类比思想方法在教学中的应用及问题

目前，对类比思想方法的掌握与理解已经不仅仅体现在文本解读上，而是已经渗透到日常的教学与考试之中，注重通过应用来加强对类比思想方法的理解。同时，在日常教学过程中由于学生、教师与评价体系等多方面的原因，导致类比思想方法在应用过程中暴露出一系列问题，影响到类比思想方法的掌握与理解。

（一）在教学中对类比思想方法的应用

2001年，教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，强调对数学应用能力的培养。2011年，教育部颁布修订版的《全日制义务教育数学课程标准》，将原来的“双基”改为“四基”，对学生的能力与要求有所提升，其中强调“关注学生兴趣、习惯、方法和创造意识，能合理推理和演绎推理”等，凸显出国家非常重视培养学生的数学思维能力，所以在日常教学与考试过程中都非常注意培养类比思想方法与考查类比思想方法的掌握与应用能力。

1.在数学教材中类比思想方法的应用

类比思想方法是中学数学中的重要方法之一，是学生必须把握与理解的重要思维方法，中学数学教科书中有诸多体现，凸显出国家对类比思想方法的重视及其独一无二的地位。例如，一元一次不等式是初中数学中比较难但非常重要的一个知识点，故在讲述该知识点时，教材非常注意将其与一元一次方程进行类比，发现其定理、性质与运算过程基本类似，所以将二者进行类比分析，学习起来事半功倍；学习几何知识时，教材将度、分、秒的运算原理与注意事项可与时、分、秒的运算原理与注意事项进行类比分析，发现二者异曲同工；三角形相似是几何知识的难点之一，很多学生对其一知半解，考试时丢分甚多，所以教材讲解该部分时非常注意方法的传授。其实，相似三角形与全等三角形的性质、定理与推理过程存在很多相似之处，故讲授时一定要注意类比分析，促进学生对该知识点的理解与把握，进而增强教学的有效性。

我们以三角形相似的证明过程来论述类比思想方法在教材中的应用，其具体论述过程如下。

如图2-29所示，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于E，△ADE与△ABC有什么关系？

图2-29

直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似，我们可以通过相似的定义来证明这个结论。

先证明两个三角形的对应角相等，在△ADE与△ABC中，∠A是△ADE与△ABC的公共角，

∵DE∥BC

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C

再证明两个三角形的对应边的比相等，

过点E作EF∥AB，EF交BC于点F

在平行四边形BFED中，DE=BF，DB=EF

2.在数学教学中类比思想方法的应用

类比教学方法在日常数学教学过程中应用得非常广泛，主要体现在概念教学、数学定理与运算法则及探究教学方面，基本上涉及数学教学的方方面面。(www.xing528.com)

概念是事物内涵与外延的最基本定义，是研究事物的基础与关键，数学概念在数学学习中也不例外。类比思想方法沟通新旧知识，起着桥梁的作用，如果将数学概念与类比思想方法结合起来考量与应用，则能够有效降低学生对数学概念的陌生感，进而摒弃排斥心理，乐于花时间与精力来学习数学知识。例如，教师在传授“一元一次不等式”时，可以先帮学生梳理“一元一次等式”的相关概念，其主要内容为方程的两边为整式，并且只有一个未知数，该未知数的最高次数为一，如此的方程便为一元一次方程。接着，教师可以通过类比的思想方法将“一元一次等式”的概念应用到“一元一次不等式”之中，寻找两者的相似与不同之处。但类比过程中，很多学生很容易忽视一个先决条件，即“等式两边都是整式”，教师在教授过程中，应特别指出该条件，并进行类比分析，进而帮助学生充分把握与理解“一元一次不等式”的概念。

类比思想方法的应用不仅体现在概念方面，而且体现在数学定理与运算法则方面。数学定理与运算法则是类比思想方法的具体推理过程，对学生数学思维能力的培养至关重要。例如，三角形的内切圆与外接圆是几何知识中的重难点之一，学生对该知识的理解与把握一直不尽如人意。因为学生容易将内心与外心的概念与性质进行混淆。教师在讲述该问题时，一定要注意将内心与外心的概念与性质进行类比归纳分析，即内心是三角形三个内角平分线的交点，一定在三角形的内部，并且与三角形的三边相切，属于内切圆的圆心；然后运用类比思想方法来分析三角形的外心，外心是三角形三边中垂线的交点，会随着三角形的变化而变化，并不一定在三角形的内部，但其到三角形各顶点的距离相等。通过类比分析，三角形内心与外心的概念与性质一目了然，有助于加强学生对其的理解与吸收。

类比思想方法不仅对未知数学知识的学习具有重要指导意义，其对探究法的应用同样意义重大，特别是与现实生活联系密切的相关定理的运用。例如，在传授不等式的性质时，教师可以利用日常生活中的例子来对不等式进行类比分析。天平在日常生活中应用广泛，很多学生都不陌生，故教师可以将天平的平衡现象类比不等式的特征。在类比思想方法的指导下，天平的右盘与左盘类比为不等式的右边与左边，而杠杆则是不等号。当天平的右边或左边加减质量时，天平的平衡性就会被打破，此可以类比为不等式的右边或左边增加或减少数值。当天平两边所增加或减少的质量相同时，天平依然保持平衡。运用类比思想方法观察，其实同不等式成立的原理一样。如此，通过探究法，形象生动地体现出不等式的两个性质，即不等式两边增加或减少相同的数值时，不等式保持不变；同理，当不等式两边增加或减少相同的倍数时，不等式依然保持不变。

（二）在日常教学中运用类比思想方法所存在的问题

2011年，教育部颁布《全日制义务教育数学课程标准》修订版，对数学思想与学生能力的培养等要求进一步明确。同时类比思想方法在教材中、日常教学中以及中高考命题中均有应用，且地位重要，但通过近几年的教学实践发现，类比思想方法在日常教学过程中依然存在诸多问题，主要体现在学生学习、教师教学以及评价体系上，在一定程度上阻碍了类比思想方法的理解与把握。

1.学生学习中存在的问题

学生是教学的主体，是知识的真正接受者与传承者，不仅身系个人与家庭的荣辱，而且干系国家与民族的未来，故国家一直非常重视对青少年的教育，不断推进教育改革，注重培养学生综合能力。数学是一门基础性学科，也是一门人类认识世界与改造世界的工具，所以数学在基础性教育中的地位一直独树一帜。究其根源，在于数学能够培养学生类比、迁移、归纳、分析、推理等各种应用性非常强的能力。但通过深入的观察发现，学生在上述能力方面的表现不尽如人意，要么上课精力不足、昏昏欲睡，要么身在曹营心在汉，要么无法举一反三，总之状况百出，效果不显，令人担忧。

概率知识无论是在今后的高中学习中，还是在现实生活中的应用都非常重要，本书就以概率为例具体分析学生存在的问题。学习概念构建树状图是解题的钥匙，要求学生务必把握。问题情境设置为摸箱子里有红白两种颜色的球的概率，而概率情境则分为不放回与放回两种。在课堂上，教师花费不少时间与精力分析与讲解例题，如一个红球与两个白球，分为不放回与放回时抽两次，两次抽出的球都是白球时，它们的树状图如何构建，概率为多少，并及时给出一定的练习。但接下来提出一个问题：“如果我不两次抽，而是一步到位，那么一次抽出两个球都是白球的概率为多少？”有的学生上课认真听讲，善于分析与理解，反应敏捷，迅速回答道：“与前面不放回抽两次的概率相同。”而有的学生则一脸茫然、无从下手，不知如何去分析，可见部分学生自身类比分析能力比较弱，还须进一步加强练习。

2.教师教学中存在的问题

教师是教学的引导者，是学生求知与做人路上的引路人，对学生一生发展至关重要。其教学思想、方法、策略正确与否，首先直接影响到教学效果，其次影响学生的为人处世。但部分教师依然固守传统的教学方式，采纳应试教育的传统做法，热衷于题海战术，进行低水平的机械重复训练。对知识点不是采取类比、推理、迁移等科学合理的教学方法进行讲述，而是要求学生死记硬背与生搬硬套，机械地理解与把握数学概念、定理与原理，严重缺乏教学的科学性与合理性。如此，不仅影响了学生综合素质的发展与提升，而且严重限制了类比、迁移与推理等数学思维能力的培养与发展。

近几年新课改进行得如火如茶，探究式教学方法大受欢迎，但部分教师依然我行我素，采取最原始的“灌输式”教学模式，上课期间“一言堂”，或很少让学生参与课堂的建设，整个教学过程死气沉沉。因此，学生在接受与理解知识的过程中缺乏自我消化的过程，对数学概念、定理的理解是一个外部强加的过程，其类比、迁移与推理等各种数学思想就无从谈起。例如，有教师资格老、经验丰富，对素质教育与新课改理念不屑一顾，在教学教法上沿用传统方式，所教班级成绩一直不尽如人意。例如，传授三角形相似的相关知识点时，我们一般先梳理三角形全等的性质、定义与推理过程，但其往往抛弃相关知识点的类比分析，单刀直入，直接讲述三角形相似，缺乏知识点之间的沟通与联系；二次函数是初中数学中的重难点，学生不好把握与理解，需要教师的合理引导与分析，但其一如既往，直奔主题，不事先类比一次函数的相关概念、性质、定理等知识点，往往导致学生一知半解，无法构建知识体系与正确解答数学题目。

3.评价体系中存在的问题

目前，素质教育口号响彻神州大地，很多学校与教师纷纷响应国家号召，尊重学生的主体地位，推行素质教育。但以笔者所观察的情况而言，很多学校的素质教育学其形而遗其神，或表面上采纳素质教育理念，注重培养学生实际操作与应用能力，实际上依然是应试教育主导整个教育界，一切以分数为中心，一切以重点高中与名牌大学为依归，整个评价体系存在严重的缺陷。

在新课标体系下，注重培养学生的三维目标，即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，力图构建比较完善与科学的评价目标体系。但是在推行过程中，却与目前中考与高考为分数论的定量评价相冲突。就以目前的初中为例，无论是平时的小考，如周测、月考等，还是决定学生前途与命运的大考，如中考等，都是依据试卷上的成绩来决定班级名次或是否进入重点高中。所以，无论是家长，还是教师都以培养学生应试能力为教育的主旨，自然忽视分析、类比、迁移、推理等数学思维能力的培养。笔者平时私底下与学生沟通，询问一些数学概念、定义与原理的来历或推导过程，很多学生纷纷表示教师从未传授过，就是要求他们死记硬背，注重应试能力的锻炼。因此，当考试过程中出现类比、迁移等题型时，学生往往举措适当，失分甚多。事后仔细探究其缘由，目前以分数为最重要标准的评价体系是导致学生应变思维能力不足的罪魁祸首。