高中数学教材中的化归思想体现

（一）对教材中化归素材的分析

1.化归思想在必修1中的体现

（1）集合

图2-23　文字语言、符号语言、图形语言的转化关系

学生在集合这一节里将要学习这三种不同形式的数学语言之间的相互转化，做到“想得清楚，说得明白，写得干净”。苏联数学家、数学教育家格涅坚科曾经说：“数学教学是思维和语言的教学。”掌握三种形式数学语言间的互相转化有助于掌握数学知识，理解蕴含在基础知识背后的数学思想，提高学生数学素养。像在集合中学习到的维恩图，是表达集合基本关系和基本运算的重要工具，就是集合语言向图形语言的转化，把难以理解的抽象概念或者不直观的关系通过图形用直观的几何语言表示出来，在理解概念、把握不同对象之间关系这一过程之中起到了化抽象为直观、化难为易的作用。很多问题的解答也都跟集合有着密切的关联。一般情况是以集合语言和符号语言来表述题意，首先根据解题的需要，把集合语言和符号语言叙述的题设转化成利于问题解决的形式，再使用已掌握的相关知识解决问题。

（2）函数

在函数这一部分，首先要注意“数”向“形”的转化。一线教师都非常熟悉函数是中学数学中的一条主线的说法，但是很少有人去强调函数是体现数与形相互转化的一个重要素材，是培养高中生化归思想的一个良好载体。数形结合是学习函数概念和性质、解决函数问题的一个重要工具，在直角坐标系中，函数图像能够联系自变量和因变量，直观、形象地表示出两者之间相互依赖的变化规律，尤其是把函数变化的特点、函数的性质、函数的变化趋势转化成了函数图像的曲折、对称、升降等各种特点，这种直观化的转换实际上就是一个不断转化认识对象的问题，体现了一个渐进的过程，对学生的学习和理解是非常有帮助的。这种办法是数学学习和研究中常用的方法。例如，函数的最值以及函数的整体性质单调性和奇偶性，虽然都是用数学符号形式化地来定义的，但是，对于这些性质的研究都是化归到对函数图像的认识上去。

第一，给出两个能够体现某一性质的简单函数及它们的图像，联系初中认识函数图像的相关经验，用自然语言描述出函数图像所体现出的某些特殊性质的共同特征。在有了直观认识的前提下，才进一步上升到用抽象数学符号给出形式化的定义和相应的数量特征。

第二，在函数应用的学习中，学生要接触大量构造函数解决实际问题的经典案例，在这个环节要注意引导学生体会把现实问题向数学模型转化的化归思想。求解实际问题就是对自然语言描述的条件进行转化，把语言文字转化成熟悉的函数模型，剩下的只要把模型中的数量关系具体化，找出其中的等量关系或者不等关系就可以化归为相应的数学问题。接下来就是应用自己已经掌握的数学知识、方法、技巧等解决数学问题，之后再用数学问题的解来解释有关现象，或者对某些发展趋势进行预测。

函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根，转化为直观的图形语言来表示就是函数y=f（x）的图像和x轴交点的横坐标。三者之间的转化关系可以概括为，方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）有零点⇔函数y=f（x）的图像和x轴有交点。例如，面对不能求精确解的超越方程，采取从函数基本特征入手的策略，借助图形对它的根做出定性的判断。遇到判断超越函数图像的问题，也可以在方程的根上做文章，把问题转化为方程根是否存在和有多少个根这样的问题，在函数有无零点上先做出一个判断。

2.化归思想在必修2中的体现

（1）立体几何

对空间几何体的认识，教材是按照从简单几何体到简单组合体的顺序安排的，这是一个先简单后复杂的过程，体现了化归的思想。像这样先简单后复杂的思想同样体现在教材对教学内容的编排上，比如先探究棱柱、棱锥、棱台表面积求法，再探究更复杂的圆柱、圆锥、圆台表面积求法。求多面体的表面积则体现了立体空间平面化的化归思想。对于组合体表面积的计算，则要联系前一节简单组合体的结构特征，通过对组合体的“割补”，把组合体表面积问题转化为简单几何体表面积问题，再“平面化”转化成简单平面图形面积问题。

点、线、平面之间的位置关系是立体几何的核心内容之一，从教材编排的结构来看，这部分知识是以平面的基本性质为基础，按照由易渐难的顺序，依次研究了线线、线面、面面位置关系。这样安排的好处是首先学习的比较“低层次”的知识，为后面学习“高层次”的知识提供了“固定点”。我们可以把线线位置关系作为研究线面位置关系的化归目标，解答线面位置关系的问题可以化归为线线位置关系的问题；把线面的位置关系作为研究面面位置关系的化归目标，解答面面位置关系的问题可以化归为线面位置关系的问题。反过来，通过对面面位置关系的学习和研究，能够帮助我们获得对直线和平面的位置关系更深入的认识和理解；同样，通过对线面位置关系的学习和研究，能够帮助我们获得对线线位置关系更深入的认识和理解。

（2）解析几何

在直线与方程这部分内容中，斜率是用代数方法研究两直线位置关系的重要工具，使用斜率使得几何中的直线能够向代数中的方程转化，也是因为有了斜率公式，直线平行和垂直的判定，能够转化为确定两直线斜率之间的数量关系；反过来，也能够通过确定两条直线之间的位置关系，得到两条直线斜率的数量关系。斜率这一个概念，体现了几何问题代数化的化归思想。

围绕经过两点的直线的斜率公式，直线方程的不同表示方式在某种意义上得到了统一，点斜式是对斜率计算公式的直接变形，进一步地特殊化设点在纵坐标轴上，推导出直线的斜截式方程；两点式则是不同的式子表示同一条直线的斜率。它们之间的相互联系如图2-24所示。

图2-24　点斜式和两点式的关系

按照先探究最简单的两点间的距离公式，再到复杂情形的距离公式，点与直线间距离，再到两平行线间距离公式的学习顺序，是一个从简单到复杂的过程，属于化归思想的范畴。之前对简单情况的学习，为后来的学习提供了丰富的知识基础、学习经验和化归目标。这样的编排无形中帮助学生在他们的认知结构中建立起了对学习起固定作用的概念，避免对教材进行机械学习。作为距离公式的应用，根据确定圆的两个基本要素圆心和半径，从两点间的距离公式化归得出圆的标准方程。至于点、线、圆和圆的位置关系则可以分别转化为点坐标的实数对是否为圆方程的解，圆心到直线（圆心）的距离或者直线（圆）和圆的方程组成的方程组是否有解的代数问题。

3.化归思想在必修3中的体现

（1）算法

算法定义本身就隐含着解决问题的方法程序化的化归思想。教材在引入算法概念时，首先引入学生初中学习的二元一次方程组的解，先列举熟悉的例子，待学生理解之后，再上升到一般算法的概念。这种使学生循序渐进地体会算法基本思想的编排方式则体现出先简单、具体再一般、抽象的化归思想。

用自然语言描述的算法步骤虽然也有明确的顺序，但是有些步骤只能在特定的条件下才会被执行，有些步骤则需要被重复执行，不直观也不便于阅读。因此，用自然语言表述一个算法之后，画出程序框图，用直观的图表现算法，就能方便阅读。这个过程中不但体现了自然语言描述的算法步骤和程序框图两种不同形式算法之间的转化，还体现了自然语言按照一定的规则向图形语言的转化。

（2）统计和概率

想要直接从通过抽样搜集而来的原始数据中发现数据的规律是不可能的，需要转化成图、表或者计算结果来分析，借助这种直观的方式帮助我们发现数据包含的信息，再把发现的规律“翻译”成对总体做出的估计。

事件之间的关系、事件之间的基本运算和集合之间的关系、集合之间的基本运算十分类似，它们之间可以建立一一对应关系，如两个事件的包含关系对应两个集合的包含关系，两个事件的交对应两个集合的交，两个事件的并对应两个集合的并，两个事件的互斥关系对应两个集合交集为空集等。因此，可以从几何的观点看待事件。维恩图可以把抽象的集合关系形象化，对于事件而言，用维恩图能直观地表示事件之间的关系、运算。在这里体现两方面的化归，一是事件之间的关系、运算向集合之间的关系、运算的转化，另一个是自然语言描述的事件关系和运算向直观图形关系的转化。

实际概率问题的求解则是在理解了古典概形和几何概形基本特征的基础上，把实际问题向古典概形或几何概形转化的过程。

4.化归思想在必修4中的体现

（1）三角函数

首先，在直角坐标系中讨论角，统一了角的表示方法，借助单位圆，任意角的概念转化成了单位圆上点绕圆周的转动，任意角“周而复始”的特点表现得更加直观。

其次，角度制向弧度制的转化，不但简化了弧长公式、扇形面积公式，而且降低了学生理解三角函数对应关系的难度。

再次，三角函数线是数形转换的工具。在单位圆中，正弦线、余弦线和半径构成一个直角三角形，把图形语言转化成数学符号就得到了同角三角函数基本关系中的同角正弦值余弦值的平方和为1。三角函数的图像也是利用三角函数线画出的，这个过程实际上就是把三角函数图像问题转化成三角函数线，体现了由未知转化为已知的化归思想。其他诸如根据诱导公式平移正弦函数图像得到余弦函数图像，利用四组诱导公式求任意角的三角函数也都是这种思想的体现。

（2）平面向量

向量加法的两个计算法则是用图形表示向量加法的几何模型，体现了由抽象转化为直观的化归思想。反过来，几何图形的性质也能通过向量的运算或者运算律得以表达，研究几何图形性质的问题就可以转化为向量的运算问题，这就是坐标法之外解决平面几何问题的另一种重要方法——向量法。类比数的四则运算，引入了相反向量的概念，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，向量减法化归为向量的加法。同样，类比数量运算中对乘法的定义，把a+a+a记作3a。推广到实数λ与λ的积得到向量数乘的概念。坐标表示向量使得平面向量共线问题和向量的加减、数乘、向量积等运算问题都转化为代数运算。

（3）三角恒等变换

从形式上看，和角与差角公式就是把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数。已知由两角差余弦公式推导两角和余弦公式，就是使用换元法，把不同于已知的两角之差的形式化为差的形式；用诱导公式把不同于余弦的形式化为余弦的形式，推导出两角差与和的正弦公式；用同角三角关系推导两角和与差的正切公式；最后推导出二倍角公式和半角公式。这些公式的推导可以培养学生由未知转化为已知的化归思想。

5.化归思想在必修5中的体现

（1）解三角形

正弦定理和余弦定理是实现边角互相转化的理论基础，从某种意义上来看，判断三角形形状、关于在三角形中的证明问题和三角式子化简的问题，就是对含有边或角的式子进行化简的问题。如果已知条件既含有边又含有角，一般先要用正弦定理或余弦定理对原式进行转化，化为只含有边或者只含有角的式子，最后获得问题的解答。

（2）数列

在数列这一章里，主要在以下三个方面体现了化归思想。第一，观察法求通项公式，对于比较复杂的通项公式，在数列项与项之间的关系不容易发现的情况下，需要把各项化归成具有相同形式的项。第二，已知等差数列和等比数列通项公式五个基本量a1，an，d，n，Sn中的任意三个量而求其他两个量时，往往转化成解方程或者方程组的问题。第三，数列通项公式可以看成数列的函数解析式，如等差数列an=pn+q可以看作自变量为n的一次函数，等比数列an=qn则可以看成一个指数函数。如果在同一直角坐标系中画出它们的图像，那么an=pn+q的图像就是函数y=px+q图像上的点；an=qn的图像就是函数y=qx图像上的点。因此，关于数列性质的很多问题就能化归为函数问题。比如，判断数列有无最大项的问题就能化归为函数单调性和最值问题。

（3）不等式

探究二元一次不等式的解集，首先把问题特殊化，研究一个具体而且简单的不等式x-y＜6的解集，满足x-y＜6的x和y的取值是有序实数对（x，y），联想到点的坐标，把它的解集归为点的集合。通过对图形的直观研究得出结论，不等式x-y＜6的解集是直线x-y=6左上方的平面区域，再把这一结论推广到一般情形，得出二元一次不等式Ax+By+C＞0的解集。教材的这种编排方式，考虑学生认知水平不足以直接同化新知识，把陌生的二元一次不等式解集的知识和学生已有关于一元一次不等式解集及表示方法的知识和经验联系起来，类比研究一元一次不等式解集及表示的方法按从特殊到一般的顺序完成对新知识的建构。这中间隐含了化难为易，化陌生为熟悉的化归思想。(www.xing528.com)

化归思想在线性规划问题中的体现较为直接，一方面把题设条件转化为等价的不等式组，求目标函数最大值问题，体现了实际问题数学化；另一方面，目标函数变形为熟悉的直线斜截式方程，是一个熟悉化的过程，接下来把问题转化成在不等式组确定的平面区域内寻找一点，使得目标函数图像所在的直线经过该点时取得最大截距，则是一个“数”向“形”转化的过程。

（二）教材体现化归思想的形式

总结上一部分对教材中隐含化归思想的材料所做的分析，发现教材在语言的使用上、知识形成过程中（包括概念的产生、定理的发现、公式的推导）、练习题的解答方法中体现化归思想。

1.语言描述体现化归思想的例子

（1）体现化未知为已知的语言描述

具体见表2-1。

表2-1　体现化未知为已知的语言描述

续　表

（2）体现化陌生为熟悉的语言描述

具体见表2-2。

表2-2　体现化陌生为熟悉的语言描述

（3）体现化抽象为具体直观的语言描述

具体见表2-3。

表2-3　体现化抽象为具体直观的语言描述

续　表

2.知识形成过程蕴含化归思想

（1）概念形成过程中蕴含化归思想的例子

抽象概念的学习，不是只停留在抽象的或者形式化的语言描述上，而是应该多列举学生熟悉的例子，帮助学生建立几个具体形象的实际模型，连同它们的图像一同保留在头脑中，把对新概念的认识、理解过程化归为对熟悉的数学对象认识的发展。

例如，学习函数定义域、值域的概念之后，教材列举了学生初中就已经学习过的一次函数和二次函数，并分析了定义域和值域以及对应关系，把定义域和值域以及函数概念的理解化归成对一次函数和二次函数定义域和值域以及对应关系的认识，如图2-26所示。这样处理新概念，学生的头脑中就形成了关于定义域和值域以及函数概念具体的认知图式，从而促y=ax+b（a≠0）进对抽象概念的学习。

图2-26　对定义域和值域以及函数概念的理解的化归

（2）定理发现过程蕴含化归思想的例子

定理的发现过程蕴含了化归思想方法。例如，在点、线、平面之间的位置关系中，“垂直”和“平行”是最重要的两种位置关系，直线和直线、直线和平面、平面和平面“平行”和“垂直”的判定定理以及性质定理之间相互转化的关系如图2-27所示。

图2-27　直线、平面“平行”和“垂直”的判定定理以及性质定理相互转化关系

3.蕴含化归思想的解题方法

具体见表2-4。

表2-4　蕴含化归思想的解题方法

续　表

（三）挖掘化归素材对教学的意义

从对教材的分析可见，数学基础知识的内容蕴含着丰富的化归思想，反映了基础知识的本质特点和内在的联系，有着高度的抽象性和很强的概括性，而且没有一种固定和统一的外在表现形式。虽然在一些地方教材明确指出了隐含其中的化归思想，比如，探索函数y=Asin（ωx+ψ）的图像教材指出了由复杂到简单、由特殊到一般的化归思想；立体几何部分指出了空间几何平面化的化归思想等，但是，隐含在概念形成、公式推导、定理发现等知识产生过程中的化归思想，还有零散知识点之间相互转化的关系等，能够体现化归思想方法的地方，教材是没有明确指出来的，所以要对教材进行深入的挖掘。这样就不会为培养化归思想却苦于没有素材而烦恼了。

挖掘教材中的化归思想还有助于学生突破学习难点，帮助教师突破教学难点。学生在数学学习过程中产生难点的原因，有些是教材编写的结构造成的，比如，知识点跨章节学习的情况比较多，导致学生学习的时间间隔比较长。也有数学知识本身比较抽象的原因。在化归思想的指导下解决问题总是把陌生的问题和学生熟悉的知识联系在一起，把抽象的问题用直观形象的形式表现出来，把复杂的问题看作简单问题有层次的“生长”，把没有固定解答步骤的问题向有固定求解模式的问题转化……最终使问题归结为有能力解决的问题。化归过程中体现出来的思维方式符合认知的一般特点，在学习过程中以化归的眼光看问题，化新为旧、化难为易，引导学生从自己熟悉的知识或者直观的模型出发去思考。用学生已有的知识去同化新知识，从而加深对新学知识的理解和掌握。因此，需要挖掘知识中蕴含的化归思想。