数学教育与创新思维解析

数学教育作为人类认识世界的一种活动，至今已有几千年的历史。根据柏拉图所著的《美诺》中记载，苏格拉底曾用巧妙的提问去引导一个小奴隶发现以一个正方形的对角线为边的正方形，其面积是原正方形面积的两倍。在西方，早期的数学教育目的主要是为了训练学生的心智，在七艺教育（文法、修辞、逻辑学、算术、几何、天文、音乐）中，算术、几何、天文、音乐谓之四艺，属理科课程，四艺中尤其注重算术、几何，他们认为数学不仅具有实用价值，而且是启迪智力的有效的学科。在中国，数学教育主要以实用为目的，古代算学以测量田亩、计算税收等为目的，主要用来管理国家。千百年来，数学家、数学教育家及数学哲学家对“数学是什么”“数学用来做什么”“数学教育的目的是什么”做出了多种阐释，但回头看去，没有一种令人完全满意的概括。数学作为一门独立的自然科学学科已被广泛认同，它是现代科学技术的语言和工具，人们常把数学形象地比喻成一株枝叶茂密的大树，它包含着且一直在生长出越来越多的分枝。数学从它诞生那天起，就和思维、创造、抽象结下了不解之缘，数学的存在与发展都要依靠个体的思维、创造，数学教育又促进了个体创新思维的发展。

（一）数学教育的意义探求

作为一个独立知识体系，数学起源于古希腊。数学发展的全部历史大致可以划分为四个时期：从远古时期到公元前6世纪、5世纪，是积累事实材料的数学产生时期；接着是初等数学时期（或常量数学时期），这个时期的开端是欧几里得的《原本》把几何建立成一门独立的科学，这个时期一直延续到17世纪；无穷小分析的创立决定了第三个时期——古典高等数学（或古典分析学）时期的开始；最后，19世纪前半叶，由罗巴切夫斯基和鲍耶创立非欧几里得几何体系是第四个时期——现代数学时期的开端。每一个新时期的开端，都以决定数学向本质上崭新的状态过渡到杰出的科学成就作为标志。

1.数学本质的认识

美国数学家柯朗和罗宾斯于1941年合作出版了一本书，即《什么是数学》。虽然这本书并没有就数学的概念和含义进行探讨，而是为大学生、研究生和对科学真正有兴趣的专业人员提供的一本非常规的基础数学教材，但他们就数学提出的一些问题对于数学教育的发展却是振聋发聩的。柯朗说：“数学教学有时竟演变成空洞的解题训练。这种训练可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。”他认为，一直以来，大家都认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但直到现在，数学教学的解题训练使数学教育陷入了危机，而对于这种危机，数学工作者是要负责任的。教师、学生和一般受过教育的人都要求数学家有一个建设性的改造，而不是听其自然，其目的是要真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。他对数学教育和数学的发展甚感焦虑，数学研究已出现了一种过分专业化和过于强调抽象的趋势，忽视了数学的应用以及与其他领域的联系，他提出的解决办法是那些醒悟到培养思维重要性的人要更加重视和加强数学教学。

那么，什么是数学？有人说：“数学是一个知识体系，一种实际工具，哲学的一块基石，完善的逻辑方法，理解自然的钥匙，真实的自然，一种智力游戏，理性的冒险，美感的经验。”《中国大百科全书（数学卷）》认为，数学是研究现实中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。恩格斯对数学的对象所下的经典性的定义是众所周知的，恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”恩格斯给数学下的定义是在他的名著《反杜林论》中给出的，但这本著作自出版以来，经过了大约一百年的时间。在这一个世纪里，数学有了蓬勃的发展，基本的概念和方法发生了根本变化，这一个世纪是现代数学形成时期。恩格斯写《反杜林论》的时期，非欧几何和多维空间几何在数学家中刚刚被承认，群论刚刚形成，集合论刚刚产生，而数理逻辑才刚诞生，对现代数学的发展起重要作用的电子计算机，在20世纪40年代才诞生，完全可以理解恩格斯不可能估计到数学发展新时期的特点。

逻辑之父亚里士多德曾说：“数学是计量的科学。”后来法国哲学家孔德说成“数学是间接计量的科学”。而在这之前，笛卡儿则将数学说成“解释所有我们能够知道的顺序和度量的一门普遍科学”。由于数学的性质及其应用途径不断发生变化，新的数学领域不断涌现，数学的应用范围不断扩充，加之随着知识的发展，都要求发展新的数学，因而人们对什么是数学的认识发生了很大变化。有学者认为，数学是理性思维的科学，数学是通用的科学语言，数学是推理的艺术，数学是猜测的学问，数学是解释，数学是比喻，数学是文化等，都从某一侧面谈到了对数学本质的理解。

有学者从传统认识到现代隐喻两个方面对数学进行了界定，认为在传统认识上，第一，数学存在于理念世界，数学对象包括数和由数组成的算式，这都是柏拉图理念世界的真实存在；第二，数学对象是抽象的存在，数学对象是存在于可感事物中的不可感之物；第三，数学是综合判断，数学是独立于感觉经验而可知的，数学不能由对概念的分析来判定，数学是综合的；第四，数学是一种约定，数学的公理、符号、对象、结论的正确性，无非是人们之间的一种约定；第五，数学就是逻辑，罗素和怀特海合著的《数学原理》的主要目的是说明整个纯粹数学是从纯乎逻辑的前提推出来的；第六，数学是直觉构造，数学的对象必须能像自然数学那样明示地以有限步骤构造出来，才可以认为是存在的；第七，数学是形式符号，形式主义认为，每一门数学都有其公理系统。在现代隐喻上，数学是一种文化，数学是一种艺术，数学是一种语言，数学是一种方法，数学是一种思维，数学是一种创造。

数学家和数学哲学家为数学做了各自认为满意的定义，但这些定义之间并非都是等同的，它们都只能是近似地反映出数学这门科学当时所处的状态和某些侧面的性质和特点，其中任何一个都不能作为数学准确的、永恒的定义。数学是什么？数学是钥匙，是打开科学之门的钥匙；是语言，是一门世界性科学语言；是艺术，它具有艺术的形式美；是工具，是征服科学的工具；是方法，是解决各种实际问题的有效方法；是体育，是思维锻炼的体操；是文化，是促进民族兴衰的文化。但这些都不能作为数学的定义，因为上述任何一条都不是数学独有的特征。许多人赞成用量来定义数学，这种定义表现了数学的来源。但量又是什么？它是哲学上难以界定的基本范畴之一，并无确定的内涵。随着时间的推移和人们认识的扩展，量的内涵越来越普遍，人们也就无从把握住量的全部内涵，因此用量去定义数学也就变得含糊其辞了。19世纪末20世纪初，人们曾为了寻求数学的最终的真理性和可靠性进行了认真的研究和争辩，但都未得出什么明确结果。因此，要想给数学一个精确的定义，是十分困难的。对于“什么是数学”这一问题不存在任何最终的、绝对的回答；恰恰相反，对此我们应当持有发展的观点。正如怀尔德所说的那样：“试图给数学下定义所遇到的困难看来主要来自这样的假设，即认为数学就其本质而言是绝对的、不随时间和地点而改变的事物……既然数学不是上述事物，任何刻画它的企图肯定只能失败。”数学有着明显的时代特征，它徘徊在现实与非现实之间，它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。什么是数学？它是独特而唯一的。

2.数学教育的特征

对任何一门科学的认识与传承，都需要对其内涵和外延进行深刻的理解。尽管不同的人对数学有不同的认识，但不可否认，数学作为独立于经验的人类思想的产物，有其独有的特征，因而对于数学的教育来说也具有以下五个明显特征。

（1）抽象性

数学是抽象性极强的一门科学，数学的对象都是抽象思维的产物。数学本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。例如，从5只鸟、5本书、5棵树这类具体事物中抽象出“5”这个数字概念；欧拉把哥尼斯堡的七桥问题抽象成一笔画问题。要想使学生理解这种抽象的数学知识，数学教育必须借助于数学符号、数学图形来完成，因而数学教育的抽象性这时就体现在数学文字语言、数学图形语言、数学符号语言与数学知识之间的一种转化中。另外，由于数学抽象出来的本质属性或特征就存在于同类事物之中，只保留量的关系和空间形式而舍弃其他一切；数学抽象是一级一级逐步提高的，它所达到的抽象程度大大超过了其他学科的一般抽象，因此表现出以下四种类型：第一，经过这种抽象获得的数学对象，在概念外延上更宽广一些，但在内涵（或结构）上就贫乏软弱一些，称为弱抽象；第二，它的产物不是从同类事物的众多属性或特征中抽取出来的，而是通过把新特征引入原有数学结构加以强化而形成的，称为强抽象；第三，一些不能由现实原型直接抽取的、完全理想化的数学对象抽象类型的产物，称为构象化抽象；第四种抽象也具有完全理想化的色彩，不过其产物不是某种新的数学概念，而是对新的公理（或基本法则）的完全理想化的构想，称为公理化抽象。数学教育的任务是形成和发展那些具有数学思维（或数学家思维）特点的智力活动结构，并且促进数学中的发现。我们可以看到，自然科学家为了证明自己的诊断常常求助于实验，而数学家常常借助的是思考、推理与计算。也就是说，不仅数学的概念是抽象的，而且数学的方法也是抽象的，在数学教育中应注意这个抽象意识的培养。

（2）简约性

数学语言和数学符号是数学简约性的重要表现形式，也是数学抽象物的表现形式。数学不仅是事实和方法的总和，而且是（也许甚至首先是）用来描述各门科学和实际活动领域的事实和方法的语言。数学往往避重就轻，以简取胜。千言万语说不清，用数学语言可以一言以蔽之。数学史上有这样一则故事：当年匈牙利知名数学家厄尔多斯要测试聪明小孩波萨的才华，即兴命题：在两千个自然数中，任取一千零一个数，那么一定有两个互素。小孩用分类方法做出了满分的答卷。后人在复述这个故事时，常归结为“证两相继自然数互素”。怎样证两相继自然数n，n+1（n＞1）互素？与其用颇费口舌的反证法，不如用公元3世纪时我国著名的数学家刘徽的《九章算数·方田》注的更相减损术，只需做一次减法：n+1-n=1，于是（n，n+1）=1，命题已证。难道还有比这更简练的说法吗？如果不通过数学教育活动，到哪里能找到如此简洁的问题解决方法呢？

（3）形式化

数学形式化是用形式符号体系表现的，形式化要使用彻底的形式语言，把数学思维过程中所有能够表述出来的东西，包括逻辑联系词、推理符号、公理、定理等，完全用符号表示。数学教育关注学生在研究复杂问题时，能抓住问题的关键所在，构造出形式化的数学模型的能力。哲学家培根曾说：“数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。”但在现实生活中表现得往往更为严重，因为忽视数学的人甚至不知道这是一种疏忽，也不能理解为什么疏忽，将最终导致无法寻求任何补救的措施。在17世纪，布莱泽帕斯卡尔曾为人类之无助感到悲哀。然而现在，数学给予了我们关于世界巨大领域知识的控制权，从日心说到量子理论，从哈雷彗星到电磁波的发现，从天文知识到物理世界，从地质勘探到文学艺术，无一不体现出数学的身影。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。数学的形式化体现在一切科学的深处，成为解释和创造社会的得力助手与工具，缺少了数学就不能准确刻画出现实生活中客观事物的变化，更不能由已有的结论推导出其他结论，因此会阻碍社会的进步和科学的发展，现实一点说，会减少现实生活中对事物发展规律的科学预见的可能性和减弱科学预见的精确度。数学是调节理念和实践、思想和经验之间差异的工具，它建起了一座连通双方的桥梁，并在不断地加固桥梁。事实上，全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学。

（4）逻辑性

数学与逻辑的关系至少可以追溯到数学还是一门经验性科学的年代。以罗素和弗雷格为代表的逻辑主义数学观认为，数学就是逻辑。罗素和怀特海合著的《数学原理》的主要目的是说明整个纯粹数学是从纯乎逻辑的前提推出来的，并且只使用以逻辑术语说明的概念。逻辑是数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年与壮年没有截然的分界线，故数学与逻辑亦然。数学与逻辑有以下三个共同特点：第一，数学思维与逻辑思维都具有极强的符号化和形式化特征，并且在现代数理逻辑中实现了高度的统一；第二，数学的形式结构和逻辑的形式结构都是以人这个认识主体对于客体所加的作用和动作的最普遍的协调作用中抽象出来的；第三，数学结构和逻辑结构都是具有一定相对独立性的客观的思想事物，它们的规律在科学的各分支领域都是普遍适用的。在罗素看来，从逻辑和数学共同接受的前提出发，不可能画出一条清晰的分界线，其左边是逻辑，右边是数学。因而在很长一段时间里，谈到数学的教育就是逻辑的教育。我国最初的数学教育的三大能力，其中最为重要的就是逻辑思维能力。

（5）优美性

罗丹说：“自然总有美存在。”伽利略则宣称道：“自然这本书是用数学语言写成的。”哪里有数，哪里就有美。数学美中最负盛名的是被开普勒称为“欧氏几何学两颗明珠之一”的黄金分割。人体最优美的身段遵循着这个黄金分割比；令人心旷神怡的花凭借的也是这个美的密码；就连芭蕾舞艺术的魅力也离不开它。艺术家利用它塑造了令人赞叹的艺术珍品，科学家利用它创造了丰硕的科技成果。这个神圣的比例值因被抬高了身价而被称为黄金数，成了宇宙的美神。数学总是美的，数学是美的科学，数学教育就要把这种数学之美进行传递。在数学思维触角的每一次延伸中，引导学生体会它奇妙无穷的理性之美；在扑朔迷离的符形数谜中，使学生感受到智慧之美；在平移和旋转的变化中，使学生感受到变换之美；在聆听精炼严谨却蕴意丰富的诉说中，使学生感悟到简洁之美；在整与分、和与差、偶与奇、曲与直的平衡匹配中，在优美的抛物线的伸展之中，使学生感受到稳定协调的对称之美；在徜徉于数学的各个领域错综复杂的关系中，使学生感受到数学独立与联系的结构之美；在数与形你中有我、我中有你的演绎中，使学生感叹统一之美。哈尔莫斯说过：“数学是一种独具匠心的艺术。这种艺术正像辽阔的海洋，那大海深处蕴含着一个五彩缤纷的世界。当你畅游其中时，你会为这无垠海洋中数不尽的奇珍的美而陶醉。”数学的美还不仅限于感官上的美，它的美还在于它的内涵和谐有序。

3.数学教育的意义

随着数学的深入发展，无论是数、结构、模式、关系、形状、推理，还是概率、统计分析、抽样，都是数学科学研究的对象，科学研究的结果形成了特定的认知体系。从数学的发展来讲，有数学本质的经验倾向性说，认为数学知识来源于经验，数学的理论知识不如直觉知识清楚和可靠，数学是处于从感性认识过渡到理性认识的一个阶梯，是一种理智认识，其倾向性是注重数学知识的来源和过程；有形式倾向性说，其倾向性是注重数学知识的形式逻辑和按演绎体系展开的特点，认为数学是一门演绎科学；有综合（调和）说，认为数学是一门演算科学、数学是一门拟经验科学，其目的是试图解释或调和由经验性说法和演绎性说法产生的矛盾，揭示数学对立统一的辩证关系；有先验论说法，认为全部算术和全部几何学都是天赋的。数学家、数学教育家和数学哲学家从数学内部的数学的内容、表现形式、研究过程和数学外部的数学与社会的关系、数学学科与其他学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面对数学的本质进行了研究，他们所得到的结论从某一侧面反映了数学的本质，为全面认识数学教育提供了一些视角。数学是一门探索的、动态的、发展的科学，对数学的认识应随着数学的发展而发展。徐艳斌教授认为，数学教育能把握生活实践，认识数学文化，加强全球化视野，增进日常思维能力，培养社会责任心。由于社会的发展是连续的，有赖于人的不断创造和创新，因而数学教育的意义更多体现在思想、文化和创造上。

（1）生成思想

数学教育的任务是让学生学习和掌握数学科学，其实质就是形成良好的数学思想方法。这些思想主要包括形式与内容、运动与静止、偶然与必然、现象与本质、原因与结果、精确与近似、整体与局部等基本与重大的思想，也包括分析与综合、归纳与演绎以及公理化、转化、函数与方程、概率与统计等一般的科学及数学特有的思想。集合理论的创始人康托尔曾说：“数学的本质就在于它的自由。人类正是在这种自由思想的引领下，从数数开始逐渐建立纯粹数学到常数数学，再从常数数学到变量数学再到现代数学。”近代以来，数学又进入了人文科学领域，并在人文科学领域发挥了强大的优势，人文科学数学化成为一种强大的趋势。当代数学发展的主流是在科学数学化的同时，也出现了数学科学化。数学的主题仍然是认识宇宙，以及认识人类自己。普洛克努斯说：“所以说数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄净智慧；她给我们的内心思想添辉；她漆尽我们有生以来的蒙昧与无知。”

（2）涵养文化

数学作为一种文化，其植根于人类丰富思想的沃土之中，是人类智慧的结晶。美国人类学家C.恩伯、M.恩伯认为：“文化指的是任何社会的全部生活方式，人类特有的行为方式和方法就是人类的文化，当然这种行为方式和方法包含了后天获得的，作为一个特定社会或民族所特有的一切行为、观念和态度。”自人类诞生以来，人类的行为和思维就伴随着数和形的活动，成为一种特有的智力活动。美国数学家怀尔德从数学人类学的角度提出了“数学——一种文化体系”，被认为是自1931年以来出现的第一个成熟的数学哲学观。其给出的影响数学发展的力量主要有环境的力量、遗传的力量、符号化、文化传播、抽象、一般化、一体化、多样化、文化阻滞、文化抵制、选择，把数学看成一个由于内在力量与外部力量共同作用而处于不断发展和进化之中的文化系统，数学活动就其性质来说是社会性的。数学教育的意义体现的就是一种文化涵养的意识。(www.xing528.com)

（3）孕育创造

数学代表了一种理性主义的探索精神。从古希腊几何到希尔伯特的《几何基础》，哥白尼、开普勒、伽利略和牛顿的成果使许多梦想的实现成为可能。数学关系是宇宙之钥，万物通过数学得以理解。数学家对平行公理的长时期的反思，其结果是非欧几何得以发现，这是一场巨大的暴风雨，其深远而巨大的后果导致了相对论的诞生。阿尔伯特·爱因斯坦在其《相对论杂谈》中说：“这里产生了一个困惑了古今科学家的谜。数学，作为独立于经验的人类思想的产物，怎么可能与物理实在中的客体符合得那么奇妙？通过纯粹思想人类理性无需经验就能发现实在事物的性质？”观念的世界看来不能用逻辑的方法从经验中推导出来，而从某种意义上说是人类心智的创造，没有这种创造就没有科学。数学作为人类悟性的自由创造物，鼓舞着人们从事理性的探索。没有非欧几何，自然也就没有相对论，没有全部现代的物理学以及以之为基础的全部现代技术。那样也不会有全部关于数学基础的研究，不会有形式系统这样的思想，不会有哥德尔，同样也不会有计算机。更重要的是，没有人类理性思维的高度发展，人的精神状态会是什么样呢？总之，可以毫无疑问地说，没有现代数学就不会有现代文化。换用鲍耶依·亚诺什的名言：“数学从一无所有之中创立了一个新宇宙。”

（二）创新思维的内涵与特征

思维活动是人的一种本能。心理学认为，思维是具有意识的人脑对客观现实的本质属性和内部规律的自觉的、间接的和概括的反映。思维的基本要素由思维原料、思维主体和思维工具组成。思维原料指被感知的具体思维形象；思维主体是人脑和意识；思维工具是思维形式和思维规律。创新思维不是简单的逻辑思维活动，也不是孤立的形象思维活动，而是一种极其复杂的特殊的物质系统内的高度复杂的活动过程，是各种思维活动因素、活动能力及其活动形式存在着不同程度上的相互作用、相互制约的思维。人的创造力的核心是创新思维。创新思维是一种求异的思维活动，以求异而非求同为其价值导向，它要求无论是在思考问题的方式、方法，还是思维活动的结果方面，都与传统的思维活动存在着不同的新颖之处。创新思维的物质基础是应具备健全的大脑和正常的心理；其基本要素由问题、观念、知识、语言、成果等因素构成。

1.创新思维的内涵

对创新思维的研究已有悠久的历史。在西方，可以追溯到古希腊的亚里士多德时期，他早期的《工具论》可以看作最早涉及创新思维的著作，此后，很多哲学家、科学家均对此做了进一步的研究和论述。特别是随着心理学的发展，心理学家从创新思维的形成机制和思维品质等方面做了具有重要意义的探究，为创新思维的研究奠定了较为坚实的心理学基础。但时至今日，创新思维仍是一个众说纷纭、尚未获得公认定义的概念。有人认为，创新思维是人类思维的一种高级形态，是人在一定知识、经验和智力的基础上，为解决某种问题，运用逻辑思维和非逻辑思维，突破旧的思维模式，通过选择重组，以新的思考方式产生新设想并获得成功实施的思维系统。也有学者认为，创新思维，又叫常规思维或突破性思维，是指突破原有的思维范式重新组织已有的知识、经验、信息和素质等要素，在大脑思维反应场中超序激活后，提出新的方案或程序，并创造出新的思维成果和思维方式。创新思维是在一般思维的基础上发展起来的，是由条件类型的思维在创造活动中的一种有机结合并产生突破性飞跃的思维新范式，是人类思维能力高度发展的表现。张培林曾在《关于创造性思维的几个问题》一文中对创造性思维进行了一个界定：“创造性思维是创造者为了获得自己追求的创新目标，使凝聚在大脑里的科学思路，即大脑里各种感性知识和各种知识单元得到重新调整、重新组合和重新排列，闪现出某些新思想、新观念。”还有人认为，创造性思维具有社会价值的新颖而独特的思维活动，具有主动性和独特性特征，常常与创造性的活动联系在一起；创造性思维是反映事物本质属性和内在、外在联系，具有新颖的广义模式的一种可以物化的思想心理活动。所有这些都说明，人们对创造性（创新）思维的认识仍处在一个探索的阶段，目前要对它做出一个科学的定义显然还有困难。

创新思维总是在人产生了进行某种创造活动的动机和欲望之后发生的，没有这种动机和欲望是不可以产生创新思维的。这里的问题是，究竟什么才算是创新？提供新的、第一次创造的、具有社会意义的产品是不是一种创造活动呢？是不是一种创新呢？当然应该是，但这只是一种狭义上的理解；如果从广义方面去理解创新，我们认为只要活动表现出一定的新颖价值，对其自身的认识和发展而言具有某种新颖性、独特性，便可以看作具有相对意义的创新。创新思维往往与创造活动相联系，但这并不是说创造活动中的思维就完全是创新思维。创造活动离不开创新思维，或者主要是运用创新思维。我们研究创新思维，强调它是一种思维过程，讲思维的独创性，强调的是个体差异的思维品质。但无论是强调思维过程还是强调思维品质，共同的一点都是强调“创造性”的特征。林崇德先生指出：“创造性是人类在创造性活动中表现出来的思维品质。”他还说：“创造性的人才智力有如下五个方面的特点：创造性活动表现出新颖、独特且有意义的特点；思维和想象是创造性的两个主要成分；创造性思维过程中，新形象和新假设的产生带有突然性，常被称为灵感；在思维意识的清晰性上，创造性是分析思维与直觉思维的统一；在创造性思维的形式上，它是发散思维与辐合思维的统一。”创造学研究与实践研究表明，创新思维既是发散思维也是收敛思维，既是逻辑思维又是非逻辑思维，是各类思维形式的有机结合体，是各类思维形式的辩证统一的过程。

创新思维的独创性是人类思维的高级表现形式，它是一种连续的而不是若有若无的思维品质，独创性不应该理解为仅仅局限于少数创造发明者身上所具有的思维形态，其实每个人都或多或少地体现了自己的独特性。世界上没有两片完全相同的树叶就说明了个体的独特性，因而在思维体系里的创造性也是不同的。有一个例子可以说明这个问题：许多科学家都在爱迪生之前研究过电灯，但遗憾的是都未能成功，找到理想的灯丝材料成为影响电灯试验成功的最大阻碍。爱迪生在攻克这个课题时，对前人试验时的材料和思路进行了认真研究，分析导致失败的原因，设想如何克服和突破，寻找新的思路和方法。在多次失败的经验教训的历练下，他终于找到了新的解决问题的思路，找到了避免灯丝氧化的方法，选用了合适的材料，从而打开了思维的大门，开创了电气照明新时代。这种针对所要解决的问题，收集有关信息资料，然后进行思考，想出具有独特性、新颖性的好主意的过程就是创新思维。

据说凯库勒从梦中飞舞的蛇这一灵感悟出了苯的环形结构式，似乎说明了灵感在创新思维领域的重要性，但也说明这一结构式的正确与否需要严格的逻辑证明。在创新思维的研究中，不少人认为创新思维与灵感有着十分密切的联系，甚至有人认为没有灵感就没有创新。我们认为灵感确实是创新思维的一个重要因素，但不应该把灵感绝对化、神秘化，似乎不出现灵感就不会有创新思维。爱因斯坦也曾谈到过相信直觉和灵感的作用，并在谈到特殊和一般、直觉和逻辑的关系时，认为从特殊到一般的道路是直觉性的，而从一般到特殊的道路则是逻辑性的。对于问题的想象、联想、直觉、幻想、灵感等，他则认为是非逻辑思维的形式。这里所讲的非逻辑思维，是指在严格的意义上抽象逻辑思维之外的形象思维、灵感思维和直觉思维。非逻辑思维与逻辑思维是互补的，它们在创新思维过程中都起着重要的作用。创新思维是逻辑思维与非逻辑思维的辩证统一，无数的事实证明，各种发现和发明的创造过程中既包含着逻辑思维的因素，又包含着非逻辑思维的因素，因此我们说创新思维不是一个空洞、抽象的概念，它与抽象思维和形象思维有着密切的联系，并寓于抽象思维和形象思维之中。思维的创新性在逻辑思维与非逻辑思维的辩证运动之中不断发展和进步。阿基米德发现浮力定律，门捷列夫发现元素周期律，爱因斯坦发现相对论，体现了非逻辑思维在科学创造中显示出来的惊人创造性。作为创新思维的全过程，既离不开非逻辑思维，也离不开逻辑思维，科学的发现和创造更是如此。直觉和灵感往往是在研究和思考经过显意识的逻辑思维而又遇到困难之后才出现的，可以说直觉和灵感是逻辑思维渐进的中断，在这个意义上，如同邦格所说的那样：“没有漫长且有耐心的演绎推论，就没有丰富的直觉。”而当直觉或灵感出现之后，逻辑思维还必须对直觉或灵感的思维成果进行加工和证明，否则这种直觉或灵感闪现出来的火花既不能被证实其正确或证明其错误，也不能被物化为可供他人所能理解和接受的科学理论。

创新思维还是发散思维和辐合思维的辩证统一。在对创新思维的理解上，人们往往容易产生这样一种偏见或误解，即认为创新思维的重心要放在发散思维上，只要培养了良好的发散思维能力就会产生创新思维，因而在各种思维活动中总是片面强调对发散思维的训练。客观来看，发散思维的确比辐合思维表现出很大的创造性特征，主要是因为发散思维具有新颖性、灵活性、精细性和开放性这四个显著特点。但是，作为一个完整的思维过程，创新思维又离不开辐合思维。辐合思维是发散思维的基础，如在创新过程中遇到一个新的问题，如果没有辐合思维得到的结论作为基础，发散思维的灵活性便没有了依托；如果要将各种假设（发散思维的结果）变为解决问题的现实方案，只有通过利用辐合思维才能够实现。可见，发散思维和辐合思维如同创造性思维的两翼而缺一不可。正因为如此，吉尔福特将发散能力称为发散创造能力，将辐合能力称为辐合创造能力，二者同为创造性思维的重要能力。由此我们可以看到，创新思维离开发散思维，多种可供比较、选择的假设和途径就不可能得到，思维就只能沿着一个方向或一个局部去思考，因思路狭窄而答案缺乏生命性、生长性和创新性；离开辐合思维，思维便只会漫无边际地发散，尽管其中有正确的、新颖的答案，也会因为不能集中而寻找不到最佳的解决方案，也就失去了创新思维的基础。

上述对创新思维的分析，基本上概括了当今学术界对创新思维的认识成就，这些认识尽管存在着一定的不足，但如果能够从综合的角度去揭示其内涵，还是基本上可以反映出创造思维的外延指向的。

2.创新思维的特征

创新思维是指思维主体能动地把握创新对象，通过对创新对象的思考和激发，从而促进思维主体创新发展的过程。创新思维的主体是人，人们对除创新主体以外的人和事物的思考和归纳总结，构成了创新客体，思维主体作用于思维客体的过程，则形成了创新思维。具体而言，创新思维包含了主体发现新事物、新规律，发现问题新的解决办法等思维过程。通常来说，这种思维过程并不局限于是不是首次被发现，而是指对于思维主体而言是不是首次对此问题、规律、方法等的发现。创新思维有助于思维主体对思维客体的理解和认知，有助于对其本质以及内在联系的揭示，并在此基础上通过比较、分析、归纳、演绎等方法而得出新思想、新观点和新方法，从而达到创新的目的。

数学的创新思维是数学素质教育的重要方法。数学作为思维创新的体操，对思维主体的逻辑分析能力、综合判断能力等都有重要的影响。而数学作为教育中不可或缺的课程，其创新教育的实践程度是创新教育的实际成效的重要判定内容。具体而言，数学的创新思维主要是指以数学的基本理论知识为基础，通过独立的思考和分析，在主动探索的过程中积极创新思维因素，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等数学方法，充分认识数学理论知识的本质，并得出理论之间的内在联系和规律，以更好地掌握各种数学问题的解决方法。创新思维要求思维主体在认识思维客体的过程中着力挖掘客体本质及其差异性。而数学的创新思维则要求创新主体在对待数学理论知识时，要着力从数学的文字表示深化到数学的逻辑思想，并灵活运用到相关或相似的数学理论中去。创新思维的特征主要表现在主动性、独创性、求异性、发散性和综合性等方面。

（1）主动性

主动性是指人在完成某项活动的过程中，来源于自身并驱动自己去行动的动力的强度。对客体的创造性发现需要思维主体付出努力和实践，而思维主体的思维方式的设计会对创新思维的结果产生重要的影响。思维主体的主动性是创新思维的重要驱动因素，缺乏主动性将很难形成良好的创造性结果。

（2）独创性

独创性强调了思维的独立性和差异性。从创新思维的定义和内容可以看出，创新思维的独创性主要表现在新思想、新观点和新方法的发现。而这些新思想、新观点和新方法的发现应建立在独立思考的基础之上，并表现出其中的差异性。这要求思维主体应该不受已经形成的思维定式和思维惯性的禁锢，打破思维界限，对相关知识的理解和应用提出自己的见解，提出合理的新的突破点，使得认识主体对客体的认识进一步深化。

（3）求异性

求异性是创新思维最为本质的特征，要求思维主体要通过各种思维方法找到与思维客体之间的不同之处，通过运用前述的独创性，打破已经形成的思维定式和思维惯性的限制，找出和传统习惯与已经存在的先例不同的思维点，得到新的创新点。求异性要求创新思维主体在已有的知识系统基础之上，寻找新的突破点，找到解决问题的新思路。

（4）发散性

发散性是指在创新思维的形成过程中要将思维客体的相关要素进行联系。对某一问题的条件和结论要进行扩展思维，结合相关知识，并对其举一反三，深入其本质理解问题。发散性可分为横向发散和纵向发散。横向发散主要包含了对一个问题的理解，带动相似问题的理解和解决，并找出其中的共性，得出其本质规律。纵向发散是指对一个简单的问题进行深化，在条件进一步深入的情况下，提出新的设想，分析新出现的问题，并思考其解决办法。大胆怀疑，精心求证。将一个问题进行灵活多样的发散思考，从不同的角度来思考同一个问题，将其融会贯通。

（5）综合性

综合性要求思维主体能够正确处理整体和个体的关系。不仅要解决个体问题，更要从整体上思考问题的来龙去脉。挖掘表现形式不同但实质相同的问题，在解决一个问题的同时能解决一系列问题。从各种信息中提炼出有用的条件，将其归纳、整理，并总结出有用的思路，从而达到创新思维的目的。

创新思维的以上基本特征体现在思维过程的各个阶段，深入了解并运用这些特征对创新思维的形成具有十分重要的作用。