数学形象思维：层次、类型及表象活动

（一）形象思维

1.形象思维的提出

有关形象思维的理论已有很长的历史，而“形象思维”的第一次提出，却是在近一百多年前。无论是在国外还是在国内，人们对形象思维的研究都是从某些具体特性开始，再到理论上的概括，最后构成理论体系的。俄国民主主义文艺理论批评家别林斯基首先把“形象”和“思维”结合起来，鲜明地提出“形象思维”并对其做了具体而系统的论述。

2.形象思维的含义

形象思维是人类认识世界的思维方式之一，在艺术创作中要用到形象思维，在审美活动中也要用到形象思维，就是在农民种田、工人做工、教师讲课、商人经商、科学研究、日常生活中，也都要用到形象思维，只不过使用的多少和具体操作情况不同而已。

形象思维有不同的层次和类型，有广义和狭义两种。比如，艺术思维是狭义的形象思维，但它不是确切的形象思维。形象思维的真正含义比艺术思维更宽广，艺术思维比形象思维更具体。形象思维不等于艺术思维，艺术思维隶属于形象思维，是最高层次的形象思维。广义的形象思维就是人们在对客观世界的认识中，利用假象、运用形象，反映事物本质、揭示事物规律的思维形式。

3.形象思维的特点

（1）形象思维在整个思维过程中都离不开现实的、实际的感性材料

原始的表象思维和日常的自发形象思维是这样，艺术思维就更是这样了。在形象思维过程中，表象活动非常丰富。表象是客观物体反映在人脑中的具体形象，表象要经过一系列映现、整合、加工、改造的过程。也就是说，表象的形成过程是主观思想情感与客观事物的相统一、客观事物的具体形象与内在本质的相统一、思维主体的感性认识与理性认识的相统一。在这个过程中，思维主体的认识从感性上升到理性，思维客体的外在和内涵都更接近主体。从思维材料看，表象转化为意象，没有完全舍弃具体的感性材料，都是运用具体的形象进行的。

（2）想象在整个思维过程中具有非常重要的意义

形象思维最开始就要用到想象，并且虚构的时候也要用到想象。在原始表象思维中，主观世界和客观世界相互作用，表象和表象之间的联结说明了所有事物都是有联系的，并且跟再造性想象有关。在日常生活中，我们会发生自发的形象思维，这都跟形象联想和再造性想象有关。

（3）形象思维在整个思维过程中都会有较大的情感活动存在

原始表象思维都是要有固定的图形，然后通过观察之后形成的，其中会带有强烈的感情色彩。日常生活中自发的形象思维也会伴随感情，在艺术思维创作中则更需要创作者的个人感情。情感对艺术创作有强大的推动作用，情感来自艺术家对日常生活的观察、体会、再认识和审美能力。

（二）数学形象思维

1.数学形象思维的含义

数学形象思维是思维的一种形式，它深深地体现了人类的智慧。数学思维有计算能力思维、逻辑能力思维、几何推理能力思维等，这对于全世界的人类来说都是一样的。数学思维与其他思维相比，具有其不一样的独特特征。

数学形象思维就是通过对数学对象的直观感觉并对其特点进行归纳、概括的心理过程。数学形象思维是独特的，需要人对它产生强烈的映像，之后内心产生强烈的冲击而形成。

2.数学形象思维的心理元素

认识一种思维，首先必须认识它的心理元素。心理元素是最基本的东西，只有把数学形象思维的心理元素找出来了，才能真正透彻地研究数学形象思维。那么，数学形象思维的心理元素是什么呢？

数学形象思维的心理元素不是数学物体，数学物体仅仅是数学形象思维的物质基础之一，它是存在于思维外部的。我们在思考数学问题时，一般都是很安静、很专注的，而不会大声说出话来。只有在把问题思考透彻，找到问题的解决办法，得出问题答案或对问题有疑问时，才会说出来，或是百思不得其解时，把问题拿出来讨论。不仅是语言，甚至连代数符号对于我们来说，也是同样的情况，只有在进行极为容易的演算时，我们才使用代数符号，一旦问题很复杂，这些符号对于我们几乎就成为沉重的负担了，此时我们就用完全不同的方式来表述思想。

数学形象思维是一种心理过程，它是由思维的主体自发的。数学物体呈现在主体面前时，主体就会发生明显的感觉，然后主体再进入思维过程。在数学活动中，数学物体首先刺激人的感官，然后人通过感官才产生知觉，最后通过人的心理活动把物体的外在表现出来。知觉的形象是由物体的直接呈现所决定的，没有物体的直接呈现，就不会有知觉。但是，物体或远或近的呈现对知觉的产生是不一样的。近距离的物体呈现，知觉会强烈一些；远距离的物体呈现，知觉会更弱一些。所以，知觉形象也不是数学形象思维的心理元素。

数学形象思维的心理元素也不是形象的数学符号或数学图形，而是生活中活灵活现的东西映现在大脑中的模糊形象。数学表象是人脑对数学物体进行各种结构特征进行概括而得到的反映主体主观意念的形象，所以它具有形象性，但这种形象不等于数学物体表象，也和知觉的形象不相同，它是渗透了逻辑思维的，还有外在的数学语言的作用，并进行具体的较为理想的形象。数学物体表象不受数学物体的限制，主体可以对数学物体表象进行比较适合自己意愿的加工、组合和改造。

从以上说明，我们可以看出数学表象是数学形象思维的心理元素。(www.xing528.com)

从所给材料内容划分，数学表象包括图形表象和图式表象。图形表象是几何图形在人脑中感知而形成的表象；图式表象则是数学式子、关系式等在人脑中感知而形成的表象。

从思维创造性来划分，数学表象包括记忆表象和创造表象。记忆表象是指人脑对现有图形的直接经验；创造表象则是人脑对现有图形的主观经验。创造表象高于记忆表象，它以记忆表象为基础。创造表象也与想象力有很大的关联，在解决数学题时，创造表象往往起决定作用，同时想象力丰富的人往往创造表象更深刻。记忆表象一般都是从比较具体的、形象的图形、公式、法则、定理等出发，在人脑中留下深刻的直接的印象，它是比较具体的，之后才需要学生来慢慢体会、理解。创造表象就比较抽象，首先要求学生理解，然后在此基础上进行归纳、概括。它有一个从一般到抽象，再反过来从抽象到一般的过程。从具体到抽象，是解决数学问题的常用方法，抽象的程度不同，学生的心理过程、产生的创造表象的结果也往往不一样。

从构成的角度来划分，数学表象包含单象和复合象。单象就是单个的数学表象，它是最简单的表象。单象的属性就是单个事物所具备的形状和本质。例如，单一的点、线、面在人脑中反映的表象就是单象。两个或两个以上图形的单象的组合就是复合象。复合象根据组合形式的不同可分为两种：一种是直线型的组合。比如，当我们看到用符号语言表达的对象“一个三角形内接于一个圆中”时，就会产生由一个三角形的表象和一个圆的表象组合成的复合象。另外一种是抽象型的组合。比如，“数学变换”就是由一些像“恒等变换”“映射变换”等单象经过抽象性的组合而形成的复合象。不过，单象和复合象的划分只是相对而言，它们可以互相转化。从整体上看，复合象也可以看作单象，而单象有时也可以看作由其他的单象组合而成的。所以数学表象具有可分性和整合性，这也使得数学形象思维有多种形式的表现，丰富多彩。

从层次结构来划分，数学表象包括低级表象和高级表象。例如，恒等变换就是低级的数学表象，映射变换、化归思想、方程方法等数学思想方法就是最高级的数学表象。

数学表象的主要特点包括四个：第一，形象性。数学表象是人脑对数学物体表面的反映，是数学活动在人心中的表现。由于物体有形象，所以数学表象有形象性的特点，只不过它在人脑中比较模糊，没有具体事物那样清晰、明朗。数学表象的形象性多种多样，数学定义、命题、公理、定理、公式、法则抑或是推理论断，都有其在人脑中的整体形象，如果从不同的角度去观察它们，又会产生各种不同的形象。第二，抽象性。首先，由于数学表象是人脑对数学物体表面的反映，再加上数学具有抽象性的特点，所以数学表象必然也具有抽象性的特点。其次，由于数学表象主要是由视觉和知觉共同作用产生的，在认知的基础上分析、理解、比较、综合，并且视觉和知觉有抽象的功能，所以数学表象具有抽象性的特点。最后，由于数学表象存在层次性，即从低级的具体的记忆表象到高级的抽象的创造表象，因此数学表象具有抽象的特点。但这种抽象跟数学语言的抽象不同，形象的抽象是一个心理表象的形成过程，而数学语言的抽象则是在形象抽象之上的再抽象，即将数学表面形象转化为用数学语言表达，这表现在数学表面形象跟思维主体是分离的。第三，主观灵活性。数学表象是人脑对数学物体表面的反映，它以个人过去累积的经验为基础。除了固定不变的图形或实物模型的表象外，数学表象是自有的、会变化的、不够清晰的，在进行交流时也会变得比较困难。数学表象相当于存在于人脑中的一幅若隐若现的“图画”，由于人脑是一个高度发达的动力系统，它能灵活而快速地把它们重新进行组合并互相转化。所以数学表象具有主观性、灵活性。第四，创造性。数学表象是建立在既有的知觉基础之上的，由于大脑中储存有大量的形象信息，所以数学表象具有灵活、易变化的特点，它能对那些储存的信息进行各种各样的类比、比较、分析、选择、再加工等，而使我们不再是死板地解决问题。许多案例表明，我们在做题时不能过分依赖现成的数学语言或符号、过分依赖现成的经验，否则思维就会停滞不前。课本上的数学概念都是前人经过实践检验证明的公认的成果，通常来说，它给我们的印象是不能改变的。而我们在用数学语言来推理已知和未知之间的关系时，数学表象就会很活跃，会帮助我们产生各种各样的解题方法。所以，数学表象具有创造性的特点，它为创造提供了良好的条件。

3.数学形象思维的形式

钱学森教授称形象思维的研究是“思维科学的突破口”。一些思维科学研究者把抽象思维称作“狭义的思维”，把形象思维称作“广义的思维”，并提出“表象是形象思维的基本元素”。在思维科学研究中，形象思维的研究是一个十分重要的课题，它对研究形象思维的过程及其规律都有很大的帮助。

（1）表象是人的大脑对以前刺激于感觉器官的各种事物的形象反映

个别表象是人脑中对某个具体事物形象的再现，一般表象是人脑中对某一类事物形象的再现。数学表象则是人脑从具体事物中，通过对其形式结构特征进行概括而得到的形象。例如，乒乓球、足球、篮球、排球的形象在大脑中出现时分别是不同的个别表象，而从这些球类中概括出来的一般的球形就是球类物体的意识性形象，在这些形象中起特征性决定作用的是构成球形的那些弧形线条，这就是数学表象的一种。各种几何图形的表象其实就是对客观存在的现实事物进行概括的由最基本的几何图形点、线、面所组成的整体映象。这种概括是人脑对几何图形的多角度的整体概括，它跟直线型的抽象的概括所形成的映像不同。比如，数学中的平面图形三角形、四边形等形象是人脑对日常生活中各种各样的具有类似三角形、四边形的物体形状而创造出来的形象，是对具体的物体形象进行再加工和整合形成的。知觉形象是人脑对客观物体的初次的直接反映，而这些形象在头脑中再现时的表象就已经是这个事物的间接反映了，是通过人脑对这些事物进行加工、概括之后的特征了。知觉超出了直接感性认识的范围，达到了对事物本质特征和对事物多角度的全方位的认识，并且这种本质认识是通过人脑筛选加工过的具有主体观念性的形象。所以，数学形象思维的基本元素是数学表象。形象思维从最原始的表象思维形开始，人脑可以对几何图形等进行不受限制的多种形式的加工、组合，还可以渗透进逻辑思维，对各种各样的表象进行类比、比较、分析，从而得到各种程度不同、类别不同、深度不同的具有概括性特征的表象，形成表象系统。

表象有两个重要的特征，即直观性和概括性。直观性是指表象中出现的事物形象比较生动逼真，很接近客观事物本身。当大脑中出现几何图形时，我们就好像见到真实的图形一样。但是，这种直观性是在大脑中间接出现的，出现的形象比较模糊，不如我们肉眼直接看到的那样清楚、明显，同时也不够全面，不比知觉反映出来的完整。另外，它还比较容易变化，不比知觉反映出来的形象稳定。概括性是指表象中的具体内容，它是综合相同类型的几何图形共同的表面特征的结果。例如，在数学中碰到判断二次函数的系数a，b，c的值对图像位置的影响时，大脑中就会出现一个一般二次函数的图像，即示意图的形象。由这个具有概括性的图像结合具体的a，b，c的值就可以确定图像的位置。

数学表象思维的载体是客观实物的原型或模型以及各种几何图形、代数因式，包括数学符号、图像、图表与公式等形象性的外部材料。它们在人脑中内化为表象时可分为两种基本类型，即图形表象或几何型表象与图式表象或代数型表象。有时则呈现为混合型状态，心理学中把它们统居于表征。

在数学学习中一般都存在表象思维。例如，在几何学习中，一般都要使学生能从复杂的几何图形中辨别出基本的几何图形，抓住图形的基本特征与特定的几何关系，形成正确的表象，并辨识不同关系之间的表象；在代数内容的学习中，也应重视各种代数表达式和数学语言、数学符号等所包含内容的表象。所以，在数学教学中，不仅要发展学生的表象思维，更要培养学生形成表象思维的空间想象能力。

（2）直感是运用表象对具体事物的直接辨别和感知

数学直感是在数学表象的基础上对有关数学事物进行辨别和感知。形象思维的判断活动与抽象思维不同，它不必以概念为中介，甚至不必以语言为中介，它只需将储存在大脑神经网络中的理性意象即一般表象与特征相应的某一事物的感性映象比较一下便能直接做出判别。在数学中，对于直观几何图形的识别，即使没有抽象思维的运用，如对于一个没有学过几何的人来说，他也能根据以前对类似物体的表象记忆，判断出一个物体应该属于哪一类。形象特征判断是根据具体的个别形象用一般性的概括所得出的判断。这种判断既有整体形象的分解，也有个别形象的整合，是形象思维规律直观感知的过程。

直感与灵感不同，直感是显意识，而灵感是潜意识。直感与直觉也不相同，直感是侧面判别整体形象的直觉，而直觉的主要内容在于运用逻辑思维、运用所学知识对要解决的问题进行分析，以便能快速找到解决问题的方向或途径。直觉的范围比直感的范围大，直感是形成直觉的基础。数学直感有很多种不同的形式，主要有形象识别直感、模式补形直感和形象相似直感。其中前两种是简单直感，后一种是复合直感。

首先，形象识别直感是用数学表象这个普遍形象的特点去跟具体数学对象做比较，然后来判别它们是否本质相同的思维形式。数学中的形象识别主要表现在图形位置变换后、数学式子变式后学生能再辨认，以及在图形整合后学生能再辨认。比如，数学中常用的变式教学就是形象识别直感的应用。在数学解题中，形象识别直感对培养学生的思维有着明显作用。在数学教学中，教师要通过多变图、变式的训练来提高学生的形象识别直感能力。

其次，模式补形直感是利用已在人脑中构建的图形模式，对具有相似特征的数学对象进行表象补形，然后再重新组合的思维形式。这是一种由部分形象去推测整体形象，或由残缺不全的形象去补充成完整的形象的直感。在数学解题中我们常用的割补法就是这种模式补形直感。如果大脑中的表象内容越多，则在解决数学问题中的补形能力就越强。在几何问题中，很多题目是需要通过添加辅助线才能解决的，此时补形的方法会引导我们得到添加辅助线的方法。在代数问题中，也有补形的解题方法，如利用配方法解方程 x2+4x+y2-8y+17=（x+2）2+（y-4）2-3，从而可知，当x=-2，y=4时，x2+4x+y2-8y+17 有最小值为-3。

最后，形象相似直感是由形象识别直感和模式补形直感组合而成的复合直感。如果当大脑进行识别形象，而在大脑中找不到以前存在过的本质相同的表象，又不能通过模式补形直感重新组合已有图形时，我们就会在大脑中选择出最接近我们所需目标的已存在的表象或模式来进行识别。通过比较各种形象特征的相同点与不同点来判断判它们的相似程度，并且进行恰如其分的形象思维的加工与创新，使新的形象和原有形象相联结，构成一个完整的链条。这就是解决数学问题时所说的转化、化归思想。

形象相似直感中的形象相似可以是多方面的，数学中解决问题的很多思想如类比、比较、猜想、联想等都是要以形象相似直感为基础的。大脑中图形或图式表象系统越丰富，相似意识的程度就越高，数学形象相似直感也就越敏捷。

数学形象思维过程是一个表象充分运动和变化的过程，在这个过程中，表象进一步得到了提炼和升华。此时，数学问题本身的特征和原有规律就会昭然若揭。所以，要开发学生的智力，就要从培养学生的数学形象思维入手。研究与形象思维有关的课题也显得越来越重要。