中学生数学形象思维能力的培养措施：打开数学本质

（一）揭示形象的产生过程，建立丰富意象

在数学形象思维中，意象的作用很大。我们在思考数学问题时，如果对数学概念不熟悉，那么进行形象思维就很困难，不能快速而准确地建立意象，而没有很强的意象，接下来在大脑中也就很难形成清晰的数学表象，数学形象思维也就很难开展。

所以教师对概念的教学要特别重视，尤其对初学数学者，在这方面更要有耐心。那么，什么是意象呢？意象是具体事物的直观表象。在数学教学中，教师应尽可能多地使用直观教学，多向学生展示事物的直观模型或各种事物的图形等，让学生能充分地建立意象。比如，在北师大版教材九年级下册第三章“圆”的第一节“车轮为什么做成圆形”的教学中，教师没有直接告诉学生圆的概念，而是先拿一个圆形的教具作为直观模型展示给学生看后，提出问题：“大家都很熟悉汽车，但大家有没有想过，为什么车轮要做成圆形，而不是长方形、正方形或其他形状的呢？”这样一来，学生就会认真观察这个车轮圆形教具，然后思考车轮做成圆形是因为这样车子才滚得动、滚得稳，我们坐车才不会颠簸。从以上案例分析可知，教师要给学生创造各种条件，以引导学生形成意象，抓住事物的本质，得到结论。这样一来，学生学的知识才会牢固，不至于那么抽象、难以理解。

在数学定理的教学中，教师也要尽可能地使用直观教具，先让学生感知，形成意象，再猜想定理的内容，然后用数学语言予以描述，最后引导学生证明这个猜想的成立，形成定理。但是，现在的很多教学，虽然教师也有使用教具，但往往是形式，教师为了完成本节课的教学内容，没有给学生充足的时间观察、讨论，所以学生还是缺乏表象的加工，增加了问题的抽象性。比如，有些教师在概念教学中，往往先把概念展示给学生，然后再举出一些相应的例子。这样知识就好像是教师强加给学生的一样，学生还是对知识掌握得不牢固。而应该先通过学生自己的观察、分析和思考，再通过教师的进一步讲解得出，这样学到的知识才牢固。如果学生学什么知识都要靠记忆，在没有形成表象之前就进入抽象的阶段，那么学生的形象思维不仅得不到发展，还会越来越薄弱，最后导致学不好知识，甚至丧失学习数学的兴趣。在教学中，很多细节虽小，但很重要，而很多教师往往不注意。比如，对几何题的教学，一般都要结合图形来进行讲解的。但有些教师为了节省时间，在教学前就把图形画好了，有时候这样反而不好，因为如果教师一步一步画图的话，学生可能在观察教师画图的过程中就会产生解题的灵感。也就是说，如果教师已把图画好了，那么学生就缺乏表象的加工阶段，思维就不够活跃，会影响意象的建立；反之，则学生的思维就会很活跃。实践表明，在表象加工的过程中，学生的学习兴趣最浓，学习的积极性最高，求知欲望最强烈，思维最活跃。所以，教师要有目的地把图形一步一步展示给学生，还要引导学生反复观察，并加以描述。这样学生的表象能力能够得到进一步加强，长此以往定会收到良好的教学效果。这些效果要比教师不给学生充分时间观察、思考，而是教师自己大讲特讲的效果好很多。因此，教师不要忽视学生意象的产生，这是培养学生数学形象思维能力的基础，也必定对学生思维能力的后续发展起决定性作用。表象的加工影响着意象的建立，同时影响着数学形象思维能力的发展。因此，培养学生的数学思维能力具有非常重要的意义。

第一，通过展示表象的加工过程，丰富学生的数学意象，培养学生的数学形象思维能力。感知只是对事物直观的、表面的、个别的反映，而概括则是对事物内在的、本质的反映。这种从感性认识到理性认识的转化是一个辩证的思维过程，是从量变到质变的飞跃过程，这个飞跃要用表象作为桥梁来过渡。表象虽然有些抽象，但它毕竟比较接近思维。所以利用表象，可以让学生脱离原有的具体事物，就能顺利地想到解决问题需要用到的数学知识。

学生之所以觉得数学学习比较困难，就在于他们刚学习数学时对数学学习没有入门，即在由直观到抽象的转折点上没有把握好。这个时候就非常需要教师的帮助，在这个转折点上，需要教师提供搭好的桥梁，帮助学生进行表象的加工。在教学时，教师可让学生先将大脑中储存的所学过的知识梳理一遍，理出头绪，然后对所要解决的问题需要用到其中的什么知识，再想到用具体的事物形象来解析。讲解时，教师要一步一步地启发学生，逐步进行表象的加工，并逐渐加深，让学生知道数学概念、数学术语可用具体的形象来说明，以加深学生对数学概念的理解。

第二，让学生通过观察数学式子来引导意象。以北师大版九年级下册第一章“直角三角形的边角关系”中三角函数的定义为例。课本以实例一步一步引导得到正切、正弦和余弦的定义，并且这些定义的得出都是由直角三角形的边来表示的，它们之间是有关系的，可以互相表示。如果教师在教学一开始就引入三角函数的定义，接着就举例说明三角函数在实际生活中的应用，这样教师就是“填鸭式”教学，是传统的陈旧的“满堂灌”。教师可根据生活中的例子，如梯子的陡与否受什么因素影响，让学生产生疑问，然后学生之间再思考、探究和讨论。这样学生通过自己的亲身探究从中可以观察到，各个三角函数之间是可以互相表示的。通过这样形式得到的知识，学生才会掌握得牢固，而且他们在应用所学的新知识来解决实际问题时，会更加自如。因为这样做就使得抽象的概念通过学生自身的消化，自然而然地上升到概括后的表达式。

我们在前面已经知道，形象思维具有整体性和跳跃性，所以在学习数学新知识时，教师要尽可能给学生提供学习新知识所需的背景，同时有步骤、有条理地设计能逐渐引向问题本质的问题，让学生去观察、思考和体会。有时我们在考虑一些比较复杂的数学问题时，往往会受到复杂图形的干扰，不知道从哪里入手去解决。事实上，我们应该从复杂的图形中寻找到基本图形，从而抓住问题的本质。当然，有时我们考虑问题也应该从整体去考虑，这就是在数学学习中的整体思想，这种整体思想在数学解题中是很常用的。比如，已知a+b=7，ab=5，求（a-b）2的值。对于初一年级的学生来说，还没有学习二元二次方程组的解法，所以学生无法分别求出a，b的值，也就无法求出（a-b）2的值。此时，只能用整体代入的思想了，也就是把a+b的值和ab的值当作一个整体，把要求的式子（a-b）2转化成含有a+b和ab的式子。我们联想到完全平方公式，可知（a-b）2=（a+b）2-4ab，这样我们用整体代入思想就可以求出（a-b）2的值了。

在新的数学课程标准中，非常强调让学生认识到学习数学的价值，体会数学学习的背景，并从学习中感受数学的魅力。所以从实际的背景中学习数学、掌握概念，学生会比较容易接受，而不是只靠记忆为主。比如，我们都知道，在数学中，点是没有大小之分的，如果教师只是这样告诉学生，学生就会觉得难以理解。但如果一开始要求学生先拿出地图，然后从中找出某个城市的位置，再告诉学生这个结论，学生就直观易懂了。

培养学生的形象思维能力，还要给学生提供一些感性比较丰富的材料，以便学生能快速地抓住问题的本质。有时提供的材料还要注意变式，这样可以把问题的非本质属性也揭露出来，让学生更好地把握问题的解决办法。学生在建立意象的过程中，目的要明确。为了让学生较好地建立意象，教师必须多举例，但所举例子不必太花哨，能直观说明问题就好。另外，教师还要注意，用来说明的语言也要简洁易懂。

教师在教学中，还要注意知识之间的联系和区别，以及知识之间的迁移。学生学习的数学知识不是干巴巴的，而是与所处的现实生活联系密切的，离不开学生日常的生活经验。事实上，学生所学的知识从某种意义上说并不是新知识，而是旧知识。因为这些知识基本上都是前人从他们的生产和生活实践中总结归纳出来的，现在学生只不过是从自己的生活现象和生活经验中再认识这些知识。因此，学生在日常生活中要注意经验的积累，形成正确的学习方法，减少负迁移。

（二）掌握形象的规律特点，培养学生的联想能力

教师在教学中常常会发现许多学生思路不够开阔，思维能力不强，其中一个突出的原因就是学生不善于联想。这与很多教师对培养学生的数学形象思维能力不够重视有关，导致学生不能充分发挥形象思维在联想方面的作用，限制了学生思维能力的发展。

联想要求学生能对数学知识理解透彻、熟练应用。联想能使学生顺利地实现知识的迁移；联想可以使学生把所学过的知识系统地联系起来，不至于一团糟、没有头绪；联想还可以使学生的思维触类旁通、举一反三、由此及彼。因此，在教学中，教师要尽可能创造条件，让学生充分发挥数学形象思维，引导学生多提问、多质疑，鼓励学生一题多解，并让学生多做由数想形、由形想数的思维训练。

教师应让学生多做代数知识与几何知识之间转化的题目，促进学生的思维。比如，代数知识中的公式经常要用几何图形来加以说明，以使抽象的公式变得直观易懂。这样一来，也能够使学生更加牢固地掌握知识，提高学生的思维能力。例如，七年级下册学的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，不仅可以用多项式乘以多项式的法则计算得出，还可用如图3-3所示的几何图形进行验证，大正方形的面积可以表示为大正方形的边长的平方，即（a+b）2，也可以分成四个图形的面积的和，即a2+2ab+b2，因为它们都表示大正方形的面积，是相等的，从而验证了这个公式。

图3-3　用大正方形表示完全平方公式

对于代数知识用几何意义来说明的教学，在数学中是很常见的。这也说明数学是代数和几何不分家的。除了通过教学例题来培养学生由代数式子联想到相应的几何图形的能力之外，还要通过习题课，多给学生补充相应的例题和习题来进行这种能力的训练。

如果学生能用多种数学语言来表述同一个数学现象，那么就说明这个学生真正掌握了所学的数学知识。能用多种语言来表示，不仅可以使学生加强对概念、公式、公理、定理和法则的理解，也能帮助学生更顺利地解决问题。在数学思维过程中，形象思维和逻辑思维是交替进行的，其中数学语言之间也是不断转换的，所以能提高学生的思维能力。

每个学科都有自身独特的特点，数学学科也不例外。数学学科的独特点在于，很多的表达都需要用数学符号语言结合图形来完成，否则很难将一个问题表达清楚。所以，进行数学教学，很多时候是进行符号语言的教学。比如，绝对值可用“||”表示，平行可用符号“//”表示，垂直可用符号“⊥”表示等，数学的表达不可避免地要使用数学符号，这样一来可使我们的表达简练，二来使我们的表达直观、形象易懂。

所以，要想学好数学，数学语言的各种转换要能灵活进行，这样数学形象思维能力的培养才能得到进一步的落实，只有数学形象思维能力培养好了，学生的整体思维水平才能得到最大限度的提高。

（三）挖掘形象的内在潜力，培养学生的想象能力

在数学教学中发展学生的数学形象思维能力，也要发展学生的想象能力，因为想象也是形象思维的一个方面。想象力丰富，就好比给思维穿上腾飞的翅膀，有了这腾飞的翅膀，还怕数学学不好吗？培养学生的想象能力，应遵循以下五个原则。(www.xing528.com)

第一，利用直观教学，引导学生合理地想象。在课堂教学中，教师要充分发挥实际事物或直观教具的作用，吸引学生的注意力，让学生从不同的各个侧面观察它们，以获得想象的来源。比如，在讲相交线和平行线时，教师可以利用多媒体先向学生展示交叉的道路、笔直的铁轨、城市立交、一些建筑物的侧面等实物图片，让学生直观感受，然后再从中抽象，想到是相交线和平行线。

第二，利用实物模型或几何模型，加深学生的想象。比如，正方体的表面展开图会是怎样的呢？如果单叫学生想象，那是很难得出结果的，即使能得出也不够全面。此时，教师应引导学生自制一个正方体模型，然后再沿着棱剪开，那么就可以得到正方体的平面展开图了，并且沿不同的棱剪开，会得到不同的结果。教师再把所有学生的成果归纳在一起，就可以得到所有的结果了。或者叫学生将自己想象的平面展开图通过折叠，看能否折叠成一个正方体，如果可以，那么它就是正方体的平面展开图了。

第三，创设丰富的问题情境，增强学生的想象。在数学教学中，为了调动学生学习的积极性，激起学生的求知欲望，教师经常要根据所学的知识，适当创设合理丰富的问题情境，以使学生的想象得到加强，让所学知识得到牢固掌握。比如，学习有理数的乘方，在这节课一开始，教师可以先创设一个情境，出示细胞分裂示意图，然后给出问题：某种细胞每经过30分钟便由1个分裂成2个。经过5个小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？

第四，鼓励学生发问，提高他们的想象力。现在的新课程标准鼓励教师多出开放题，开放题有条件开放、过程开放和结果开放这三种情形。开放题不再使学生的思维固定在某一个方面，而是从多个角度去思考，提高了学生的想象能力。在教学中，教师也要多鼓励学生敢于对教师的问题提出质疑，并发表自己的看法，提出自己的问题。长此以往，学生的想象力定会得到很大的提高。

第五，教师的教学和学生的实际生活紧密联系，可丰富学生的想象。想象不是凭空的，它也应有物质基础，这个基础最多的就是学生自己的生活实际和生活经验。教师要鼓励学生多去观察生活、体验生活，这样才能为自己的想象积累素材。

（四）重视数学思想方法的教学，促进两种思维的有机融合

用来解决数学问题的思想方法有很多，如分析、演绎、分类、类比、化归、转化、归纳、整体思想、数形结合思想等，这些方法的使用都能提高学生的形象思维能力，其中数形结合的方法更是如此。在运用数形结合思想解题时，既用到逻辑思维，又用到形象思维，所以数形结合思想的使用能促进两种思维的有机融合。事实上，小孩从一开始学知识就用到了数形结合的思想方法。例如，认识数字“1”，大人会拿一支笔或一根筷子给小孩看，从而使他形象地记住这个数字；又如，初学数学的低年级学生的教材，一般都是在数字、文字的旁边配上鲜艳的各种形象的图形，目的就是使他们能更形象地接受所学知识。随着年龄的增长、学习知识的加深，数形结合的例子、题目等会越来越抽象，逻辑思维与形象思维的程度也逐渐加深，但它们之间的融合会更深化。

数形结合的思维方式能让学生迅速地联想到所用到的知识，有时是由“形”想到“数”，即由数学图形联想到如何用数学式子来表达；有时是由“数”想到“形”，即由数学式子联想到利用什么几何图形来直观解释。这就好比在“形”和“数”之间架起了一座桥梁，通过这座桥梁，能迅速地把“形”和“数”联系起来，从而达到培养形象思维能力的目的，更好地促进思维能力的发展。“数”与“形”转化的过程，也是思维逐渐加强深化的一个过程，逻辑思维与数学形象思维的联系更加密切，所以这对发展学生的思维能力有着重要的意义。在教学中，教师应加强对学生数形结合思想的渗透，并有意识地进行训练。利用新旧知识之间的联系，借助图形使学生认识同一类事物所具备的共同特征，从而巩固旧知识，解决新问题，使思维趋于深化，这是教学常用的手段。

学好数学，注重的不是结果，而是得出正确结果的求解过程。数学不是靠死记硬背就可以取得高分的，而是要在平时的解题中总结归纳解题方法，做到举一反三、触类旁通。所以，数学的学习重在会分析问题。例如，几何证明中分析问题常用的方法有演绎法和归纳法。演绎法是从要求的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，然后再把分析的过程反过来写，就成了证明的过程。归纳法就是从题目的条件出发，利用公理和已经证明过的定理，一步一步得到证明结论的方法。

比如，如图3-4所示，在△ABC中，BF平分∠ABC，FD⊥BC于D，FE⊥AB于E，求证：FD=FE。

图3-4

分析这道题，显然是通过证明△BDF和△BEF全等来证得结论的。

∵FD⊥BC，

∴∠BDF=∠EBF=90°，

∵BF平分∠ABC，

∴∠DBF=∠EBF，

又BF=BF，

∴△BDE≌△BEF（AAS），

∴FD=FE.

对于数学的教学，教师还要注意教给学生识别基本图形的方法。比如，同位角、内错角、同旁内角的识别，关键是找三线，即两条被截直线，一条截线。其基本图形可分别用F型、Z型、U型来表示。再如，平行线分线段成比例定理的推论中，找三角形相似，就有两种基本图形，即A字型和8字型。学生要会从其他复杂的图形中分辨出这几种基本图形来。