数形结合思想在实际教学中的应用举例：中学数学教学研究成果

在数形结合思想中，“数”研究的主要是代数元素，“形”研究的则是几何元素，它们之间之所以有对应关系，源于它们研究的是同一个问题，只是研究角度不同而已。对于一个问题，我们从代数角度认识，能够获得代数的解决方案，从几何角度认识，则能获得几何的解决方案。由此可见，从多个角度理解题目，自然能够开阔思路，得到多种解决途径。要教导学生在以后的学习和工作中对其加以足够重视。

数形结合的数学思想，包括以形助数和以数助形两个方面。其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图形来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等。下面笔者将分别举例来说明数形结合的一些具体应用。

（一）以数助形

中学数学中的几何是图文并茂的，学生在研究几何问题时需要通过分析图形中的有关数量关系来探讨图形的结构和性质。比如说平面解析几何中有关圆锥曲线的研究，都是转化成代数式的形式来实现的。在利用代数方法研究几何问题时，经常用到的是通过建立坐标系，化几何问题为代数问题，这种方法被称为坐标法。另外比较经常用到的方法还有三角法和向量法，下面笔者用具体的例子介绍一下这三种方法。另外，解析几何是用代数方法解决几何问题的典型代表，这里笔者也对其进行大致的阐述。

1.利用坐标法解决几何问题

现代几何学的创立是从笛卡尔坐标系的产生开始的，笛卡尔坐标系的产生对数学的影响是巨大的，标志着一门新的数学学科——解析几何的诞生。

我们先来介绍一下笛卡尔坐标系的发现过程。笛卡尔是法国著名的哲学家、物理学家和数学家，有一段时间他在研究一个新的问题，即“几何图形是直观的，而代数方程是抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？”这里关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组数联系起来，他一直在不停地琢磨通过什么样的方法才能把点和数联系起来。有一天他生病了，在家卧床休息，但是他的脑子却没有停止思考，他一直不断地想着这个问题。突然房顶上的一个蜘蛛吸引了他的注意力，他看到蜘蛛拉着丝垂了下来，一会蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边开始左右拉网，蜘蛛的表演给了笛卡尔很大的启示。他想，如果把蜘蛛看成一个点，他在房子里上下左右运动，那么蜘蛛的位置就能用唯一一组数表示出来。他又想，屋子里相邻的墙与地面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间任意一点的位置，都可以在三根数轴上找到有顺序的三个数来表示。这样一思考他就有了主意，在平面上他就用相互垂直的两条直线作为坐标轴，并且坐标轴上都标有刻度，那么平面上任意一个点都可以用相对应的一组数来表示，这样一来就把几何图形和代数方程联系在了一起。如果是在空间中的话，用同样的方法建立三维坐标系也可以实现形与数的统一。笛卡尔就是通过蜘蛛的表演得到启示，从而建立了坐标系，为后来我们研究解析几何奠定了基础。

有了坐标系，在研究几何问题时，我们就可以对几何图形建立适当的坐标系，把几何图形转化成代数方程，从而用代数的方法解决几何问题。

用坐标法来求解几何问题的步骤包括以下三个方面：第一步，建立图形（立体图形）与空间向量的联系，用坐标表示问题中所涉及的点、线、面，把几何问题转化为代数问题；第二步，通过坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系；第三步，根据运算结果的几何意义来解释相关问题。

下面我们举例来说明一下这种方法。

证明平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，如果按照几何方法那么需要做出平行四边形的高，设为h，如图2-3，由图形我们可以得到以下三个结论：

图2-3

h2=a2-x2

h2=d2=（b-x）2

h2=c2-（b+x）2

将第一个式子右边乘以2就等于第二、第三两个式子右边的和，即2a2-2x2=d2-（b-x）2+c2-（b+x）2，经过化简可得 c2+d2=2a2+2b2，于是原命题得证。

上述证明过程看似简单，但是这种方法思路很难想，而且化简起来也不简单，对于中学生来说有一定的难度。有了坐标系就容易解决了，只需要通过坐标的相关知识，将四个顶点表示出来就可以了，如图2-4所示。

图2-4

设 B（0，0），C（a，0），A（b，c），则 D（b+a，c）

于是 AC2+BD2=（b-a）2+c2+（b+a）2+c2=2a2+2b2+2c2

AB2+BC2+CD2+DA2=（b2+c2）+a2+（b2+c2）+a2=2a2+2b2+2c2

所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2，原命题得证。

从上述两种证明方法，我们明显可以看出，利用坐标系解决几何问题，可以使复杂的问题简单化，思路很简单，只需要表示出相关点的坐标，利用相关公式就可以解决。

我们在解决几何问题时，如果找不到直接的解决思路，那么就可以将其放在直角坐标系中，这样就可能会比较顺利地解出。由此可以看出，如果学生掌握了数形结合的思想方法，那解决问题的时候就会起到意想不到的效果。

例如：

如图2-5所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°，PA=AB=BC=1，E 为 PA 的中点，过 E 作平行于底面的平面EFGH分别与另外三条侧棱交于F，G，H。

图2-5

（1）求异面直线AF，BG所成的角的大小。

（2）设平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为θ，求cosθ。

通过此题可以发现，学生如果没有用坐标求解，在第二步求二面角时，找平面PAB和平面PCD的公共棱将非常困难，问题就会变得相对难以求解。但是如果学生建立空间坐标系，用空间向量的方法来求解，只需要将平面PAB和平面PCD的法向量求出来，再求出两个法向量的夹角即可。通过对比我们不难发现，利用代数方法求解几何问题，也是一种常用的方法，所以在学习和研究的过程中，我们应该考虑这种思想和方法。只有这样才能使自己的解题思路更宽广，解题方法更简捷，解题结果更精确。

对于用坐标系解决几何问题这种类型的问题中，建立坐标系是最关键的一步，建立坐标系的原则一般是力求解题简单。对于平面几何问题，我们使用平面直角坐标系就可以解决，而对于空间立体几何，我们需要建立空间直角坐标系。确定坐标轴时，我们一般要使得图形中的各边、各顶点都落在坐标轴上，这样做既能很方便地表示出各顶点坐标，而且求解的过程也简便，数据相对较小，更容易计算。用坐标系解决几何问题在很多情况下也会与向量相结合，在做题过程中要多思考，综合考虑解决问题。

利用坐标法解决几何问题在中学数学阶段的应用非常广泛。这种方法主要适用于求几何图形中某些线段的长度、某些角的度数等类型的问题，甚至对于求特殊的距离问题也很有帮助。学生掌握了这种方法后，就会发现很多几何问题赋予坐标系之后就会变得更加简单。因此，在教学中不断渗透数形结合的思想是很重要的。

2.利用三角法解决几何问题

学生在解决实际问题的时候，时常会遇到一些“不能到达的距离问题”“不能触及的高度问题”“测量工具不够的情况下测量角度”等问题，或者是“航海问题”“计算面积问题”等。这些是不能直接从原模型中计算出来的，这个时候可以教学生建立数学模型，将它们转化为三角形，用正弦定理、余弦定理等三角形工具来解决。

解决这一类题的步骤包括以下四个方面：第一步，分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步，建模——根据题目中已知条件和所要求解的目标，把题目中的已知和未知量都放在三角形中，从而建立一个解三角形的模型；第三步，求解——根据上一步骤建立的模型，充分利用正弦和余弦定理，把所要求解的目标解出来；第四步，检验——对上一步骤得到的结果进行检验，看是否符合实际意义，最终得到实际问题所求的解。

例如：

如图2-6所示，我炮兵阵地位于地面A，C，D两处分别是我方两观察所，已知CD=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，当目标出现在地面点B处时，测得∠BDC=15°，∠BCD=30°，求炮兵阵地到目标的距离是多少？

图2-6

分析：本题就是典型的解决三角形问题，解决此种问题，我们经常用的方法就是把要解决的量放到三角形中，从而转化为求解三角形的问题，在解三角形的过程中，要弄清楚哪些量是已知的，哪些量是未知的，能不能利用已知量来求解，然后充分利用正弦定理和余弦定理把要求的量给求解出来，然后还原为实际问题。

解：在△ACD中，

∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°

CD=6000，∠ACD=45°

同理，在△BCD中

∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°

CD=6000，∠BCD=30°

又在△ABD中

∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，

根据勾股定理

对于这类实际应用题，其实质就是解三角形问题，在这类题中，一般都离不开正弦定理和余弦定理。在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解。但是要教育学生注意，在做题中，基线的选取要恰当准确，选取的三角形及正、余弦定理一定要恰当。

用三角法解决几何问题主要应用于某些特殊距离问题、不能触及的高度问题，测量工具不够的情况下测量角度的问题，或者是航海问题、计算面积问题等。教师在教学过程中可以教育学生在直接计算无从下手的时候考虑这种方法，经常能起到意想不到的效果。

3.利用向量法解决几何问题

向量是既有大小又有方向的量，大小就是数学方面的表现，方向则是几何方面的表现。向量本身是一个数形结合的产物，它兼具代数的抽象和几何的直观，在利用向量解决问题时，一定要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合。

向量作为一种运算的工具，经常与三角函数、解析几何、不等式等知识相结合。例如，在与三角函数结合出题的时候，经常是向量里边出现未知数，然后给出平行或者是垂直的关系，要求未知数的值。这时就可以利用垂直或者是平行的条件，列出具体的关系式来求解。总的来说，这类问题求解的思路就是将其转化为代数运算，转化的时候可以利用向量垂直或者是平行的充要条件，还可以利用向量数量积的性质。

用向量解决平面几何问题的步骤包括以下三个方面：第一步，建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。例如，两条直线相互垂直，可以用两条直线的方向a·b=0来表示。第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系。第三步，把运算结果“翻译”成几何关系。例如，a=λb表示以a和b为方向的两条直线互相平行。

在教学中，教师首先要让学生掌握用向量解决几何问题的三部曲，还要不失时机地、反复地强调向量的代数性质和几何意义。不仅从运算上，还要从几何意义上去把握，让学生看到问题，就能联想到向量这种思想，如以下例题。

如图2-7所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE。

图2-7

分析：本题是要证明垂直问题，研究以前学习过的方法，发现这个题找角之间的关系时比较困难，所以无法用90°等价于垂直来证明，并且边的长度也不好计算，所以勾股定理的逆定理也无法起作用。这时就考虑能否用向量的方法来表示，显然是比较简单的。要证明AD⊥CE，只需要证明和两个向量的点乘积为零即可。

上述例子就是用向量的方法来解决几何问题，掌握这种方法通常可以使问题更容易解决，起到事半功倍的作用。

用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考的热点。其主要是应用向量的数量积和线性运算去解决平面几何中的长度、夹角、平行、垂直等问题。在教学过程中，要提醒学生在做题时，注意变换思维方式，从不同的角度去看问题，一定要善于利用向量的有关性质去解题。

4.解析几何问题

解析几何的本质就是用代数的方法研究图形的几何性质，其沟通了代数和几何之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想，是数与形结合的典范。

我们知道，解析几何的创立，是数学史上变量数学的第一个里程碑。笛卡尔在1637年发表的著作《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》的附录《几何学》中，较全面地提出了解析几何的基本思想和基本观点，即引进坐标的概念，借助坐标，建立点与数之间的一一对应关系，进而将曲线看作动点的轨迹，用变量所适合的方程来表示。例如，已知动点的某种运动规律，便可建立动点的轨迹方程；反之，有了变量所适合的某个方程，就可以做出它所表示的几何图形，并根据方程讨论一些几何性质。这就将几何与代数紧密结合起来，利用代数的方法来解决几何问题。在学习解析几何的时候，常见的对应主要有以下三个方面。

第一，在直线中，只要直线的位置确定了，对应的就有方程。然后对于直线的一些几何性质就可以用代数的方法来解决。比如说直线平行，对应斜率相等，或者两条直线的斜率都不存在，即l1∥l2⇔k1=k2或者是l1与l2的斜率都不存在。两条直线垂直，对应着斜率的乘积等于-1，或者说有一条直线与x轴垂直，一条与x轴平行，即l1⊥l2⇔k1·k2=-1或者是两条直线一条斜率为零，另一条斜率不存在。并且两条直线在相交的情况下，也能通过解方程来得到交点的坐标。这些都是用数来表示图形的情况。

第二，在圆里边，与直线一样，只要圆的位置和圆的大小已知，也可以把圆的方程表示出来，接下来圆的一些位置关系和几何性质等都可以通过圆的方程来求解。例如，一个点在圆上，就对应着点的坐标满足圆的方程，点在圆外与点在圆内都对应的有代数方法。还有直线与圆的位置关系，直线与圆相交、相切、相离都可以用联立直线方程与圆的方程的方法，联立消去一个未知数，然后计算判别式。如果判别式大于零，就意味着有两个交点，也就是两者是相交的关系；如果判别式等于零，意味着只有一个交点，就是相切的关系；如果是判别式小于零，就是没有交点，也就是相离的关系。除了上边的方法之外，还有一种方法就是判断圆心到直线的距离与半径的大小，距离大于半径可以推出相离；距离等于半径可以推出相切；距离小于半径可以推出相交。圆与圆之间的关系也可以用上边的方法来求解，这里就不再一一叙述。上边介绍的都是用代数的方法来解决圆这个几何问题。

第三，在圆锥曲线中，椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线是比较复杂的，也是高考的一个重点和难点。一般所出的题目都是先给出一些几何性质，比如说交点坐标、离心率等，然后可以求出曲线的方程，接下来就从曲线的方程方面着手去解决问题。对于抛物线，有一个很经典的几何性质是，抛物线从焦点发出的光，经抛物线反射之后是平行光。对于这样一个几何性质，我们也可以从代数的角度去证明，这里用到的思想就是数形结合的思想。

解决这类题的步骤包括以下三个方面：第一步，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；第二步，处理代数问题；第三步，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。下面笔者就以抛物线为例，对数形结合的思想解决解析几何问题进行阐述。

证明：抛物线经焦点发出的光，经抛物线反射之后是平行光。

图2-8

证明：设抛物线的方程为x2=2py，

根据光线反射原理，点F发出的光反射之后关于法线是对称的，所以反射光线上存在一点B，和点F是关于法线对称的。

因为A，B的横坐标相等，

所以AB与y轴平行。

因为点A的任意性，可知所有的反射光线都与y轴平行，即反射光线是平行光。

以上问题就是几何问题代数化的典型例子。众所周知，圆锥曲线是高中数学最难学的部分，高考经常作为倒数第二题出现。其之所以难学难做，主要原因是综合性特别强，它是对学生综合思维能力的考查，而且方法特别灵活多样。其实，圆锥曲线问题是数形结合最完美的一类题型，学生在思考或解题的时候，不应该单单当成代数问题解决，更不能单单当成几何题来解决，而应该把它们结合起来考虑，只有这样，学生才有可能解决这类问题。

在教学中，教师应帮助学生经历将几何问题代数化和用代数的方法解决几何问题的过程，使学生在学习知识的同时，不断地体会数形结合的思想方法，最终解决几何问题。

（二）以形助数

我们知道，中学数学中代数研究的主要是数或式的加减乘除运算。这些运算是高度计算性质的，有的时候难免会出现很复杂甚至无法计算的情况。在思考和解决代数问题时，对于某些从表面上看来与几何毫不相关的概念和问题，有时可以从某些特定的角度出发，画出一个图形或者是示意图，把所要讨论的问题给以几何直观的描述，往往会对问题的求解提供许多有益的启示（比如说我们讨论函数问题时，经常要求学生能画出图像的都要把图像给画出来，从图形上分析所要解决的问题）。借助图形可以把代数问题中的数量关系揭示得更加直观形象，利用图形可以帮助学生思考，从而可以使学生对概念的理解、对解题思路的探索都变得更加简单明了，巧妙快捷。

我们常用的运用几何方法解决代数问题的方法主要有，利用函数的图像来解决函数问题；把函数图像与x轴的交点看成方程的根，从而解决方程和不等式问题；通过画出约束条件表示的区域，然后求出目标函数的最优解，从而解决线性规划问题等。下面笔者分情况简单举例分析如何利用几何知识来解决代数问题。

1.用数形结合思想解决集合问题

集合是学生进入高中学习的第一个知识点，此时学生对高中充满着好奇，对学习充满积极性。所以这个时候交给学生的知识，学生记忆得也是比较牢固的，在这一节里边有必要给学生介绍数形结合的思想方法。集合就是一些确定的对象集合在一起，常用的方法有列举法、描述法、图示法和区间法。集合中的数形结合体现在以下两个方面。

一是维恩图法，就是用平面上的封闭图形的内部来表示集合，有了这个方法之后，集合的交、并、补运算都可以用维恩图的方法来求解。

例如：

已知全集U=｛不大于20的质数｝，M，N是U的两个子集，且满足M∩（UN）=｛3，5｝，（UM）∩N=｛7，19｝，（UM）∩（UN）=｛2，17｝，求 M，N。

分析：本题中的集合关系比较复杂，可以借助维恩图，如图2-9所示，明确它们之间的关系。首先 U=｛不大于 20 的质数｝，说明 U=｛2，3，5，7，11，13，17，19｝可以画出图形。M∩（UN）=｛3，5｝，说明3，5在M中不在N中，在图上表示出来。（UM）∩N=｛7，19｝，说明 7，19 在 N 中不在 M 中，也可以表示出来。（UM）∩（UN）=｛2，17｝，表示2，17不在M，N中，根据上边的分析，剩余的11，13只能是既在M中又在N中，图形画出来之后从图形上明显地可以观察出集合M与N。本题中集合M=｛3，5，11，13｝，N=｛7，11，13，19｝。

图2-9

上述例题告诉我们，利用数形结合的方法，可以使某些复杂的集合之间的关系显现得非常简单明了。通过韦恩图可以清晰直观地看出各个集合以及它们之间的关系，对于解决问题提供了非常便利的工具。如果学生掌握了这种方法，那么当他们遇到这种问题时就不会感觉无从下手、毫无头绪。这就要求教师在平时教学过程中多渗透这种思想，让学生也能受到潜移默化的影响。这样学生的数学能力必将有质的飞越，将达到一个全新的高度。

二是数轴的方法，这是集合的描述法的具体体现，集合所表示的元素都可以在数轴上来表示，可以用这种方法来求解不等式、求参数的取值范围。在后边所学的解不等式、求函数定义域值域等经常用到这种方法。这类方法在高考中出现的很多，下面笔者以一个题来说明一下这种方法。

图2-10

我们不难从这个例子看出，利用数轴求集合的交并补等运算是非常方便的，它能直观地反映出集合之间的“公共部分”和“合成部分”。教会学生使用这种方法对于学生的做题速度和正确率都会有极大的帮助，同时对学生数学思维的培养也会有很大的帮助。因此，教师必须教育学生掌握这种思想和方法。

2.用数形结合思想解决函数或方程问题

函数的图像和性质是利用数形结合思想解决问题的良好载体，在平时函数的学习中，教师要培养学生见到函数图像马上就可以看出函数的性质，说到函数的解析式就会联想到函数的图像，并且能够准确地把函数的图像画出来。养成了这个学习习惯，学生学习函数就不再是难事。在平时函数的学习中，我们常见的函数图像与函数性质的对应主要有以下五个方面：第一，函数的定义域、值域与坐标轴的全部或者是部分对应；第二，函数的最大值和最小值与函数图像的最高点和最低点对应；第三，函数的单调性表现在函数图像的走向即向上或者向下发展；第四，函数的奇偶性表现在函数图像是关于原点对称还是关于y轴对称；第五，函数的周期性表现在函数图像是否有规律的重复出现或是重叠。

了解了函数的图像与性质的以上对应，学生在解决函数问题的时候就可以充分利用数形结合的思想。

（1）利用函数图像比较函数值大小

例如：

分析：本题是以函数的形式给出来的，但是仅仅从给出的条件无法计算出函数的解析式，所以利用函数解析式来比较大小是不可行的。但是我们可以根据条件把函数图像画出来，从图像上来比较大小。分析给出的条件：二项式系数为负数，表示的是二次函数的图像开口向下；f（1+x）=f（1-x），表示的是函数图像关于x=1对称。并且二次函数图像是我们最熟悉的一类函数之一，由这两个条件，这个函数的大致图像就很容易就可以画出来，如图2-11所示。

图2-11

在这个例题中，如果学生不画出函数的大致图像，而直接去做的话，肯定会感觉很困难，因为函数的解析式是无法求解的。但是，如果学生掌握了数形结合的思想，就能知道，比较函数值的大小还可以利用函数图像对应点的高低来进行，或者是用函数的单调性来比较，问题也就迎刃而解了。所以掌握数形结合的思想方法对学生的数学能力的培养是至关重要的。

（2）利用函数图像求方程的解的个数问题

我们知道，方程的根和函数的零点（函数图像与x轴交点的横坐标）是一一对应的，如果解方程时遇到一些不能用求根公式的方程，解决方程就会变得非常困难。这时教师就可以引导学生将其与函数y=f（x）的图像联系起来，并利用函数的图像找出函数的零点，即方程的根。或者还有一类题目可以把方程的左右两边看成两个函数，在同一个坐标系中画出两个函数的图像，这两个图像的交点的个数就是函数的解的个数，交点的横坐标就是方程的根。

例如：

求lnx+sinx=0的解的个数。(www.xing528.com)

分析：这个问题就是常见的超越方程问题，我们不能像解一元一次或者是一元二次方程一样，通过因式分解来解决，看着是一个无从下手的题目。对于这一类问题，我们常用的方法就是把方程的两边的代数式看作两个熟悉的函数表达式（不熟悉的需要通过适当的变形变成熟悉的函数），然后在同一个坐标系中作出两个函数的图像，图像的交点个数即为方程的解的个数。对于本题学生就可以转化为求函数y=lgx与y=-sinx的交点的个数，下边我们通过图像来观察方程的解的个数，如图2-12所示。

图2-12

从图像上可以看出两个函数只有三个交点，所以说方程也就只有三个根。这个看似不能解决的方程问题，就是通过数形结合的方法求出了解的个数。所以在数学的学习中，数形结合可以说无处不在，对一些特别困难的几何或者是代数问题，也都可以用数形结合来解决。

（3）利用函数图像求方程的近似解的问题

上述求方程的解的个数的时候，就把方程转化成了函数，求函数的交点的个数就是方程的解的个数。对于方程的近似解问题，也可以用类似的方法，把方程转化成相对应的函数，函数图像与x轴交点的横坐标就是方程的解，或者像上例转化成两个函数，画出两个函数的图像，图像交点的横坐标即为方程的根，所以只需要把函数图像画出来即可。对于一些难以求解但是图像可以画出来的问题，我们就可以用这种方法求方程的近似解。这种方法比较容易理解，这里就不再举例说明。

（4）利用函数图像求参数取值范围

在这类题中，有一种非常典型的题就是根的分布问题，这类题是给出二次函数两个根的大小，然后求参数的取值范围。通常的做法就是画出二次函数图像，从图像上找出满足的条件列出式子从而求得参数的取值范围。

在求参数取值范围里还有其他的几类题，给出的函数有可能是对数函数、指数函数、幂函数等，求参数范围的时候需要把函数的图像画出来，通过图像找函数满足的条件。

例如：

已知函数

若函数g（x）=f（x）-m有三个零点，则实数m的取值范围是什么？

分析：本题若是用分类讨论的思想解决，问题会相当麻烦。这时需要转变求解方向，这个题是已知函数的零点个数，求参数的取值范围。函数g（x）=f（x）-m的零点的个数其实就是函数y=f（x）与y=m的交点个数，只需把函数y=f（x）与y=m画出来就可以看出三个交点的时候m的取值范围是什么。所以本题的关键是画出函数y=f（x）的图像。从图像上观察，要想使y=m与y=f（x）有三个交点，则m的范围只能是0＜m＜1，这样就通过函数的图像求出了参数的取值范围。

（5）函数最值或值域的问题

函数的最值就是函数图像的最高点或者是最低点，那么求函数最值的时候是否就可以画出函数图像，从图像上来求解呢？当然答案是肯定的。对于这种问题，只要图像容易画出来，直接从图像上就可以观察出答案，这里就不再举例说明。

有些函数我们可以根据它们的几何意义，即使不画出函数的图像，也可以从它们的几何意义入手来得到函数的最值。比如说利用两点的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等。

例如：

已知f（x）=|x-3|+|x+5|，求函数的值域。

分析：本题的函数解析式是两个绝对值之和，常规的做法就是去掉绝对值符号，把原函数画出是分段函数，然后画出分段函数的图像，从图像上观察函数的值域，所以就有了下边的答案。

然后可以画出分段函数的图像。从图像上可以看出来，函数的最小值是8，最大值是正无穷，所以函数的值域是（8，+∞）。

上述解答过程就是求函数f（x）=|x-3|+|x+5|的值域的常用方法，但是求解的时候，需要把函数解析式变成分段函数，然后还需要画出函数的图像，做的时候很是费力。

我们仔细观察一下函数的解析式，可以想到绝对值之和，就是数轴上的点到两个定点的距离之和。函数f（x）=|x-3|+|x+5|可以看成数轴上的点到3和-5的距离之和，所以就可以在数轴上把几个点表示出来，求出函数的最值。先画出数轴，如图2-13所示，刚才已经分析，函数的值域就是数轴上的点到两个定点的距离之和。我们从数轴上可以观察出来，-5和3之间的点到两点的距离之和最小为8，所以最小值为8；-5和3之外的点到两个点的距离之和可以达到无穷大，所以函数的值域就是（8，+∞）。

图2-13

比较上述两种方法，虽然都求出了结果，但是过程却相差很大，第一种方法显然比第二种方法要麻烦。所以了解函数的几何意义，用数形结合的思想去求解，会使问题的解决变得非常容易。

从上述几个例题可以看出来，函数的图像在解决函数问题中所起的作用是非常大的，所以在日常的教学工作中，一定要强调这种思想的重要性，并且要让学生掌握数与形之间的对应关系，这对于解决函数问题有很大的帮助。

3.用数形结合思想解决不等式问题

数形结合不仅在解决方程问题上可以发挥作用，在不等式问题上也同样能起到鬼斧神工的效果。因为不等式就是把方程中的等号换成了不等号，在方程中，方程的根可以看成函数的零点，就是函数图像与x轴交点的横坐标。在不等式中，不等式的解集和这个也是相似的。当不等式大于零时，就代表着函数图像在x轴上方时对应的x的值；当不等式小于零时，代表着函数图像在x轴下方时所对应的x的值。所以在解不等式时，也可以把函数图像画出来，通过观察函数图像得到不等式的解集。在我们解高次不等式的时候就用到类似的方法。给出一个高次不等式，首先要把不等式分解成一次式乘积的形式，比如在数轴上把（x-2）（x+3）2（x-5）3≤0的根标出来，这个不等式的根是-3，2，5，然后从数轴的右上角开始穿针引线，连接数轴的各个根，但是一定要注意奇过偶不过的原则，如图2-14所示，然后把数轴下方对应的x的值表示出来就是不等式的解集。在这个不等式中，不等号是带有等号的，所以写不等式的解集时带上等号即可。这个不等式解集就是｛x|2≤x≤5或x=-3｝。

图2-14

在解决不等式问题的时候，还有一种算法，就是根据不等式中量的选择，选择适当的两个函数。利用两个函数图像的上下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，这样往往可以避免烦琐的运算，获得简洁的解答。

例如，解不等式|sinx|＞|cosx|，x∈（0，2π）。 在解决这个不等式的时候，用常用的作差法和作商法是很有难度的，这时就可以用上述介绍过的方法。在（0，2π）范围内，画出y=|sinx|和y=|cosx|的图像还是很容易的，画出函数图像之后，因为不等式是|sinx|＞|cosx|，x∈（0，2π）， 所对应的就是函数 y=|sinx|的图像在 y=|cosx|的图像上边，所以找出满足条件的x的取值范围就是不等式的解集。

利用数形结合解决方程或不等式问题的例子有很多，在此就不再一一介绍了。但是从上面的几个例子可以看出，利用数形结合的方法，可以使很多复杂的抽象的方程与不等式问题变得简单而直观。我们可以通过函数的图像非常直观地看出方程或不等式的解，从而非常简单地解决。从上可以看出，让学生掌握这种思想对他们数学思维和能力的培养是很有帮助的。

4.用数形结合思想解决数列的问题

大家都知道，数列是一类特殊的函数，它的图像就是一些孤立的点。特别是等差数列，它的图像就是一条直线上孤立的点，它的通项公式是一次函数，它的前n项和公式是常数项为零的二次函数。既然数列可以作为一类特殊的函数，那么函数的求解方法有很多也是适合于数列的，当然也包括数形结合这种思想方法。但是要时刻注意，数列的定义域和函数的定义域是不一样的，数列的定义域是不连续的，只有一些离散的点即可。笔者用下边的例子说明一下数形结合在数列中的应用。

设等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 a1＜0，S2009=0，求当 an≥Sn时，n 的取值的集合。

分析：对于这个题，只给出了a1＜0，S2009=0，所以要通过求数列的通项等方法求n的范围是比较困难的，但是通过刚才的分析可以知道，等差数列是一类比较特殊的数列，其通项公式是一次函数，前n项和公式是常数项为零的二次函数。一次函数和二次函数的图像都比较熟悉，所以就想能不能通过画出函数图像来求解。我们可求出一次函数与二次函数的交点，就是要先求出an=Sn时对应的n的值。经过分析知道，a1=S1，且S2009=0，那么就有S2010=a2010+S2009=a2010，所以an=Sn有两个实数解n=1和n=2010，先把函数图像画出来，如图2-15所示，从图像上来分析（因为一些离散的点画的时候不方便，所以先把整个函数图像画出来，但是要知道图像是离散的这一特点）。

图2-15

从图像上看，要满足an≥Sn，也就是一次函数的图像在二次函数图像的上边，对应的n的值就是1≤n≤2010。

由此得到了n的取值范围为｛n|1≤n≤2010，n∈N+｝

上述用数形结合的方法很方便地求出了n的取值范围，但不是数列的所有题目都可以用数形结合的方法，只有当函数图形容易画出的时候才能起到作用。而等比数列的通项公式和求和公式都是高次的，不容易画出，所以数形结合在数列中最常见的就是解决等差数列的问题。

5.用数形结合思想来解决最值问题

最值都很容易理解，即最大的或是最小的，最值问题也是高考中常考的一类题，经常出现在函数中。其中求最值问题经常需要转化，常用的转化方法有以下五种。

（1）利用点到直线的距离公式进行转化

（2）利用两点间的距离公式进行转化

（3）利用两点之间的斜率公式进行转化

图2-16

（4）线性规划问题

上述三个例子是用数形结合的方法求最值的典型例题，还有一类题是高考中的一个常考题目，就是线性规划问题。这类问题一般是先给出一个不等式组，称之为约束条件，然后再给出一个函数（目标函数），来求目标函数的最大最小值问题。

解决这类问题的步骤包括以下四个方面：第一步，在平面直角坐标系中作出可行域（约束条件所表示的区域）；第二步，考虑目标函数的几何意义，将目标函数变形；第三步，确定最优解，在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而得到最优解；第四步，求最值，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

例如：

分析：本题就是线性规划的题型，解决本题的关键就是利用数形结合的思想，画出可行域，求得最优解。但是在画可行域的时候要注意，约束条件中的不等式有等号的画成实线，可行域包括直线；约束条件中的不等式不含有等号，则画可行域的时候要画成虚线，可行域是不包括这条虚线的。对于本题，我们就可以画出目标函数表示的区域，即可行域，然后再求解。

图2-17

则 A（4，1）。

则 B（-3，2）。

因此4x-3y的最大值是13，最小值分别是-18。

本题就是典型的线性规划问题。有的时候不会直接给出目标函数和约束条件，而是给出一个应用题的形式。我们需要分析里边的数据关系，列出目标函数和约束条件，然后再根据求解线性规划问题的步骤去解答。但是做题的时候一定要注意，等号和实线之间对应，做到不重不漏。

（5）解析几何中的最值问题

解析几何是数与形联系的典范，是几何问题代数化的典型代表。但是我们解解析几何问题的时候，不能单纯地用代数的方法去考虑，而应该将两者结合起来去研究。一般来说，解决解析几何问题的时候，基本的方法就是先把图形画出来，然后从图形上去研究所要解决的问题。比如以下求最值的问题。

设点p是曲线y2=4x上的一个动点，求点p到点B（-1，1）的距离与到直线x=-1的距离之和的最小值。

分析：首先y2=4x表示的是焦点在x轴的正半轴上的抛物线，本题是圆锥曲线中求最值的问题，这类题是高考中的一个重点，做这类题我们首先把图像画出来，然后从图像上分析。因为抛物线有一个很好的性质，就是抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等。这个式子表示的抛物线，其准线方程刚好就是x=-1，所以本题中点p到x=-1的距离就可以转化为点p到焦点的距离，所以这个题其实是点p到B（-1，1）的距离和到焦点F（1，0）的距离之和。我们从图形上可以观察出，两边之和大于第三边，所以最小值就是|FB|，我们只需要求出|FB|的距离即可。

从上述内容和例子可以看出，数形结合思想是解决问题非常重要的一种思想。因此对于学生而言，掌握数形结合思想也是学好数学的前提和保障。作为教师，在课堂教学中必须加强引导学生对于这种思想的理解和应用，让学生在学习过程中不断受到潜移默化的影响，在解决问题时自然而然地产生这种想法。只有这样，学生才能学会数学，以至于学好数学。并且教师教学时绝不是为了教会学生某一个问题，而应该是通过某一个问题教会学生思考和分析，从而将其中的思想和方法融会贯通，以至于可以解决类似的问题。作为数学中最重要的思想之一，数形结合必须要受到教师和学生的重视。教师必须在教学中多渗透这种思想，这样才能使学生的数学甚至其他相关学科的能力都能得到大的提高。