教学片段中，讨论的数学话题都是由教师或学生引发的，那么我们就把每一次引发看作一次教学活动，在每一个教学活动中应充分考虑教师与学生的数学活动，教师起到什么样的作用，是如何做好一个组织者、合作者和引导者的角色的？学生在教学活动又扮演了什么样的角色，是否有主动的交流互动、主动的数学思考？数学教学活动中的教与学不仅形成了教师与学生之间的关系，也形成了学生与学生个体之间的关系、教师与学生群体之间的关系、学生与学生群体之间的关系等多重的网状结构，数学教学活动就是在这种网状结构中展开的，教师与学生的关系也是在数学学习活动沟通中的相互作用关系，教育者与受教育者也形成了交互主体性的伙伴关系。

在数学教学中，师生双边活动的过程既不能看作以教师活动为主的“教师中心论”，也不能看作以学生活动为主的“学生中心论”。尽管“教师中心”或“学生中心”是分别从教与学各自的侧面提出的两个命题，在某种意义上讲各有其存在的理论与根据，钟启泉教授认为，这两个命题是二律背反、不能两立的命题。他认为在中国教育界流行的所谓的教师主导、学生主体的观点，是在调和教师中心论和学生中心论这两种对立观点的对抗，其实这并没有从根本上解决问题，只不过是换了一种说法。要超越这两个命题，就得有这两个命题的媒介，即第三项命题。克林伯格基于上述考虑，提出了教学“三段论”，作为解决这两个命题的媒介，即教师指导作用的原理、学生的自主性原理以及教师的指导作用与学生的自主活动的地位是一种教学现象的两个侧面。克林伯格认为，教学是由教师指导的过程，学生必须处于能动的、愈益自觉的学习主体的地位，他们可以作为教学现象的矛盾关系加以分析和把握，而这种矛盾关系是不断生产、否定、再生产的，这就是教学理论的基本性质。因此，为了帮助学生构建和发展数学认知结构，教师在数学教学中必须鼓励学生积极参与数学教学活动，包括数学思维参与和行为参与，这需要在教师的指导和引导下，让学生在心理上、实践上投入，通过思考与猜想、假设与反驳、讨论疑难问题、证明、发表不同意见等方式，通过同化和顺应等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构，把客观的数学知识内化为自己认知结构中的成分，这些都是对数学教学本质认识的深化和发展。教学过程的中心既不是单纯的学生，也不是单纯的教师。无论是让学生经历数学化或再创造过程，还是帮助学生构建和发展认知结构，都需要在师生的互动中进行，在师生的互动中完成。当教师以学生的主体地位为前提进行指导时，当学生是在教师的引导下对数学知识进行理解时，当师生双方在知识的学习中进行碰撞时，这样的教学才称得上师生活动的过程。

（3）数学教学是倾听思考的过程

在知识的形成过程中，教师要关注学生的生命价值，充分考虑学生发展的各种需要，精心设计各种活动，给学生以自主支配的时间和空间，尊重每一个学生个体，关注他们在课堂教学中的活动与思考，关注学生对数学的理解。学习的第一种对话实践，是同客体的对话；第二种对话实践，是跟自己的对话；第三种对话实践，是在同他人的沟通这种对话的社会过程中实现的。教师要求学生掌握数学知识或方法的时候，不能只让学生感知数学知识之间的浅层的联系，而应准确把握它们之间的内在本质联系，让学生形成一种建构意义上的链式结构，在实际的数学教学活动中要关注学生对数学的真正理解，学生才能在数学活动中掌握数学思考的基本方式和数学思考的基本方法。没有倾听，就没有真正的数学教学；没有思考，就没有真正的数学学习。

数学倾听能促使或推动再发现可能性的提高，数学是一门科学的语言，它是对生活语言的进一步加工和提炼，是一种抽象的专业语言。这就决定了数学倾听的内容不能像生活中的其他倾听内容那样容易被倾听者捕获和吸收，它需要我们有意注意的参与。另外，数学倾听的内容往往具有涵盖知识点多、语言表达形式（如文字语言、图形语言、符号语言、形态语言、肢体语言等）多样、问题呈现方式抽象、处理问题方法灵活、问题各部分内容联系紧密、信息处理量大、问题处理时间较长、话语信息转瞬即逝的特点。因此，在数学课堂中，教师创设有利于新知识学习的各种情景，贴近学生的最近发展区，设置恰当的问题情景，适时提问学生等，这些活动能够通过学生的倾听对学生产生某种暗示。当问题出现时，学生就会迅速地觉察到，然后就会调动他们的有意注意，选择相关的信息加入听觉系统，再将信息由听觉系统送入大脑，使这些知识与自己的认知结构发生相互作用，完成再发现的过程。

从教育学的角度看，倾听是一种学习态度，是一种学习方法，是一种文化修养，是人们获取知识、增长智慧的手段。数学教学是数学语言文化与数学沟通文化的创造过程，倾听是这种创造过程得以完成的重要保证。师生在教学活动中的这种交互主体性关系是通过教师教学的风格加以贯彻和达成的，生成性思维的欠缺一直是制约师生及教学发展的瓶颈。教师的教学是个性化的，是和教师个人的特性紧密相连的，因此在数学教学的过程中，教师与学生都应在真诚倾听中言说，在言说中真诚倾听。数学倾听对学生而言，是学习数学的一种态度、方式、修养，是获取数学知识的重要途径，是一种数学思维过程与信息加工的过程。它能够检测学生学习数学知识的效果，帮助学生调整学习思路、改变学习策略，是丰富学生精神世界的一种方式。对数学教师而言，数学倾听是教师对课程的教学思路进行调整与内化的过程，是丰富教学视域的一种方式。专注于倾听是一种教学艺术，用心去倾听学生的表达、解释、分析与思考，特别专注于倾听学生的思维过程，能够帮助教师对教学效果进行诊断。会倾听、能倾听、善倾听是一种教学理想，没有倾听，师生中流动的思想将失去联系。

长期以来，我国的教学一直在实体性思维的模式下，并因此影响了师生的思维模式。所谓实体性思维，就是把知识看作客观存在的真理，教学就是引导学生对客观真理的认识，是单纯的求知活动。生成性思维就是强调教学是师生以内在体验的方式参与教学过程，教学过程本身就是师生创造生命意义的生活过程。要给学生提供思考的时间和方向；不仅要求教师提出能够激起学生思考的问题，还要能激励学生自己提出问题；教师不是提出一些低层次的、结果性的、收敛型的问题，而是要提出一些较高层次的、过程性的、发散型的问题。此外，在师生之间的对话中，教师还要当好倾听者的角色。没有倾听，对话将不复存在。教师在课堂教学中，应充分让学生表达自己的观点，需要转变固有的教学思想和方法，虽然这种转变有一定的困难，是对教师的一个挑战，但我们必须尝试着从帮助学生发展出发去实践，并逐渐地成为一种自觉的教学行为。在促进学生有意义的数学活动中引导学生倾听和思考，同时通过对话与多种方式的交流，在思想交锋中激活学生的思维，使学生主动地参与到数学教学活动中。

2.数学教学的创生性

数学教学是一门创造性的艺术。它是教师在数学教学活动中，以富有审美价值的独特的方式方法，创造性地组织教学，使教与学双边活动协调进行，使学生能积极、高效地学习，使学生感受数学知识的内在美。学生在数学教学活动中的状态，包括他们的学习兴趣、积极性、注意力、学习方法、思维方式、合作能力与质量、发表的意见、建议、观点、提出问题与争论等。无论是以语言还是以行为情绪方式的表达，都是教学过程中的生成性资源。在生成性教学观下，数学教学具有一定的不可预见性，既不能完全由教师单方面决定，也不能都在课前教学设计中预料到。课堂教学过程的真实推进是由师生通过讨论、质疑、启发、对话、反思、探究等共同完成的。从某种意义上讲，它是由师生在教学过程中现编、现导、现演的，具有较强的非预计性，这种不可预计性正意味着教学创造的可能性。在教学中，通过教师与学生个体或群体之间的互动性参与，通过学生个体、群体之间的多向互动的参与格局，使师生之间、生生之间分享经验和认识，交流情感和体验，拓展眼界和视阈，并最终使得教学成为立体交叉式的网状结构。

（1）数学教学的创造性

数学学习是创造性的思维活动。数学具有逻辑的严谨性，当它以尽可能完美的形式表现出来，呈现在学生面前时，已略去了它发现的曲折过程。学生看到的只是概念、公式、法则以及由它们组成的演绎体系，而看不到这些知识的发生发展过程，这给学生数学学习的再发现带来了困难，所以数学学习中的再创造较之其他学科要求要高。数学学习是一种创造性的思维活动，数学学习的特点对数学教学活动的艺术性质必然提出相应的要求。教师应通过自己的创造充分发挥教学活动的感染力量。创造性是数学课堂教学的生命力。数学教师只有寻找最优的教学活动方式，组成最优的教学结构，建立协调一致的教学方法群，去开拓教学效果最优化的局面，才能达到最理想的教学效果，使之具有艺术魅力。数学课堂教学艺术的创造性表现在教师对教学原则、方法的选择、运用和独特组合上；表现在教师善于捕捉教学中各种因素的细微变化，迅速机敏地采取恰当的措施，如巧妙地利用一些突发事件，或者创设新的情境把教学引向深入，或巧妙地化消极因素为积极因素，使课堂教学收到意想不到的效果等。

由于数学教学是一种创造性的劳动，数学教师就应通过自己的示范使学生体会到工作和学习的内在乐趣。一个好的数学教师要通过自己的教学使学生受到强烈的感染，从而激发他们对数学的兴趣和热爱，激发对美的追求。教师应通过自己的创造，使数学教学过程成为对数学美的反映过程。数学从表面上看是枯燥乏味的，然而却具有一种隐蔽的、深邃的美，一种理性的美。数学美是数学科学本质力量的感性与理性的显现，是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现，是一种真实的美，是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。

教师在教学过程中要自觉地把数学美反映出来，并不断地感染学生，不断地给学生以美的熏陶和训练。不仅给人以新颖奇异之感，而且使人深切地感受到数学的和谐美。教师应通过自己的创造，为学生展现出活生生的思维过程。由于数学学科抽象、严谨的特点和数学学习的再创造的要求往往比其他学科还要高，数学教材并不能完全适合学生对数学问题的理解。因而数学教师在阐述相关的数学问题时，应努力将抽象的概念具体化，深奥的哲理形象化，枯燥的知识趣味化；引导学生数学思考时应曲而不直，含而不露，隐而不现，营造出最富于暗示性和启发性的意境，让学生在回味、追索、咀嚼中引起丰富的联想等，从而帮助每一个学生最终相对独立地去完成数学知识的建构活动。(www.xing528.com)

（2）数学教学的生成性

只有通过学习主体的积极参与，才能真正达到有效生成的目的。从知识的角度来看，对于个体而言，所谓学习知识不是单纯地获得现成的结论，不经历真正的经验生长和知识建构过程，是不能将公共知识转化为个体知识的。知识既是一个事实问题，也是一个价值问题；既是一个逻辑问题，也是一个历史问题；既是一个绝对问题，也是一个相对问题。在生成性教学观下，课堂教学过程错综复杂、灵活多变，没有一个固定的模式、一条划定的跑道，体现出了明显的非线性和复杂性特征。在生成论的视野中，一切都是生成的，都处于永恒的变化过程之中，不再存在一个预定的本质。这就要求教师在教学设计时，目标的设置不能过分偏向认知目标，应更加注重能力目标和情感目标。形成和提升因教学过程改革而产生的一种过去不被强调的教学能力，不断捕捉、判断、重组课堂教学中从学生那里涌现出来的各种信息，推进教学过程在具体情境中的动态生成。教师要通过学习掌握先进的教育科学理论，对教育实践不断进行回顾、诊断与修正，对自我实践中的行为与表现进行监控与调节，对常规的、人们习以为常的教育经验、习惯、教学定式持一种积极的批判态度，在与同事合作中进行反思，在积极听取周围的人更多的意见中提高反思的质量与水平，从而达到不断自我超越，不断对实践成果和实践经验进行认识提升，不断实现教育理论的自我提高。

数学是高度抽象概括的理论，是逻辑建构的产物，所以数学学习需要学习者自身的认识和建构。按照认知学习理论，数学学习是在学习者原有的数学认知结构的基础上，通过新旧知识之间的同化或顺应，形成新的数学认知结构的过程。由于这种同化或顺应的工作最终必须由每个学习者相对独立地完成，因此建构活动在很大程度上应当说是一种再创造的过程。教师应通过自己的创造，协调好师生的双边活动。教学的对象具有主体性，他们是活生生的人，在教学中不是被动地接受塑造，而是以主体的身份参与塑造自我的过程。

一堂好课须由师生双方共同创造，教学艺术的出发点便是师生在教学中的交流与合作。教学的成功与否，主要看教学活动中教师与学生的参与程度和积极性水平，以及师生关系是否融洽，能不能心领神会地默契配合与协作，能否做到思维共振与感情共鸣。如果教师机智地创设情境，把学生的思维推向高潮，那么就能真正做到思维共振和感情共鸣。这样把抽象的知识具体化、形象化，便于学生完成知识的建构活动。

3.过程性与创生性的教学意蕴

在数学教学中存在有价值的教学论问题，即何谓教师的指导作用，何谓学生的自主性。但根本的问题是它们之间的关系，以往的数学教学论恰恰忽略了这种关系论。从这种三段论出发，我们至少可以辩证地把握教学现象中的矛盾。教学沟通正是借助教学的共同构成者的合作得以实现的。在这个过程中，教师和学生分享彼此的思考、见解和知识，交流彼此的情感、观念与理念，丰富教学内容，求得新的发现，实现教学相长。通过丰富的情境信息和数学关系，引导和组织学生经历观察、实验、比较、分析、抽象概括、推理等活动，在活动中，在真实情境中，在互相之间的交流中，使学生去认识、理解、获得数学概念和结果，建构他们的数学知识。在上述这些活动中，教师不仅是设计者、组织者，而且是学生的合作者。当学生遇到困难时，教师要在数学上给予启发指导，要在情感上给予鼓励和充分肯定，帮助学生树立克服困难的自信心。同时，教师要给学生创设一个互动的良好环境，要主动了解、积极思考学生在活动过程中出现的种种问题，包括心理上的、数学上的、认知上的，针对学生的问题给予帮助，更好地、更有效地在师生互动的过程中帮助学生构建和发展数学认知结构。

数学教学是师生共同发展的过程，这是数学课程标准对数学教学认识的升华，是对教学相长的发展。数学课程标准的一个基本理念，是以人的发展为本，突出学生的发展，而新课程改革的实施又必将为教师的成长和发展提供一个很好的平台和机会。在新课程数学教学改革中，人们倡导以学生为主体的教学和主体性学习。教师在数学教学活动中应努力促进学生的发展，为学生的终身学习和终身发展打好基础，同时又不断提高自身的数学修养和教育修养。在发展和完善人的教育活动中，数学教师起着别的学科教师不能替代的作用。应该认识到数学教学不仅仅是数学知识的传授，学生也不是储备数学公式、定理、公理的容器，还应该体现数学的价值、数学的教育价值，即培养人的逻辑思维、创新思维和理性精神。在相当长的一段时间里，我们的数学教学只重视数学知识点，把一个个鲜活的数学思想体系分割为一个个离散的点，并千方百计地把数学的知识点进行深化、强化，不注意对数学思想和数学本质的揭示，不注重数学知识的系统和联系，不注意把数学知识作为载体去促进学生的全面发展，可谓心中有分，目中无人。教学过程既是传授知识、培养能力的过程，又是情感交流的过程。教学艺术的情感性首先表现在教师对学生、对所教学科的爱，这种爱是一种巨大的情感力量，它可以溶化学生心中的冰块，点燃学生智慧的火花，成为沟通师生感情的桥梁，是教师搞好教学的原动力。其次表现在数学教师在教学过程中善于发挥情感的作用，创设愉快、和谐、合作、轻松的学习氛围，提高课堂教学效果。再次表现在教师在教学过程中善于创造条件，使每个学生都有获得成功的机会，都能品尝到学习取得进步的欢乐。教学艺术具有综合性，它融合各种艺术表现手段，如线条、色彩、语言、音响、节奏和造型等，以大量的信息全方位地调动学生的视觉、听觉、触觉等多种感觉器官，直接影响到学生的情感、知识、技能、智力、个性和审美等诸方面的发展。

数学教学艺术整体功能的发挥依靠其内部结构的最优化组合。例如，教师和学生的知识结构互补，师生关系融洽，教学内容与教学方法相适应，知识训练序列与学生思维认识能力一致，备课、讲课、评改、辅导等各个环节密切配合，这样就构成了教学艺术内部结构的最优组合，必将能使教学艺术发挥出巨大的整体功效。由于数学内容的高度抽象性和数学学习的再创造要求比其他学科高，致使数学教学中必须强调形象性。要求数学教师不仅要注意严密的逻辑性，而且善于运用生动、鲜明、具体的形象，通过直观性语言和感性化材料的辅助来展开数学问题的思维活动。数学教学艺术的形象性，主要表现在教师运用生动形象的语言，借助比喻、类比、模拟、描绘等艺术手法，给学生以感性认识，使学生形成生动的表象或产生丰富的联想，从而掌握难以理解的抽象概念、公式和定理；表现在教师根据教学任务和学生的年龄特征，恰当地选择各种直观教具和教学手段，通过观察实物、实验、模型、挂图，以及电化手段等，使学生认识客观事物的特点和规律。

数学教学陶冶功能由于数学教学艺术情理交织的特点和感染力很强的审美形式，使之形成了鲜明的情境性和非理性因素，具有不可忽视的全方位的潜在教育功能。例如，融洽民主的师生关系、生动活泼的教学气氛、频繁多向的人际交往、教师出色的课堂表演等，这些都在对学生潜移默化地渗透着理性的教育，给他们留下持久性的深刻印象。同时，在数学教学中应注重培养学生的审美感受，培养学生正确的审美观点和审美情操，提高其欣赏美、追求美、创造美的能力。具有精湛教学艺术的教师能用自身的行为美、知识的内在美、教学的过程美、目标的崇高美、气氛的和谐美来吸引学生、感染学生、打动学生，使学生产生美的遐想、美的向往、美的追求，给学生以良好的审美体验。数学教学艺术的审美性表现在教学设计的美、教学过程的美、教学语言的美、教态的美和板书的美等方面。教学设计的美表现为既新颖别致又具体可行；既便于操作又富有成效。教学过程的美表现为整个教学过程自然流畅、环环相扣、波澜起伏、引人入胜、余味无穷。教学语言的美表现为生动形象、简洁明快、富有情感。教态的美表现为衣着打扮美观大方，仪态端庄，态度真诚、热情，举止潇洒、自然等。板书的美表现为书写规范而美观，布局设计比例协调、对比鲜明，板书内容既突出教学重点又有利于学生构建知识结构。具有精湛教学艺术的教师能科学地设计教学过程，灵活地选择教学方法，全面地运用教学原则，恰当地进行教学评价，及时地获取反馈信息，有效地调控教学过程，激发学生的学习动机、学习兴趣和学习热情，调动学生学习的主动性、积极性和创造性，丰富学生的想象力，推动学生不断向新的目标迈进。具有精湛教学艺术的教师讲课时能打动学生的心灵，以生动、形象的语言，优雅、亲切的姿态，炽热、动人的情感，清楚、漂亮的板书，准确、恰当的讲评，在学生心中树起一块丰碑，成为学生学习的楷模，激励学生求实、求真、求善、求美；善于创设问题情境，善于发挥教师的主导作用、学生的主体作用、教科书的示范作用、旧知识的迁移作用、学生之间的相互作用和师生之间的情意互动作用；善于从学生的实际情况出发，从数学教学内容和实际教学环境的特点出发来组织教学活动，因此能用较少的时间和较轻的作业负担取得较大的数学教学效果。

（二）数学教学中的教师引领

在人类进入21世纪的时候，如何重新全面认识与实施数学教育，正在成为一个时代性的课题。对未来人才素质的要求，首先是创造这种理念目前在教育界已取得共识。美国专家认为，如果教师处于缺乏创造性思维的状况，要让学生形成创造性思维是不现实的。在抱怨学生缺乏创造性时，首先应当想到是谁在教学生。在数学教育中，要培养大批具有创造能力与创造性品格的年轻一代，其重要前提就是要有一支创造型数学教师队伍。一个优秀的创造型教师应具备良好的知识结构、能力结构和个性品质。陈德峰认为，一个优秀教师要具备良好的知识结构：对本学科的知识体系、理论结构有较深造诣，能判断本学科的发展方向；有较好的教育心理学和创造学的知识基础；知识面宽，能启迪学生的思维和培养学生学习兴趣的能力。最重要的是，不仅要知道教什么给学生，而且要懂得怎样创造性地教和引导学生怎样创造性地学是创造型教师的必备素养。能力结构主要是指教师应具有直觉能力、设计能力和评价能力。创造型教师需要具备优秀的教学品质，对事业的不懈追求及对知识的渴求，对出现的新事物有良好的感觉和问题意识。创造意识强的人，对问题的存在、事物的缺陷、成分的残缺、关系的协调有敏锐的观察和判断能力。良好的个性品质指在对未知事物的探求中，会对事物始终保持好奇心和怀疑精神，具有持之以恒的毅力、不同的观察视角和异于常人的思维品质，能从人所未见、人所常见、人所难见中发现问题并展开对问题的探索。数学教学是师生双方的活动过程，教师是学生学习的指导者、合作者和组织者，教师的引领对学生的发展具有重大的作用。

1.关注学生思考

在数学教学中，应提倡学生独立思考。有了学生的独立思考，才会体现出学生的思维价值。教师要学会适时介入，捕捉思维教学的契机，培养学生主动思维的习惯。在学生回答问题、板演、练习、作业等各种活动中，都存在思维教学的材料。例如，可在学生成功与失败、正确与错误的矛盾冲突中层层深入，把这些活动背后的思维过程进行充分展示，挖掘出问题背后的隐性思维价值，把思维活动引向纵深，推向高潮，提高思维的层次，发展思维能力。要注意，来自学生思维的丰富材料往往不被注意、白白流失，因此捕捉来自学生的思维材料用于课堂教学是教师的基本功。不仅解题教学中有思维，同样数学概念形成和问题解决的背后也充满了思维教学的材料。新课程标准下的数学教学强调把数学的学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，意在让学生通过对问题情境的分析，探求隐含于问题背后的数学知识和数学思维。学生更为乐意的一种方式是通过合作去解决实际问题，以此来形成解决问题的技能、提高自主学习的能力，但特别要注意的是克服去数学化的现象，即弱化思维。问题解决的教学是培养学生高水平的思维的重要方式，它强调使用数学的意识，培养学生的理性探索精神、合作意识和实际操作能力，来进行数学学习和建构数学知识。

数学教学中关注学生思考的关键在于给学生充足思考的时间和空间，这个似乎很好理解，但有意思的是我们在现实的数学教学中经常见到这样的情况：教师刚把问题出示完毕，甚至刚进行完板书，就开始头头是道地分析起来。学生基本上刚看完问题，还没来得及思考，更别说认真思考、深度思考，这种数学教学无疑剥夺了学生的思维权利，没有关注学生的数学思考。很显然，这样的数学教学就是用教师的思维取代了学生的思维，或者部分优秀学生的思维替代了大部分学生的思维。这样做的结果是强迫学生接受教师灌输的数学知识，学生思维的自主性、独立性被严重破坏和阻碍，更谈不上发展学生的思维了。学生的思维丰富多彩，有的奇思妙想会超出教师的想象。韩愈老先生早就说过：“师不必贤于弟子，弟子不必不如师。”让学生的思维暴露出来，便于了解学生真正的思维过程，对于学生的错误也易找到原因，要特别注意寻找其中合理的成分，经过交流、讨论，有助于问题的真正解决。对学生的思维过程进行分析，关注他们怎样表达自己的观点，怎样交流，也有助于了解学生的思维品质，也是尊重学生的一种具体表现。只有学生感到受到了尊重，他才会自主学习和探索。学生的学习是主动的，才是最为有效的。

实施思维教学的关键在于提高教师对数学教学是思维的教学，数学活动是思维活动的认识。数学活动是师生、生生之间的思维交流，这个交流是独立思考后的交流，没有独立思考的交流、合作，是一种虚伪的数学学习。数学是自己思考的产物。首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。但是，思考数学问题需要很长的时间。通过交流，互相启发、借鉴、学习，让学生暴露思维过程，教师要学会倾听，让人把话讲完，不要扑灭学生思维的火花；尊重学生的思维过程，要有耐心，学会等待，注意延迟判断；必须真正让学生有独立思考的时间和空间，重视学生数学学习的思维过程，关注学生的思维发展。学生思维能力的发展是多方面的，除了要关注数学知识的理解，还要关注学生的交流表达、学生的心理素质等其他方面的发展。

2.促进数学理解

有人认为数学素养就是职业习惯，也属于认识论和方法论的综合性思维形式，它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素养的人善于把数学中的概念结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物，具有高度的哲学意识和认识特征。当代数学教育不仅注意到重视数学应用的教学、问题解决能力的培养，同时也十分重视数学中的思想方法、情感、态度、价值观教育等多方面的价值，关注学生数学素养的培育。具体来说，一个具有数学素养的人在他认识世界和改造世界的活动中，常常表现出三个特点：一是对任何问题的讨论往往都习惯于强调定义（界定概念）；二是在观察问题时习惯于抓住其中的数学关系，从局部入手进行全局考虑；三是在认识问题时习惯于用数学的思想观念认识现实中的问题。涂荣豹、宋晓平在分析我国的数学教学问题时提出，我国原来的数学教学目标主要局限于数学学科知识的内部，范围比较狭窄，而以欧美为代表的西方数学教育教学的目标，则对于与数学有联系的数学学科的外部范畴有更多的关注，范围比较宽泛。国外的数学教育更看重育人的大目标，如美国数学教育目标就明确指出培养有数学素养的社会成员，他们对数学素养的理解包括懂得数学的价值、会进行数学交流和数学推理、对自己的数学能力有信心、有解决问题的能力，更加强调的是社会对教育的要求。现在我国数学课程标准加强了对学生数学素养的培养的要求，明确地对数学课程目标从横向和纵向两个方面陈述。横向的课程目标包括知识与技能目标、数学思考目标、解决问题目标、情感与态度目标；纵向的课程目标则是根据上述四个目标提出分学段目标。数学教育的主要目标是发展学生的思维，提高学生解决问题的能力，全面培养学生的数学素养。就数学知识应用来说，从小范围来看，使学生掌握一定的数学知识并可将这些知识有效地应用到实际生活中去，这样解决问题就成了数学教育的一个目标；从大范围来看，考虑到数学的发展，其理论研究的深度还远远不够，还有很多未知的领域未涉足。由此，激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受数学的魅力，可能远比教给学生具体的数学知识更为重要。

传统的教学理念比较重视数学基础知识的教学，基本技能的训练，数学计算、推理和空间想象能力的培养，而不重视学生实践能力的培养和实际操作的训练，致使学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，其实也是缺乏数学素养的一种表现。学生机械地模拟一些常见的数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。中小学数学教学应关注学生数学素养的培养，在课堂教学中采用形式多样的教学模式，努力为养成学生良好的数学素养开辟一条有效的途径。

3.鼓励求异思维

源于欧美的西方数学教育教学比较注重数学新的知识内容与现实生活及其他学科间的联系，并且将这些新的内容在教材编写上也体现了出来，使得数学的有关内容与多门学科和社会活动建立了联系，包括科学、艺术、地理、气象、健康、消费和生活常识等相关知识。由实际问题引入新知，本质上也是由已知引出未知，但其中不仅包括已有的数学知识，由于有实际情景材料的介入，还包括已有的生活经验、实践经验和元认知感悟。这更加重视解决与生活相联系的数学问题的能力，强调对数学价值和作用的理解。

数学教育教学中有一个经常出现的问题：一个长方形，剪去一个角后还有几个角？这个问题来源于生活实践，可以分为若干层次来研究这个问题，即在小学阶段问学生：一个桌子有四个角，剪去一个角后还有几个角？也可以抽象成几何图形，就是长方形或矩形。在每一个阶段，这个问题可以检测学生的思维水平。长期以来，这个问题的答案是3、4、5。但很有意思的是，有一次，一位学生高高地举起了双手，说：“老师，这个答案是错的。”教师十分诧异地问道：“那你的答案是什么呢？”学生答：“老师，我认为答案应为你想要几个角就是几个角。如果我们沿直线剪，答案是3、4、5，但我们可以沿弧线剪，还可以剪折线，可根据我的需要来剪。”

根据数学教学的本质特征，数学教学应以在教师的指导下的学生主动学习为基础。从上述例子中我们可以看出，只有很好地引导了学生观察思考，并创设宽松的学习环境，鼓励学生自主思考，才会引发学生的数学思维。数学教育教学应该是以新型师生关系为纽带，通过教师与学生在教学目标、教学内容、教学资源、教学媒体的交互作用下，有组织、有计划地使学生在数学知识能力、情感态度、创新精神等方面都得到主动发展的一种数学学习活动。由此可知，数学教学的本质在于学生的发展，即引导学生主动地学习，使之在数学知识能力、数学素养、创新精神等方面都得到主动发展。

数学经验是学生的数学发展的重要基础，新一轮数学课程改革在原有的数学双基教学的基础上提出了四基教学，其中重要的一条就是学生的数学活动经验。张莫宙教授认为，所谓基本数学经验，是指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。数学经验是人们在现实生活中从事数学活动而积累起来的理性提升，是从感性到理性的认识。根据不同的形式，数学经验主要可分为四种类型：直接数学活动经验、间接数学活动经验、专门设计的数学活动经验、意境联结性数学活动经验。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“数学教学应根据具体教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。”在数学教育教学中重视发展学生的数学经验，强调让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学活动经验，并在数学问题解决的过程中，让学生积累数学经验，发展学生的创新数学思维。事实上，数学经验是影响数学发展和数学学习的一个重要因素。