数形结合思想方法的意义：中学数学教学研究

数形结合是联系数与形的纽带，数严密抽象，形生动直观。生动的几何直观与抽象的数量关系各有长处，抽象的数量赋予几何直观的形象，具体实在、思路清晰，又有活力；直观的图像有数量关系的支撑，内容丰富，令人可信，更有威力。因此，在解题的过程中，要时时有意地将数形结合在一起，兼收两者之长，这将大大提高学生分析和解决问题的能力。

（一）数形结合思想可以拓展学生寻找解决问题的途径

在多年的教学中，笔者发现这样一个现象，就是有的学生学习特别刻苦，上课的时候听讲很认真，笔记记得也是密密麻麻的，课下作业完成得非常好，有什么不明白的问题都及时请教，但是考试的时候成绩却不很理想。每次看到这样的学生笔者都很是心疼，总是想尽各种办法帮助他们掌握。还有另外一些学生，平时上课的时候也算是认真听讲，但是下课之后的作业完成得就不尽人意，所交的作业有的只写一个思路，有的甚至只有一个答案，看着态度是极不认真，然而考试成绩却很好。针对这一现象，笔者经过观察、思考、分析，得出了一些答案，认为造成这一现象的原因主要是学生是否真正地掌握了数学思想方法。

先分析第一类学生，他们上课的时候确实也是认真地听讲了，但是他们只是针对这一道题听得很明白，思想方法并没有完全掌握，或者不会举一反三，所以一旦问题稍微一改变就不会做了，最终导致成绩不理想。而第二类学生，他们听课的重点却是思想方法，遇到一个问题应该怎么分析，用了什么方法，应该怎么解答，他们理解得很透彻，因此下次如果再遇到类似的问题，他们就会知道该怎么去解决，成绩自然就比较不错。

通过以上分析的两类学生我们不难看出在教学中强调数学思想方法的重要性。而数形结合作为常见的一种数学思想方法，它的作用自然也是很强大的，它能帮助我们寻找解决问题的途径。比如说中学数学中常见的函数问题，有的学生拿到题之后就开始想思路，然而往往是想了很长时间却仍然没有任何效果。对此，笔者交给学生的方法是，拿到一个函数题之后就要尽力地把函数的图像给画出来，画出图像之后从图像上分析，因为函数的图像和性质是一一对应的，如果能从图像上看到了内容，这个题目就很容易解出来。

例如：

方程x2-mx+1=0的两个根为α和β，且α＞0，1＜β＜2，那么实数m的取值范围是什么？

分析：这个问题是高中阶段经常见到的根的分布问题，看到这个题目，有的学生估计会这样想，用求根公式把方程的两个根表示出来，然后根据他们的大小范围求参数的值，这种方法虽然可行，但是实施起来却非常的麻烦。这个时候学生可以先画出方程对应的函数的图像，从图像上找出它应该满足的条件。容易看出这个方程对应的函数解析式是f（x）=x2-mx+1，并且画图像的时候要满足题目中给出的两个根的范围，即两个根之积为1，其中一个是大于0小于1，另外一个就大于1小于2。下面我们可以通过画出它的草图，如图2-1所示，求出m的取值范围。

图2-1

从图像上分析，要想使两个根一个大于0小于1，一个大于1小于2，我们只需要让f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0即可。

解：因为 αβ=1 且 1＜β＜2

所以 0＜α＜1

令f（x）=x2-mx+1

由图像知：

通过这个例子我们可以看出，掌握数形结合思想方法对于学生寻找解决问题的途径有很大的帮助。我们可以清晰地体会到在教学中贯彻数形结合思想方法的重要性。

（二）数形结合思想可以加深对基本概念的理解，提高学习效率

众所周知，前些年中学的代数和几何还是分开来讲的，笔者自己在当时就直觉地认为这是两门功课，代数的方法只能运用到代数中，而几何的方法也只能用到几何里边去，没有想到代数几何还能相互交叉。现在代数和几何放在一起称为数学，这一方面增加了学生学习的资源，另一方面拓展了学生的思维。让学生在解决代数问题时容易考虑到几何方法，在解决几何问题时也会联想到代数思想，从而可以达到提高学习效率的目的，学生就更容易掌握。甚至对于一个题，学生可以想出好几种解决方案，从而就能有效地激发学生学习的兴趣。

图2-2

上边的求根公式配上几何解释，学生就更容易理解和记忆，并且在枯燥的数学学习过程中，换了一种思想，使学生有新奇的感觉，课堂效果会更好。另外让学生知道，数学是很神奇的，普通的一个公式都能用图形表示出来，让学生增加了学习数学的信心和兴趣。(www.xing528.com)

（三）数形结合思想有助于学生数学思维能力的培养

所谓的思维，简单地说就是每一个人在从事学习和工作的时候，脑子里总是在想着做什么或者是怎么做的问题。人的大脑思考问题的这种内部活动就是思维。大脑科学的研究成果表明，大脑的左右两半球是具有不同功能的，左半脑的功能主要是偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如对数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等；右半脑的功能则主要是偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左右半脑的功能各有其特征，如果相互补充就会使大脑功能更加健全和发达，数形结合思想就是充分地运用了左右半脑的功能，在培养形象思维能力的同时，促进了直觉和发散思维能力的发展。

1.数形结合思想有助于发展学生的形象思维

形象思维从字面上理解就是说从知识的形上去思考，由对实物的感知去构建出数学表象，或者是将文字符号给出的信息转变成直观表象，其实就是一种“图形的”思维方式。在数学中渗透数形结合思想可以帮助学生发展其形象思维能力，其主要表现如下。

首先，数学中的概念、定理、公理等都是由直观图形构建出来的。用数形结合的方法可以帮助学生更加牢固地掌握这些知识。比如说在高中教材必修二的空间点、直线、平面之间的位置关系中有很多这样的定理，如“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”“一个平面内的两条相交直线和另外一个平面平行，则这两个平面平行”“一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直”等。在讲授这些定理的时候，笔者首先让学生去直观地感受，因为高中生的空间想象能力都相对比较成熟，所以对于这些内容不难想象出来。学生在感受之后笔者再去给他们证明，让他们相信自己的感受是正确的。以后在用这些定理的时候，也不让学生去死记硬背，每次遇到这种类型的题，就让他们自己去找模型，教室里、课桌上，这样一是可以减轻学生的负担，二是学习起来也更加轻松，可以发挥自己的想象，更能激发他们的学习兴趣和热情，学习效率自然就会提高了。

其次，数学在解题过程中是以定义定理为依据，通过分析、分解、重组等，对题目进行论证、推导、计算。在论证过程中也有很多的题目是以图形结构的转化为推理过程的线索和载体的。比如说在高中数学课本必修五的教材中的正弦定理的证明，首先给出的是直角三角形满足正弦定理，然后图形发生转化，在锐角和钝角三角形中，正弦定理也同样是成立的。这样从特殊到一般的证明方法学生接受起来也更加容易，便于掌握。

最后，数形结合可以有效地培养学生对图形的想象能力，促使学生形象思维的发展。“以数想形”是数形结合训练过程中经常用到的一种思维方式。比如说我们经常见到这样的式子（x-2）2+（y+3）2=9，有的学生见到这样的一个式子，就单纯地认为其是一个二元二次方程，至于怎么求解是一无所知的。但是学习了数形结合这一思想之后，这样一个式子就可以看成一个图形，其可以是以（2，3）为圆心，以3为半径的一个圆，在做题的过程中x，y就可以看成整个圆上的点。还可以认为其是（x，y）这个点到（2，3）的距离的平方是9。这样一个二元二次方程就可以看成一个图形，就可以通过图形的一些性质去解决这个问题。

2.数形结合思想有助于发展学生的直觉思维

在日常学习中，这样的例子很多，上述（x-2）2+（y+3）2=9也是一个很好的说明。看到这样的式子，学生应该积极地想象式子所代表的图像，一旦形成了习惯，则观察分析数学问题，直观得出结论的数学直觉思维就会得到很好的发展。

3.数形结合思想有助于发展学生的发散思维

发散思维，又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式。其表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状，如“一题多解”“一事多写”“一物多用”等方式，培养发散思维能力。

数形结合思想，就是指在解决问题的时候，既进行代数抽象的揭示，又进行几何直观的呈现，不仅从数的角度而且要从形的角度去理解，不仅要学会用形的结构特征去理解数的特征，也要学会用数的特征去理解形的特征，要两方面综合考虑，才能实现数与形的相互利用、相互转化。

所以数形结合思想对思维能力的培养是很有帮助的。我们遇到一个问题，从代数的角度认识，可以获得代数的解决方法；从几何的角度处理，可以获得几何的解决方法。比如在立体几何问题中，证明平行、垂直，求解线面角、二面角等，我们可以在图形上利用已知条件，直接用几何的方法解决，还可以通过建立空间直角坐标系，利用代数的方法来求解。由此可见，从多个角度理解题目，自然能够开阔思路，得到多种解决途径，做到一题多解。这样思维就得到了发散，也就是说能够培养学生的发散思维能力。