逆向思维：数学教学的核心

（一）中学生逆向思维能力培养的必要性

解答数学问题的正确与否，解题速度的快慢，解题路径的弯与直，这些都能较好地体现一个学生对于自己所学的知识是否掌握得够全面和熟悉。随着新课程改革的推进，学生的合作探究性学习、讨论交流式的学习得到进一步的强化，这也就要求教师改变以往的态度，要以学生为主体，培养学生的思维能力与创新精神。在学会数学知识、数学的思想方法时，也要注意学习社会的实践技能以及思维能力的提升，教师还应当了解学生是怎样思考的，引导学生正确思考，也要打破思维的定式，培养学生从反面来思考问题，即培养学生的逆向思维能力，从而使学生真正地做到用大脑去学习，也可以激发学生对问题全面思考，可以达到培养学生创新思维的目的。

另外，逆向思维的培养能够使人们保持一个积极的心态，对学生的将来起着至关重要的作用。在现代的教育模式下，学校里存在着以应试教育为主导，以教师的教和学生的学为主的模式，对于学生逆向思维的训练及培养有所欠缺。而且很多中学生面对数学中的某一个命题时，往往只是记住或证明该命题，而对该命题的反面思考却很少。因此，学校该如何正确有效地培养学生的逆向思维能力是一个有待研究的问题。如果学生能够在做题时想到利用逆向思维来解题，那对于某些题目而言将会提高学生的解题速度和解题能力。对于思维来说，在心理学上把人的思维当作心理活动的自然过程，揭示了思维的产生、发展以及思维和语言习惯的联系和在不同生理发展阶段上的规律和特征。其中，认知心理学是一门主要研究思维问题，试图了解推理、问题的解决、记忆等问题，概念的形成、推理与问题的解决是思维活动的主要形式，思维是对客观事物间接的概括和反映，反映出事物的本质属性和事物间的规律性联系。思维的间接性与思维的概括性是思维的两大特性。另外，思维是人类与其他动物区别的本质特性之一，被恩格斯誉为“地球上最美丽的花朵”。《普通心理学》认为思维是人脑借助于语言、表象、或动作而实现的，对客观事物的性质及其关系的概括和间接的反映。思维的概括性、思维的间接性、思维对经验的改组为思维的三个特征，改组的结果对于新的思维的产生，新的思想、新的理论的出现都有着重要的作用。现代的教学形式强调以人为本，课堂的教学要以学生为中心，而并非传统的教学模式以教师的教为中心。这种思想正是建构主义理论的核心内容，即以学生为中心，强调学生对知识的主动探寻以及对于学习的知识意义的主动构建，而不是传统的“满堂灌”“填鸭式”的课堂教学。建构主义认为，学生获取知识的途径不是简单的通过教师的传授，更多的是在一定的环境中借助他人的帮忙，运用相关的资料，通过意义构建的方式获得。因此，建构主义的四大因素为情境、协作、会话以及意义的构建。在教学过程中，应当把思维和知识通过合作探究来达到吸收，把学生的认知主体作为首要的任务，同时重视教师的指引，让教师成为学生的“帮助者”和指引方向的“向导”。

（二）培养逆向思维能力在数学教学中的价值

逆向思维对于数学而言，是一种很重要的思维方式，从固有的习惯思路的反面出发来思虑与分析题目。但是，对于逆向思维而言，并非只是把我们通常所习惯的正向思维倒过来再走一遍，具体的表现为数学定义、公式、法则和定理等的逆向运用。从这可以看出，逆向思维能力对于培养中学生思维的活跃性、思维的开放性，以及培养中学生的创新精神都有着重要的意义。无论是成绩好的学生还是成绩比较落后的学生，培养他们的逆向思维能力都是不可或缺的。有利于数学落后的学生提高自己的自信心，改变纯数学的应试训练的模式，强化基础知识和基本方法的教学，为他们在以后的专业课程和生产实践中应用数学打下基础；对于成绩好的学生，学习数学会更加感兴趣，将来他们的思维与创新也将会有所进步。所以，逆向思维对于加深学生对基础知识的理解与掌握，对于解题过程中学生思路的开拓、分析问题能力的提高都有着很大的作用。在拿到一个题目时，学生不只是从该问题的某一个角度死钻牛角尖，他们的思维会更加活跃与开阔，会从其他角度入手，从而找到新的解题思路。而且逆向思维能力对于学生的解题技巧的提高以及创新能力的培养也有很大的作用。在课堂的平时练习中，学生能够通过变式练习、一题多解等来强化自己的思维能力，培养自己独特的思维方式，能够培养自己的观察能力、探究及想象能力。在解决问题的时候，创造出不一样的解决办法，避开固有的思维定式的影响，冲出固有的思维框架的束缚，在探究的学习中，在交流合作的基础上，创造出不一样的思想和结论。

在波利亚的著作《怎样解题》中，也写到了“倒着干”的方法以及在做完题后的回顾与反思，其中也都涉及了逆向思维的模式和对于解题后的反思研究的思想。波利亚是美籍匈牙利人，1887年生于布达佩斯，1985年卒于美国，是著名的数学教育家，长期从事于数学方面的研究。并且他的数学研究最明显的特点是兴趣广，在概率论、组合数学、几何和代数等方面都有过研究，出版了很多著名的著作，其中涉及了数学教育和数学思维的为《怎样解题》《数学与猜想》等，都被翻译成多种语言文字，对于以后数学教育的发展起着至关重要的作用，被广为流传。在《怎样解题》中，波利亚介绍了在解题过程中自己的一些看法，并将这些看法、观念和想法浓缩成为一份“怎样解题表”，并指出了解答数学问题的四个重要步骤。(www.xing528.com)

第一，弄清题意。首先对于一个数学问题，所要求解的结论或未知数是什么？已知数有哪些？题中所给的条件有什么？由这些条件推出结论的可能性怎样？要解答此题，这些给出的条件是不是足够了？是否有多余的条件？所给出的已知条件是否是冲突的、有矛盾的？然后画出一张图表，用合适的符号表示出来，最后将条件的各个部分分开，你是否能够写出来？

第二，寻找已知条件与未知数据之间的联系。首先你能否找出已知与未知的直接联系，如果难以找到，可以考虑其他方案，并且设计一个解题的大概方案。第一步，你以前是否见过类似的问题，或者知道一个可能用得着的定理、法则、公式等？对于这道题而言，能否将它转化为自己熟悉的数学问题？第二步，解决不了此题的全部，是否可以解决它的一部分？保持题目中的部分条件不变，舍去其余部分，这样能够把结论确定到什么程度或者它还会如何变化？第三步，能否从已知的条件中得出某些有用的东西，对确定未知数据有所帮助，或者改变已知与未知，是否得出一些相近的结果？第四步，对于题目所给出的已知条件是否全部用上了？

第三，执行计划。完成你已经计划好了的解题步骤，检验每一步骤，能否确认每一步解题的正确性？

第四，回顾与反思。检验计算出的结果的正确与否，对于此题，你是否还能想到其他的解题方法？能否在其他的题目中运用此结论？

上述解题的步骤是波利亚在分解解题的思维过程中得到的，这些解题的步骤与思维的方法看起来平常无奇，但是包含了许多数学教育工作者智慧的结晶以及经验的总结。其实，在我们的解题过程中，也思考过这四个步骤中的某些问题，只是没有意识到而已。如果学生能够按照此步骤解题，学生的思维将会受到良好的训练，不仅能提高学生的解题能力，更加有益于学生的思维习惯的养成。逆向思维的方法在波利亚的《怎样解题》中也有体现，“倒着干”的思维方法就是最好的体现。当我们在解决某一个问题的时候，如果直接利用已知的条件很难找到解决问题的办法时，我们不妨从该问题的反面来考虑，逆向来思考此题，将会有不一样的收获。