化归思想与化归方法：简介与关系

（一）相关概念的界定

1.数学思想

对数学思想概念的各种界定中有一种说法比较贴近中学数学教育。这种观点认为数学思想是一种关于“数学如何解决问题”的思想，与逻辑、策略有关。例如，郑毓信对数学思想的认识包括两个层面：一是诸如研究的问题是如何产生的、数学家是如何创新理论或方法之类，在对数学研究活动中的思维活动及其最终产物之间进行明确区分以界定“数学思想”；二是指数学家如何确定自己的研究方向，在解决问题的过程中又常常采取哪些策略这类问题，是与具体的教学内容相分离、具有更普遍意义的思维模式或原则。

中学数学的教学侧重于引导学生利用已有的知识进行解题活动和构建新的数学知识。我们认为数学思想是“数学如何解决问题”的思想。这里所说的“解决问题”不仅指通常所说的解题，还包括学生在学习新知识的过程中采取什么样的策略实现对新知识的掌握。

2.化归思想

目前对数学化归也存在不同的认识，主要包括从方法论的角度、心理学的角度和教学实践的角度三个方面。

从方法论的角度来说，化归是一种被广泛使用的解题方法，基本思想就是通过转化问题中的矛盾使之获解。

从心理学的角度来说，化归具有对象性特征、过程性特征和策略性特征三重属性。作为陈述性知识，化归是数学思想方法的一种，表现在对问题进行转化以获得问题的解决；作为程序性知识，化归是联系原认知结构对问题重新表征和建构，最终得到同化、顺应、平衡的心理活动过程；作为策略性知识，化归是把新旧知识的表征联系在一起，把原有知识反演为对新知识的获得，是一种认知策略。

图2-18　结论链

从对化归的各种解释中可以得出化归的一个共同特征，即化归是着眼于揭示待解决问题和已有经验的联系，转化问题中的矛盾，在不断迁移和转化中得到问题的解决。实际上，化归是一种具有普遍意义的思维模式，即便解决生活实践中的问题也能体现化归思想。例如，众所周知的历史典故“曹冲称象”就是把待称而又难称的象的重量问题，转化成可以分别称的一堆等重石头的重量问题。在本书中，中学数学化归思想是指在解数学问题和学习数学知识的过程中，积极主动地联想和回忆旧知识，分析新旧知识的内部联系和矛盾，采取陌生知识熟悉化、复杂问题简单化，化抽象为具体直观、化异为同、化整为零，或者先简单后复杂、先解决特殊情形再把结果综合概括起来去解决一般情形等策略来掌握新知识或者解决新问题的一种思维方式。化归思想指导问题解决的过程如图2-19所示。

图2-19　化归思想指导问题解决过程

从化归思想指导问题解决的过程来看，即使在认识上决定以化归思想指导解题，想要顺利实现问题转化，仍然要面临寻找合适的化归方向、恰当的转化手段等问题。也就是必须考虑到化归的对象、化归的目标（方向）、化归的具体措施（方法）三个要素。

3.化归方法

为了实现转化问题这一目的而采取的各种具体手段就是化归方法。化归思想是内隐的，蕴含于分析、解决数学问题的过程之中；化归方法是外显的，实现问题转化而采用的方法统称为化归方法。化归思想和化归方法的关系如图2-20所示。

图2-20　化归思想和化归方法的关系

例如：

（二）化归的原则

运用化归思想成功指导解题的一个重要环节是要寻找合适的化归方向，即把原问题化归到何种地步或何种形式。由于图2-18结论链的存在，决定了数学知识和问题之间相互联系的方式是多种多样的，所以应用化归思想指导解决问题，不能期待能总结出一套操作性很强的固定套路。但是大量解题的实践表明，遵循下面的六项原则，有助于实现问题的转化。

1.非标准型向标准型转化

在教材中学到的数学知识都是关于标准形式的讨论，如椭圆、双曲线以及抛物线的图像、对称性等结论和性质也都是针对标准方程展开讨论的。这就启发我们在解决问题时，首先考虑那些不是标准形式的问题能不能先转化为标准型，然后再使用相关的基本结论或定理解题。

例如：

“m＞n＞0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y轴上的椭圆”的（　）。

A.充分而不必要条件　B.必要而不充分条件

C.充要条件　D.既不充分也不必要条件

2.抽象向具体转化

解题的时候常会遇到这样的情况，问题比较抽象，根本弄不清楚题目表达的意思，更难找出各个量之间的数量关系。此时就不妨尝试重新叙述题目，甚至用不同的方式来叙述，集中精力把问题向直观具体的问题转化，直到得出问题中各种概念之间具体而明确的数量关系。像图像法这种用直观的图形来表示抽象的式或者用自然语言描述的抽象关系，就是一个“具体化”的例子。对问题的条件进行分治同样体现具体化的原则。

例如：

若集合M=｛0，1，2｝，N=｛（x，y）|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0，x，y∈M｝，则N中元素的个数为______。

分析：集合M中的元素已经一目了然，因此也要把集合N中的元素具体化。集合N“化整为零”，理解为N=｛（x，y）|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0｝∩｛（x，y）|x，y∈M｝，其中，集合N1=｛（x，y）|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0｝表示的是坐标平面内直线x-2y+1=0和直线x-2y-1=0所夹的带状区域；N2=｛（x，y）|x，y∈M｝表示散落在坐标平面内的几个点。作出集合N1所指的可行域，借助图形，即可得出集合N2的32=9个点中，位于区域内的点有4个。

3.复杂向简单转化

如果待解问题的结构比较复杂，可以考虑通过适当的数学运算，使问题的结构趋于简单。比如在解不等式问题中，求解无理不等式的基本思路是去根号转化无理不等式为有理不等式；求解绝对值不等式的基本思路就是先去绝对值符号，化为普通不等式；求解分式不等式的规范解法就是化为整式不等式求解。

例如：

分析：对原不等式同解变形，去根号化为有理不等式。原不等式等价于，解得 0≤x≤2，故所求为｛x|0≤x≤2｝。

4.陌生向熟悉转化

波利亚在《怎样解题》一书中列了一张解题表，指出面对要解决的问题，先引导学生回想一个相似或者熟悉问题的解答过程。这实际上就是把陌生的问题，朝着熟悉化的方向进行化归。假如能通过某种手段把问题转化成相同类型或类似的问题，那么学生就可以调动已有的经验和已经掌握的方法帮助解题了。

例如：

解方程x4-2x3-24x2+80x-64=0。

分析：可以对方程左端高次整式进行因式分解，化归成熟悉的一元二次方程来求解。 x4-2x3-24x2+80x-64=0 转化为（x4-2x3+x2）-（25x2-80x+64）=（x2-x）2-（5x-8）2=（x2-6x+8）（x2+4x-8）。

于是，原方程化归为一元二次方程x2-6x+8=0或者x2+4x-8=0。分别解出两个方程的根就是原四次方程的根。

5.杂乱向和谐转化(www.xing528.com)

如果待解决的问题在量、形、关系方面的表现形式不统一，首先可以尝试对问题进行恰当的转化，使问题的条件与结论在量、形、关系等方面表现得协调一致。例如，指数式的运算一般要统一为同底的指数来运算；对数中比较大小的问题常常应用换底公式统一为同底对数函数来比较大小；解三角形相关问题常用正弦定理或余弦定理，结合所求结论把边角互换；三角函数中，不同名的三角函数转换成同名三角函数等。问题的条件和结论在形式上的和谐化有利于问题的解决。

例如：

如图2-21，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC做一个截面，平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则 S1，S2，S3的大小关系为 ______。

由于从几何角度不易做出判断，因此向代数方向转化，在转化的过程中，把S1，S2，S3，都用 r1，r2，r3来表示，就体现了追求“和谐化”的化归方向。

6.高层次向低层次转化

少元、低维、低次等低层次的问题结构简单、表现形式具体，处理起来更得心应手，所以，在解决多元、高维和高次的问题时，应尽量把多元问题转化成少元的问题。例如，解方程组的基本思路就是把三元方程组进行消元，先转化成二元方程组，再把二元方程组消元转化成最低层次也是最简单的一元方程；高维的问题转化成低维空间的问题，解决立体几何问题的一个重要策略就是把空间问题“平面化”；高次数的问题转化成低次数的问题，因式分解就是一种化高次方程为低次方程的重要手段。

例如：

（1）证明：平面 A′DE⊥平面 ACC′A′

（2）求直线AD和平面A′DE所成角的正弦值。

图2-22

分析：对于（1）题目要求是证明“面面垂直”，即“平面 A′DE⊥平面 ACC′A′”，而题设给出的是“线线垂直”的条件，即A′E⊥DE，寻找“线面垂直”这个中间位置关系，使题设条件和所求结论相互沟通联系起来，是一个行之有效的解题途径。而其中的“线”在面A′DE中寻找比较合适。在这里，从分析法出发，将证明“面面垂直”化归为证明“线面垂直”，再化归到题设所给条件“线线垂直”，体现立体几何向低层次“平面化”问题转化的常规思路。解答（2）也是按照立体几何“平面化”的思路，利用（1）问的结论，找出点A在平面A′DE内的射影，过A作AE的垂线，完成“线面角”向“线线角”的化归。

（三）化归思想方法的特点

1.多向性

从图2-18来看，要证明结论链中的某一个结论qn为真，只要证明qn之前的任意一个结论为真就可以获得问题的解决。表现在解决问题的过程中就是，按照问题的特点在转化问题时可以选择不同的化归对象，可以对问题的条件实施转化，也可以对问题的结论进行转化；不仅能够转换问题的内部结构，还能够转换问题的外部形式。除此之外，转化的过程中，还能选择不同的化归方法，朝着不同的目标进行化归。

例如：

分析：由题设得 3b2=（1-a）（1+a）⇒a2+3b2=1。

由此可见，对问题的理解不同或者由题目联想到不同的数学对象都会产生不同的思路，这些因素都决定了化归思想方法多向性的特点。

2.层次性

对于化归，既能从微观的层面称它是一种解题方法，又能从宏观的层面称它是一种数学思想。如果单纯地从狭义的角度来看化归，它是一种调动各种知识和经验的解题方法；如果从广义的角度来看，化归思想方法实现了学科不同分支之间的转化，可以应用于沟通数学各个分支学科之间的联系。这就是化归思想方法的层次性。比如，在上述例题中把a+3b的最大值问题转化成基本不等式的应用问题、三角函数最值问题、线性规划问题、方程根存在的问题和向量的相关问题，从微观角度来看，是在化归思想的指导下，朝着不同的对象化归得到对问题的不同解法；从宏观上看，在化归思想的指导下，可以对方程、不等式、函数、向量知识的相互沟通和联系有一个深入的认识。

3.重复性

在解决某一个问题时，往往需要多次地使用化归方法来转化问题，使待解决的问题一步一步地朝着越来越规范化的方向进行，这就是化归思想方法的重复性。

例如：

在这个问题的求解过程中就用到了三次化归，一般情况下，问题越复杂，需要转化的次数就越多，所以说化归思想方法有重复性或多次性的特点。