中学数学教学：运用数学概念的辩证关系及实例

（一）数学概念教学中对立统一规律的运用

对立统一规律是唯物辩证法最根本的规律，是宇宙最根本的规律。因此，只有用对立统一规律剖析数学概念，才能更正确、更深刻地理解数学概念的本质。

1.对立统一规律与数学概念的引入

（1）一般与特殊的对立统一

数学概念的教学要特别注意概念引入时例子的选择，可以先提出具有充分代表性的“特殊”例子，经过分析与启发，再引入具有概括性的“一般”概念。反过来，也可以通过“一般”例子经过归纳总结过渡到对“特殊”例子的认识，二者是辩证统一的。例如，在学习“正棱锥”这个概念时，由于前面已经学习了“多面体”的概念，因此教师可以列举一些一般的多面体，进而将其特殊化。具体地，教师可以列举一般的四面体，然后向学生提出问题，比如“如果这些四面体的底面是正多边形呢？”从而引入“正三棱锥”的概念。接着再列举“五面体”“六面体”等一些多面体的概念，进而引出“正棱锥”的概念。这就是教师引导学生从一般走向特殊化的过程。

（2）抽象与具体的对立统一

数学概念是一类事物在空间形式或数量关系上本质属性的抽象，用数学形式化的语言表达出来，因而具有高度的抽象性。但数学无论多么抽象，甚至不可思议，也只是表面上掩盖了其来源，其始终是与现实世界密切联系的，总可以在现实世界中找到原型，因而，它又是实实在在的东西，又是具体的。

研究表明，学习具体性文字中的信息比学习抽象性文字中的信息要容易得多，因为具体的名词能产生心理映像。比如，学习“平行四边形”这个概念就比学习“函数”这个概念要容易得多。因此，教师在讲授数学概念的时候要特别注意运用由具体到抽象、由抽象到具体的认识规律，二者是对立统一的。

（3）整体与部分的对立统一

教师教给学生一个新概念时，应该事先构建一个可以把该概念置于其中的整体框架，即建立起概念之间的联系，这样有助于学生对数学概念的理解，而不应孤立地教授一个概念，因为脱离整体会限制学生学习的价值。我们以人教版高中数学第三册（选修Ⅱ）中“数系的扩充——复数”一章为例，构建了一个能够将“复数”概念置于其中的框架，具体如图1-6所示。

图1-6　“数系的扩充——复数”框架

有了上面的框架，学生不仅对“复数”这个新概念有更深的了解，而且对复数的分类也掌握得更好，也了解了复数中虚数与所学习的实数及其分类之间的关系，更明白了复数集是他们所学范围内最大的数集。由此可见，将一个新的数学概念置于一个整体的框架中，有助于学生借助学习过的知识来了解新的概念。数学中的概念都是互相联系的，没有哪一个数学概念是孤立的，这是数学的系统性的必然结果。

2.运用对立统一规律帮助学生理解数学概念的本质

（1）肯定例证与否定例证

肯定例证主要是反映概念本质属性的，是概念所在类别中的成员，总的来说，不属于概念类别的其他例子都是概念的否定例证。肯定例证和否定例证反映数学概念的本质属性的差异，肯定例证传递了最有利于概括的信息，否定例证则传递了最有利于辨别的信息。

为了使学生更加容易地掌握数学概念，在概念形成的初始阶段，通常不引入否定例证，因为这时学生对“映射”的本质属性还不了解，否定例证的引入会给学生的理解和记忆造成负担，使错误概念先入为主，对概念的理解产生干扰，故而起不到积极的教学效果。

（2）概念的内涵与外延

陆书还等主编的《数学教学论》中指出，概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和，概念的外延就是概念所反映的事物的总和（或范围）。概念的内涵与外延是分别对事物的质和量的规定。概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、相互制约的。当概念的内涵扩大时，概念的外延就缩小；当概念的内涵缩小时，概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。学生在初步理解了一个数学概念后，教师可以利用概念的内涵与外延之间的反变关系来检验学生的掌握情况，这也是对立统一规律的体现。

例如，在学习“平行四边形”概念时，教师可以将“平行四边形”的概念板书在黑板上，即“在同一平面内两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”。当去掉“两组对边分别平行”时，概念的内涵缩小了，外延扩展为“四边形”；当概念中加入“有一个角是直角”的限定条件时，概念的内涵扩大了，外延扩展为“矩形”。在这个教学过程中，教师应强调内涵与外延扩大或缩小的条件，使学生明白概念的本质属性是必不可少的，缺少之后概念的实质就变了。

（二）两种无穷观的辩证关系对数学概念教学的启示

1.适当地引入潜无穷和实无穷观念

中学数学教育处于小学数学教育与大学数学教育的中间阶段的地位，决定了其在认识“无限”方面具有承上启下的作用，是形成和发展科学的“无限”观的奠基时期。

“无限”观念是数学观念的一个重要部分，“无限”的思想也是重要的数学思想方法之一。两种无穷观作为对“无限”概念的两种不同的理解，在互不相容的同时又有着一定的联系，首先，两者都不是有限的，其次，两者都不具有固定的末元。而事实上，两者之间的关系是对立统一的辩证关系。教师如果能把握好二者之间的关系并在此基础上引导学生深刻理解和掌握两种无穷观的实质，不仅能够帮助学生理解数学概念的内涵，同时有助于开阔学生的视野，提升学生的理性思维能力，更有着世界观和方法论的教育意义。

（1）潜无穷的引入

关于学生对“无限”概念的认识，多数学生是以潜无穷的观点来考查，把它当作一个无限变化着的不能完结的过程。可见，潜无穷的观念学生接受起来应该没有什么困难，只是学生不知道他们正在以“潜无穷”的观点去思考问题。这就需要教师加以引导，从而让学生接触“无限”的概念，了解“潜无穷”的思想。

例如，一个无穷数列是按自然数序一个一个地离散地变化的，是一个不断创造着的永远完成不了的过程，体现了潜无穷的思想。又如，渐近线的概念，曲线上的点M沿曲线无限远离原点时，点M到渐近线的距离无限接近于0的过程，也是潜无穷的思想。再如，新课程中的新增内容导数的概念，在函数的求导过程中，由于在此之前的小学数学中并没有关于无穷概念的教学任务，学生可能理解得比较困难，因此教师可以适当地引导学生去理解“无限缩小的过程”的观念，从而帮助学生加深对数学概念的理解和掌握。

（2）实无穷的引入

华东师范大学的汪晓勤等老师曾于2006年做了“高中生对实无穷概念的理解”的测试，结果显示高中生对实无穷的理解、困惑以及所用的策略与历史上数学家的理解困惑以及所用的策略是相似的。这说明高中生对“实无穷”的理解比较困难，有点茫然。因此，教师应该加强学生的实无穷观念，并让学生了解两种无穷观的发展过程，从而解除他们在概念理解上的困惑。

在学习高一数学中的集合时，教师可以特意设置一个比较两个无穷集合的大小的障碍，比如，正整数集｛1，2，3，4，5，…｝中的元素是否比平方数集｛1，4，9，16，25，…｝中的元素多？在讨论并引导学生运用不同策略比较后，学生会发现一个互相矛盾的结果，由此引起学生的认知冲突，进而创造强烈的学习动机。接着教师可以引入实无穷的概念，并通过追溯自古希腊开始直到康托尔建立集合论之前实无穷概念的历史，强调亚里士多德、伽利略和波尔察诺等对实无穷的认识，使学生意识到自己对“实无穷”概念的困惑或错误理解是正常的，历史上的数学家曾经也有这样的困惑，因而不必对自己的理解能力感到怀疑。

2.结合数学史知识有利于理解数学概念

在引入实无穷的过程中，教师应及时追溯历史，联系数学史中“无穷观”的发展过程，这将有利于解除学生在概念理解时造成的困惑，否则有可能使有些学生由此怀疑自己的能力，进而丧失学习的信心。在数学概念教学中，恰当地向学生讲述数学史不仅丰富了数学的文化内涵，而且在提高学生的文化素养的同时又可以提高学生的学习积极性，从而帮助学生理解数学概念，进而提高数学成绩。

新的高中数学课程标准的课程目标中也指出，要激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心。认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学思考的理性精神，欣赏数学的美学魅力，形成批评性的思维习惯，从而进一步树立辩证唯物主义世界观。因此，教师如何使数学教学包含更丰富的内涵，从而唤起学生学习数学的兴趣，并达到树立正确世界观的目的就显得更为重要。

数学是以概念为起点，以公理、定理为依托，用各种思维方法总结出来的一个学科体系。新课程中增加的许多数学概念，如极限、连续、导数、微积分、概率等学生理解起来比较困难，而一个概念只有在与其历史背景联系时，才能容易被人所理解、所接受。因此，在教学中可以结合数学史提供各种数学问题的历史背景，让学生理解有关概念的来龙去脉，以获得真正的理解，也能把握数学发展的整体概貌，组织起结构良好的知识网络。

由于数学学科本身具有高度抽象的特点，教师如果仅仅把数学作为一门知识传授给学生，不仅违背了素质教育的理念，而且容易使学生感到数学文化的枯燥和乏味，从而可能失去学习数学的兴趣。因此，教师应该通过讲述数学史让学生领悟到数学的丰富文化内涵，也应该让学生经历数学家的种种困惑，最后明白通过探索得来的知识不仅理解得透彻而且印象深刻。

3.用辩证法进行数学概念教学

任何事物的内部都包含着互相对立又互相统一的两个方面。徐利治教授在谈到“潜在无限”和“实在无限”时明确指出，两种无限只不过是对同一对象的两个侧面的反映。实际上既不存在没有潜在无限的实无限，也不存在没有实无限的潜无限，实无限都必须是某一潜无限基础上飞跃而完成的无限过程，潜无限都是某一个实无限的初始片段。可见，无穷观的发展过程中也蕴含着丰富的辩证法内涵，这一点也同样给我们的数学概念教学以不可忽视的启示，即要恰当利用辩证法进行数学概念教学。

在向学生灌输无穷思想的同时运用辩证法思维把握好二者的关系，面对不同的教学内容、不同阶段的教学任务，可以相应地向学生介绍不同观点的侧重点。这样不仅能够开拓学生的思维，也能促进学生对教学内容的理解，使学生更灵活牢固地掌握数学方法，同时也加深了学生对基础观念的理解。

4.引入潜无穷和实无穷要注意的两个问题

中学阶段是学生形成科学的“无穷观”的重要时期，对“无穷”的认识既渴望又模糊。因此，教师在教学中不能盲目地引入潜无穷和实无穷，应该注意以下两个问题：首先，由于学生受生活经验的影响，对不同的“无穷”的认识存在不同的心理倾向，因此教师应该针对不同的教学任务分析学生的心理倾向，正确恰当地引入“潜无穷”或者“实无穷”；其次，“潜无穷和实无穷”是数学基础中研究的问题，教师在引入的时候应把握好教学重点，不要把两种无穷观的争论及无穷观的进一步思考作为课堂重点。

（三）案例分析

理解数学概念是学好数学的基础，但是学生要想透彻地理解一个数学概念并不是一件容易的事情，这是由数学概念本身具有高度抽象的特点所决定的。因此，有时我们需要用辩证法的观点来对一个数学概念的实质进行剖析和把握。函数概念和极限概念分别是中学数学和高等数学中两个极其重要的概念，我们主要以前面所探讨的概念中蕴含的辩证关系为理论指导，选取《普通高中课程标准实验教科书（数学1，必修A版）》中的“函数”概念内容和《全日制普通高级中学教科书（数学）（第三册，选修Ⅱ）》中的“极限”概念内容设计教学实践案例，以案例来具体说明“在教学中如何在数学概念教学中合理利用一些必要的辩证关系以及如何分析数学概念中的辩证关系使学生更透彻地理解数学概念”。

1.“函数”概念的教学

一、教学背景分析

函数是数学中重要的基础概念之一，其几乎渗透到数学的每一分支，函数思想也一直贯穿于整个高中数学教学，它也是近代数学的基础。中学生在以后的数学分析学习中，会学习极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程。这些都是以函数作为基本概念和研究对象的，其他学科，如物理学等也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。但是函数的概念在实际教学中存在很大的困难，主要包括以下两个方面的原因。

第一，从函数概念本身来看，学生在初中时期学习函数概念是描述变量之间的依赖关系，而高中时期的函数概念是用集合之间的对应关系来描述的，学生本来对“变量”的概念理解得不是很透彻，加上现在的“对应”一词，理解起来就更困难了。因此，函数概念中“变量”和“对应”两个词的理解对学生也造成了很大的困惑。

第二，函数概念有着很多的不同表现形式，包括列表、图像和解析式三种表现形式，既有形的表现形式也有数的表现形式，既有抽象的也有具体的。由于学生的认知结构还不是很完整，思维水平还不是很成熟，因此对这种“数与形”“抽象与具体”之间的转化也存在一定的困难。而函数概念教学中这种转化恰恰是准确深刻理解函数概念的重要前提。

因此，在教学中应当注意学生在学习函数过程中的这些难点，有针对性地突破难点。针对第一个问题，教师可以通过介绍直观性强的感性材料来帮助学生理解“对应”的概念；第二个问题需要教师挖掘函数概念中的辩证关系来帮助学生理解。

此外，教材中采用三个背景实例，在问题的引导下分析、概括了数集之间的一种特殊对应关系，所以在教学中除了使学生掌握函数概念的实质外，还需要重视这些数学模型，体会理论与实践的对立统一关系。

函数的教学内容也蕴含着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材。在教学中教师应当善于挖掘这些辩证思想，及时对学生进行辩证唯物主义教育。

二、教学目标及教学内容框架设计

（一）教学目标

1.知识与技能

（1）进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数。

（2）体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

2.过程与方法

（1）介绍函数概念的发展过程，丰富学生的“数学文化”知识。

（2）通过对教材上三个实例的研究，引出用集合语言刻画函数。

（3）介绍函数概念的内涵与外延，使学生形成从抽象到具体、从具体到抽象的认知方法。

（4）在函数运用过程中体会数形结合的思想方法。

3.情感态度与价值观

（1）通过介绍函数概念的发展过程，体会数学发展与社会发展之间的相互作用，激发学生的民族自豪感。

（2）在教学中，通过利用概念蕴含的辩证关系培养学生的辩证唯物主义世界观。

（二）难点与重点

1.重点是理解函数模型化的思想，用集合对应的语言来描述函数的概念。

2.难点是对“对应”一词的理解以及对符号“y=f（x）”的理解。

（三）教学内容框架设计

具体如图1-7所示。

图1-7　教学内容框架

（四）教学用具

电脑、多媒体。

三、学法与教法

（一）学法

学生在初中已经学习过函数的概念，初中建立的函数概念是，“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数”。

这个定义从运动变化的观点出发，描述了变量之间的这种依赖关系。学生虽然学习过函数的概念，从认知的角度讲，应该比较容易接受高中即将学习的新的函数概念。但用集合描述的这种“对应”学生是初次接触，因此从情感上比较陌生和恐惧，所以在教学中要通过大量的实例研究，引导学生从实例中体验，最终领会“对应”的含义。

（二）教法

通过大量实例，遵循“特殊到一般”“具体到抽象”的认识规律，提出问题，确定方向，抽象概括，在教学过程中注意挖掘函数概念中的辩证思想，及时对学生进行辩证唯物主义教育。

四、教学过程设计

（一）介绍函数发展史

（1）函数的概念是由谁首先提出的？

（2）函数概念是如何一步一步发展的？

（3）函数是谁在集合论的基础上揭示了概念的本质吗？

（4）函数一词是由谁引入中国的吗？

设计意图：新课程教材中函数的概念增加了阅读材料“函数概念的发展历程”，教师不应该省略这一部分内容，而应紧密结合函数概念起源的背景、函数符号的发明者莱布尼茨来介绍函数概念的发展历程，使学生体会事物发展都要经历否定之否定的过程，在曲折中不断前进。这样既渗透了数学文化又体现了人文精神，与《普通中学数学课程标准》的基本理念相一致。

（二）引出实例，抽象概括(www.xing528.com)

（1）初中函数是如何定义的？你是怎样理解函数的？

（2）假如我们发射一枚炮弹，大家考虑一下，在这个炮弹发射的过程中你们会关注什么？

（3）我们可以看到书上的这个图像，描述的是1979年到2001年期间，南极臭氧层空洞的面积图像，那么根据我们刚才的实例1，你能发现什么？

（4）在这个表格中，显示了某同学每天买练习本的数量以及购买金额，通过这个表格，你能发现什么？

（5）观察以上一些例子，它们有什么共同点？你能得出什么结论？

设计意图：第一，回顾初中时学习的函数概念，注意新旧知识的联系，体现“新”与“旧”的对立统一；第二，给出具体的丰富的现实原型，激发学生思考，使学生慢慢认识到“对应”的含义，进而在教师的启发引导下抽象概括出函数的概念，体现了具体与抽象的对立统一；第三，三个背景实例分别给出函数的三种表示方法，其中图像和表格都体现了数形结合的思想，体现了数与形的对立统一；第四，我们应该辩证地看待教材，在这里的第三个背景实例并没有采取教材中的关于恩格尔系数的例题，是因为教材中专业术语恩格尔系数的出现，由于学生从未接触过，所以造成了一定的困惑，很可能使某些学生失去学习数学的兴趣。在教学中教师不应该一味地抱着课本，而应该辩证地看待事物，对教材中的内容灵活变通处理。

（三）挖掘函数概念的内涵与外延

（1）首先看函数是在什么情况下讨论的？

（2）怎样理解概念中的“任意”和“唯一”？

（3）符号y=f（x）有什么意义？

（4）是不是所有函数都有解析式？

（5）有解析式的一定是函数吗？

（6）x的取值范围与集合A是什么关系？

（7）y的取值范围与集合B是什么关系？

（8）你能给出一些函数的例子吗？

设计意图：每个概念都是内涵和外延的统一体，通过对函数概念的剖析，理解函数概念的本质属性，然后从抽象再到具体，让学生举出函数的一些例子，弄清函数概念的外延，进一步加深对函数概念的理解。

（四）加强函数概念运用

例1：你能判断y=C（C是常数）是否是函数吗？

生1：是函数，因为y=C不仅有自己的解析式，而且根据这个解析式能画出具体的图像，所以y=C当然是个函数。

生2：不是函数，因为y=C这个解析式中只有一个变量y，并且它还等于一个常数，而函数的概念则强调“两个变量x和y”，因此y=C不是函数。

设计意图：学生之所以不能正确判断y=C（C是常数）是否是函数的主要原因在于找不出变量x，事实上，当教师把“y=C”写成“y=0·x+C”的形式，学生就会明白，原来这个变量“x”是被隐藏了，而式中，y=C左边的y是个变量，右边C是常数也体现了变量和常量之间的统一。通过此题让学生理解变量和常量之间的辩证关系，我们不能采取形而上学的观点说变量就是变量，常量就是常量，变量和常量不是绝对的，在一定条件下可以转化。

例2：你能判断表1-4中所表示的关系是函数吗？

表1-4

师：通过这个例子，你能说出一个函数由哪几部分组成吗？

设计意图：通过具体的函数模型，加强对函数概念的理解，并引出函数概念的三要素。采取在运用概念结算提出函数概念的三要素而不是在挖掘函数概念内涵阶段提出，目的是从具体模型中提取概括函数概念的组成部分，再次加深对函数概念的理解。

点评：

用唯物主义观点阐述数学教学内容，不应牵强附会，不是给数学知识贴辩证法的“标签”或拖唯物主义的“尾巴”，而应力求观点材料的有机统一。本案例通过教师对函数概念唯物地解释与辩证地阐述，从具体到抽象，从抽象到具体，再从具体到抽象，使学生深刻理解函数概念的同时，提高学生的认识能力，逐步培养学生的辩证唯物主义世界观。

2.“极限”概念的教学

一、教学背景分析

极限思想是人们认识数学世界、解决数学问题的重要武器。数列的极限是学习极限的入门课，是初等数学和高等数学衔接最紧密的内容之一，是中学数学的重要概念之一。现行教材《全日制普通高级中学教科书（数学）（第三册，选修Ⅱ）》只有对数列极限的描述性定义，这样降低了学生的学习难度，主要是采取直观描述的方式来使学生感悟极限的意义。因此，教学的重点是使学生感悟数列极限的意义，理解数列极限的描述性定义，能够分析、描述数列的变化趋势，通过变化趋势分析数列的极限存在情况，在教学中应当把握好尺度。

极限的学习是难点之一，主要原因有以下两个方面：第一，极限是从“有限”向“无限”的过渡，学生在此之前接触的都是“有限”，很少涉及“无限”，完成这个思想的转化有一定的难度；第二，学生还不知道极限思想在现实生活中的实际用途，而且这部分内容与以前学习过的知识联系较少。

因此，要想完成极限概念的教学，突破极限概念教学的这些难点，必须解决以下两个问题：第一，通过数学史知识使学生首先了解极限思想在现实生活中的实际用途，体会“无限”的思想，也提高学生的学习兴趣；第二，使学生正确理解“无穷大”“任意小”“无限趋近于”等概念。

此外，数列极限内容很好地体现了动与静、特殊与一般的辩证统一，渗透了量变到质变等哲学思想，充分体现了数学中的哲学思想。通过这部分内容可以很好地培养学生的辩证唯物主义世界观。

二、教学目标及教学内容框架设计

（一）教学目标

1.知识与技能

（1）使学生了解极限的概念和描述性定义。

（2）使学生会判断一些简单数列的极限。

2.过程与方法

（1）通过实例的分析，培养学生的观察、分析、比较、概括的能力，体验从具体到抽象、从特殊到一般的认识过程。

（2）通过学习数列的极限，掌握极限的思想方法。

3.情感态度与价值观

（1）通过介绍刘徽的割圆术，在使学生体会极限思想的同时，激发学生的民族自豪感。

（2）通过揭示函数概念中的辩证关系，使学生初步认识量变与质变、有限与无限的辩证关系以及极限概念中的对立统一规律的体现，培养学生的辩证唯物主义观。

（二）难点与重点

1.重点：数列极限的概念和定义。

2.难点：学生从“有限”思想到“无限”思想的过渡。

（三）教学内容框架设计

具体如图1-8所示。

图1-8　教学内容框架

三、学情分析与教法分析

（一）学情分析

虽然学生以前对极限概念中的“无限”接触少，但是事实上，在以前学习的知识中都或多或少地接触过无限的思想。例如，初中的时候就知道当圆的内接正多边形不断增加时，多边形的周长也不断增大，而且越来越接近于圆的周长。但由于“无限”的极度抽象，使学生对极限的理解还是有一定的困难。在教学中教师应当尽量选择丰富的感性材料使学生认识到“无限”的本质。

（二）教法分析

根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，采取教师启发讲授与师生讨论、探究学习的教学方法。教师可以从古代数学史引入数列极限的定性描述，借助信息技术让学生获得对极限思想的直观认识，重视从实例的共同特征到一般性质的概括过程。

四、教学过程设计

（一）结合数学史体会极限思想

（1）你知道刘徽是什么人吗？刘徽的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失也”是什么意思？按照刘徽的割圆思想，不断割下去会怎么样？

（2）庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”说明了什么道理？

设计意图：通过多媒体展现刘徽的割圆术，采用数形结合的方式使学生体会极限的思想，此外，这种通过数学史引入极限的方法，不仅激发学生的求知欲，而且渗透了数学文化教育。

（二）探究规律，理性认识

分析以上数列，它们有什么共同点？

设计意图：分析数列的共同点，让学生弄明白定义中“两个无限”的依赖关系，“n无限增大”是“an无限接近a”的前提，“an无限接近a”是“n无限增大”的结果；分析“无限”逼近的过程，让学生体会“静”与“动”的辩证关系、“有限”与“无限”的辩证关系、“近似”与“精确”的辩证关系、量变到质变的发展规律。

（三）分析数列极限概念

（1）｛an｝是否一定是无穷数列？

（2）常数a是唯一的吗？

（3）数列的极限值与给定数列的有限项有关系吗？

（4）数列的数值变化趋势有哪几种？

（5）“an无限接近 a”是什么意思？

设计意图：通过分析数列an的无限接近的过程，用过程与结果的对立统一性、有限与无限的对立统一性来剖析数列极限概念的实质。

（四）巩固反馈

设计意图：判断数列有没有极限需要通过数列极限的概念的本质属性来进行，这一阶段考查了学生对数列极限概念的理解，进一步体会极限中的辩证法思想。

点评：

极限中含有丰富的辩证法，如果对极限的概念和方法能做出较为深刻的辩证唯物观的解释，无疑将对从更深的层次理解微积分起到提纲挈领和画龙点睛的作用。对于提高数学教育质量，树立受教育者的正确世界观和科学方法论无疑会收到事半功倍的效果。本案例正是在这个理论指导下，在整个教学中注重挖掘极限概念中的辩证法思想，不仅使学生对数列极限的概念有正确和全面的认识，还培养了学生的辩证唯物主义世界观。

本部分内容运用辩证法的相关原理来阐释和说明数学概念中的相关问题，在研究中，力图用唯物辩证法的思维方法来分析数学概念中所涉及的问题，揭示一些数学概念的本质规律，从而使读者能更清晰、更透彻地理解数学概念，并从中体会到唯物辩证法的思想。