数学本质：中学数学教学研究的辩证关系分析

物质世界是在其本身固有的矛盾斗争的推动下按照一定的规律运动、变化、发展着的，这就是辩证法的规律。事实上，数学中的许多概念都体现了丰富的辩证法，本部分内容以数、自然数、函数、微积分以及无穷等这几个数学中的重要概念为例浅析数学概念体现的辩证关系。

（一）数概念中的辩证关系

1.自然数的辩证发展过程

（1）对立统一规律的体现

自然数概念的发展过程体现了具体与抽象、有限与无限的对立统一性。自然数概念的形成经历了漫长的过程，在最早的时候，人们在生活中遇到一些需要判断其大小的物体集合，通常借助一些比较具体的“计算工具”，如小石子、手掌等，采用一一对应的计数方法，每数一个就扳动一个手指。例如，为了说明五个东西，人们通常直接用一个手掌来表示。此时的自然数已被人们确认为能够指明集合的性质，是具体的、有限的，是建立在人们的感性认识的基础上的，但这种认识具有很大的局限性。阿基米德的“沙粒计算”对自然数概念的形成起了很重要的作用，也让人们意识到数列是可以无限延续下去的，这标志着抽象的、无穷的自然数概念的形成，也标志着人类认识从有限向无限的飞跃。

（2）量变质变规律的体现

自然数概念的发展过程体现了量变质变的规律。前面已经提到，人类在开始是用一些具体的实物来判断物体集合元素的个数的，人类对于自然数的这种认识是具体的。随着物体集合的元素个数越来越大，人类对自然数的具体性认识在量上的逐渐积累，产生认识的飞跃，开始认识到自然数是一种脱离了具体物体集合的抽象的物质，随后便产生了自然数的抽象概念。可见，自然数的发展过程经历了从量变到质变的飞跃。

2.分数和整数

3.正数和负数

在实践中，由于不可避免地遇到“上与下”“左与右”“增加与减少”“收入与支出”等，为了表示这些意义相反的量，产生了“负数和正数”。正数和负数是表示符号相反的两个数，是一对相互矛盾的概念，但是在一定条件下可以相互转化。例如，在解方程的过程中，方程等号左右两边的项，在移项过程中所移的项符号都要发生变化，正数变成了负数，负数变成了正数，可见方程是正数和负数的对立统一体。

4.有理数和无理数

5.实数和虚数

由于三次方程的出现，在解三次方程的过程中遇到了负数开方的问题，由此产生了虚数和实数。实数与虚数显然是一对矛盾的概念。在复数z=a+bi（a，b∈R）中，当b=0时，z就是实数；当b≠0时，z就是虚数。实数、虚数是相互矛盾的，但是却共处于复数z=a+bi（a，b∈R）这一统一体中，而且它们之间相互依赖、相互排斥，并在一定条件下（取决于b的取值）向自己的对立面转化。可见，实数与虚数体现了对立统一的辩证关系。

通过对上述数的发展的分析可以看出，数的系统的发展是在不断地对旧的数的系统进行否定，然后形成现在的数的系统，这个否定之否定的过程正体现了数的产生和发展过程中的辩证关系。现在的数的系统是一个历史发展的结果，并且还在继续发展。

（二）函数概念中的辩证关系

1.函数概念的产生和发展

自数学产生之日起，人们就以数量关系为研究对象，其中就蕴含了丰富的函数思想，只不过在公元16世纪之前，在数学上是常量数学占统治地位，其特点是用孤立、静止的观点去研究事物，因而这些函数思想的雏形就没有形成真正意义上的函数概念。直到16世纪以后，法国数学家笛卡尔在《几何学》中引入变量的思想，数学家才开始研究运动的事物，进而对数学关系中各种变化过程和每一种变化着的量之间的依赖关系进行研究，正式提出了“变量”的概念。这种由对数学关系的研究从静止转向运动的过程，正体现了“静”与“动”的对立统一性。

17世纪变量思想的引入是函数概念的萌芽，在对各种各样的运动中的变量研究中，人们感到需要有一个能准确表示各种量之间关系的数学概念，这才引出了函数概念。但是这时的函数是当作曲线来研究的，因为一些数学家和科学家在研究运动和曲线时把曲线看成动点的轨迹，法国的神甫默森、牛顿以及莱布尼茨都赞同这种观点。莱布尼茨在一篇手稿里说：“函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。”可见，在17世纪，函数概念是当作曲线来研究的。

18世纪初，贝努利最先摆脱具体的初等函数的束缚，给函数一个抽象的不用几何形式的定义，即“一个变量的函数是指由这个变量和常量的任何一种方式构成的一个量”。欧拉也与17世纪之前的数学家不同，他把对数函数和指数函数定义为解析式的形式，而不是曲线。他还更明确地说：“一个变量的函数是该变量和常数以任何一种方式构成的解析表达式。”函数之间的原则区别在于构成函数的变量与常量的组合方式的不同，欧拉最先把函数的概念写进了教科书。在贝努利和欧拉看来，函数概念的关键在于具有解析表达式，而当时18世纪也形成了这样一个新理念，即所有的函数都具有解析表达式，都是代数函数的推广。由于贝努利和欧拉等人的努力，使函数概念摆脱了几何直观的影响而具有代数的特征。

但是19世纪初，法国数学家傅立叶在向法国科学院呈交的论文中证明了，一些不连续的函数既能用一个解析式来表达，又能用多个解析式来表达，所以他认为不能以解析式是否唯一来判断函数的真伪。他甚至认为，函数可以不必表示为解析式，由此，柯西给出了另外一个函数的定义，即“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中一个的值，就可以决定其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这个自变量表示的其他量就叫作这个自变量的函数”。这个函数的概念是对“函数都是解析式”观点的否定，指出了函数的变量之间的依赖关系。

到了19世纪70年代，康托尔的集合论问世以后，数学家又根据这个新的理论重新定义了函数的概念，即“对于变量y的集合与变量x的集合，如果满足这样的关系，即对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，则称变量y是变量x的函数”。把函数看作变量之间的对应关系又是对前面把函数看作变量之间的依赖关系的观点的否定。

显然，傅立叶在否定“函数就是解析式”的同时对贝努利和欧拉的函数可以用解析式来表达给予了一定的肯定。而康托尔虽然认为“函数的变量之间是一种对应关系”，但是并没有完全否定函数变量之间的这种依赖关系，函数的概念经历了肯定否定的阶段，在不断否定以往的过程中得到不断的完善和扩充。可见，函数概念的形成和发展经历了否定之否定的过程。

2.常量与变量、函数与反函数

当事物的运动处在相对静止的状态时，事物的某一方面或某几方面的量可以保持一定的数值而不变，这种相对地保持一定数值而不变的量在数学上称为常量。当事物的运动处在显著地变动的状态时，事物的某些量也就必然发生变化。事物的运动、变化的过程中首先表现为一定数量上的变化，这些变化着的量在数学上就是变量。

变量和常量是一对矛盾，二者之间既有区别又有联系，并且在一定条件下可以相互转化。认识了变量和常量之后，再来看函数中的变量和常量。初中建立的函数概念是，“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数”。其中，“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y”指的是变量x和y同处于构成事物矛盾的统一体中，后面的内容则讲的是变量x和y之间的相互依赖和相互制约的关系，而函数就是一个特殊的变量，自变量和函数之间有着对立统一的关系。

例如，在函数y=sinx中，x是自变量，表示角度，y是x的函数，表示正弦值，但是在x=arcsiny中，y是自变量，x是y的函数。可见，函数概念中体现了自变量与因变量、函数与反函数之间的对立统一规律。

（三）微积分概念中的辩证关系

微积分学的研究对象是客观事物运动、发展和变化过程中的数量关系，所以微积分的理论反映了事物矛盾运动过程中的数量变化规律，这就决定了微积分理论的逻辑基础是辩证逻辑，从而决定了微积分理论中蕴含了丰富的辩证关系。

微积分是现代数学的基础，在高中阶段开设部分微积分内容，不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求，而且是实现高中教养性目标、发展性目标和教育性目标的要求。中学生在学习微积分之前，在长期的数学学习中接触的基本上都为常量，虽然在高中阶段系统地学习了函数、自变量、变量等概念，也研究了一些基本函数的性质和图像，但是学生的思维习惯于常量，对微积分中的“变量”理解较为困难。因此，我们有必要对微积分中的辩证关系进行深刻的挖掘，从而帮助学生完成一些思维过程的转化。

1.微积分概念的发展

微积分诞生时遭到了一些人的反对与攻击，其中攻击最激烈的是英国大主教贝克莱。贝克莱的攻击对促使微积分的发展是有很大贡献的，他迫使人们认真对付无穷小理论中的逻辑困难，促使了“ε-δ”准则的诞生，进而完成了从无穷小分析到极限论的演变，体现了潜无穷的观点。后来，由于康托尔的集合论的创立，康托尔在实无穷观点的基础上提出无穷集合的概念，创立了超限数理论，实无穷概念在艰苦斗争中复活过来。可见，微积分概念在发展过程中经历了两种无穷观的否定之否定规律。

另外，极限概念是微积分的核心，其发展也体现了否定之否定规律。英国数学家瓦里斯最早引入变量极限的概念，他认为：“变量的极限是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们的差能够小于任何给定的量。”这是瓦里斯给出的极限概念的雏形，并未做深一步的讨论。柯西后来首次较为完整地用描述性语言阐述了极限概念，他认为，当一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小有多小，这个定值就叫作所有其他值的极限值。柯西的极限概念虽然没有达到彻底严密化的程度，但是保留着一些动态直观。后来魏尔斯特拉斯建立了“ε-δ”语言，提出了极限的静态定义，给微积分提供了严格的理论基础。极限概念的“静态—动态—静态”的螺旋式演变过程，体现了微积分发展过程中的否定之否定规律。

此外，微积分方法经历了从几何方法到代数方法的演变过程，体现了形与数、几何与代数的对立统一性。从古代刘徽用割圆术建立圆或弓形的面积公式，阿基米德用穷竭法、平衡法证明球的体积公式，以及卡瓦列里的不可分量原理，费马用圆法求函数极值，从而创立现代微分方法的基础，到17世纪中叶帕斯卡利用特征三角形求曲线下的面积，再到牛顿的流数术，莱布尼茨的数列阶差法等，都是利用几何方法与代数方法结合、形与数结合的成果。

2.极限概念中的辩证关系

极限理论是学习微积分的重要工具，许多学生只是会做一些相应的题目，但是对极限的理解还是处于朦胧阶段。尽管现在一些数学教学工作者尝试在中学数学教学中贯彻现代数学的一些思想和方法，但是由于学生学习了多年的常量数学，已经习惯了用静止的观点来看待数学问题，很难用运动的观点来分析“极限”中的一些变化过程。而微积分中的许多重要数学概念，如函数的连续性、导数、定积分等都建立在极限概念之上，因此我们必须深刻挖掘极限中所蕴含的辩证关系，从更深层次来理解和掌握微积分。这里我们主要以数列的极限为例来探讨极限概念中蕴含的辩证关系。

（1）量变质变规律的体现

变量xn中的n越大，xn越接近于极限A，但是无论n的取值多大，xn只能是极限A的近似值，但是当n无限增大时，xn取到极限A的过程实际上体现了量变质变规律。例如，对圆的内接正多边形的面积Sn，无论n多大，都只能是圆的近似面积而不是圆的面积的精确值。为了得到圆的面积，我们对Sn求极限，这实际上是正多边形的边数n无限增多的量变，实现了从正多边形的面积转化为圆的面积这一质变的飞跃过程。

（2）常量与变量的对立统一规律(www.xing528.com)

在每一个确定的时刻n，xn是个常量，但是在n→∞的过程中，xn又是个变量，而当n无限增大时，变量xn又转化为常量A。可见，极限概念体现了常量与变量的对立统一规律。

（3）“有限”与“无限”的辩证关系

极限作为微积分学的起点内容，在数列的极限的教学中要抓住两点：第一，使学生正确认识“无限”，只有使学生正确认识“无限”，才能理解极限概念中“n无限地增大”和“an无限地趋近A”之类的语言；第二，使学生理解“有限”和“无限”之间的辩证关系，将学生的视野从静止扩展到运动，从有限扩展到无限固然重要，但是更重要的是让学生明白有限与无限之间的相互转化的关系，这样才能对概念理解得更透彻。

数列中的每一个xn，在每一时刻，既具有相对静止性，又具有绝对运动性，在保持自身的同时又在否定自身。固定时是有限的，变动时其变化趋势又是无限的。没有依序排列的一个个固定的xn，就不能体现xn的无限变化。有限是有条件的、相对的，无限是无条件的、绝对的。有限中包含着无限，无限是通过有限来表达的。xn以A为极限，体现了有限与无限的辩证关系。

（4）连续与间断

此外，有些可去间断点函数，当我们在间断点处给它补充定义时，它就变成了连续函数，也体现了连续与间断的相互转化。

（四）无穷概念中的辩证关系

无穷是数学中最重要的研究对象之一，数学史上的三次数学危机都是由于对无穷本身的矛盾认识而引起的，因此我们有必要对无穷中蕴含的辩证关系做出探讨。

1.潜无穷和实无穷

在古希腊时代，“无穷”这个概念就已经渗透进数学领域，并产生了潜无穷和实无穷两种学说，一直为古今中外的哲学家和数学家所关注，引起他们的探讨和争论。

首先，潜无穷是把“无穷”看成永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的变程或进程）。例如，《庄子天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，说的是“一尺之棰”，今天取其一半，明天取其一半的一半，后天再取其一半的一半的一半，总有一半留下，所以“万世不竭”。这个无止境的过程就是潜无穷的体现；认为自然数数列1，2，3，…，n，…是不断延伸的，是永远完成不了的，也是潜无穷的观点。

其次，实无穷是把“无穷”看成可以完成的过程或无穷整体。例如，把自然数全体看成一个无穷集合 N=｛1，2，3，…，n，…｝是实无穷的观点；整个微积分中，对于某种过程的极限，无论是数列极限还是函数极限，都采取了实无穷的观点；在康托尔的无穷集合论中，体现的也是无穷集合是一个现实的、完成的“存在着的整体”的实无穷思想。例如，超限序数ω，超限基数ℵ0，ℵ1等都是实无穷思想的体现。

从古到今，潜无穷和实无穷两种学说一直争论着、并存着，既互不相容又无法否定对方，因此许多哲学家和数学家分成了两大派别，即潜无穷派和实无穷派。举例来说，像亚里士多德、高斯、克朗内克、庞加莱、外耳等属于潜无穷派。莱布尼茨、黑格尔、魏尔斯特拉斯、康托以及现代柏拉图主义者都属于实无穷派。

两种无穷观的差别可以规范为以下两点：其一，从生成的角度看，潜无穷永远是现在进行式，而实无穷却是完成式；其二，从存在的角度看，潜无穷是动态的、不确定的和潜在的，而实无穷则是静态的、固定的和实在的。

尽管如此，两种无穷观之间也有一定的联系和共性。首先，两者都不是有限的；其次，两者都不会有固定的末元。

在康托的理论体系中，不仅有潜无穷和实无穷的明显区分，而且还有潜无穷和实无穷的对立统一。而事实上，潜无穷和实无穷两种学说中的确充满了辩证法。

2.两种无穷观的辩证关系

（1）潜无穷与实无穷的对立统一

任何事物的内部都包含着互相对立又互相统一的两个方面，即矛盾。矛盾的双方是互相排斥的、互相对立的，同时又是互相联系着的，在一定条件下可以共处于一个统一体中。

潜无穷与实无穷是一对矛盾，无论从生成的角度还是存在的角度看，他们都是对立的，而事实上两者之间是辩证统一的。我们知道，刘徽的割圆术的思想是证明无限多边的圆内接正多边形与圆“合体”，从而证明它们的面积相同。这个“合体”就表明了他的无限观。圆是“曲”的，而内接正多边形是“直”的，“曲”与“直”是一对对立的概念，而刘徽却通过“合体”这个过程将它们溶化于无限的变化之中。“割之又割”是“合体”的过程，这是“潜无穷”，“以至于不可割”是“合体”最终达到的状态，这是实无穷。显然刘徽的无限观是“潜”“实”无穷的辩证统一观。在近现代数学中，潜无穷与实无穷在一定条件下可以兼容的事实是两者对立统一的又一例证。朱梧槚等学者在2002年从数学和认识论的角度系统地研究了无穷观问题的历史发展和现状，确立了无穷观背景世界的三分法原则，指出了两种无穷观相互排斥的局限性，提出了统一两种无穷观于同一框架中的基本观点，并建立了使实无限和潜无限统一于同一框架中的公理集合系统APAS。他深入分析了潜无穷和实无穷的本质内涵后，认为近现代数学系统中的所有涉及无穷观的子系统都是兼容潜无穷和实无穷的系统。例如，对于开区间（-∞，+∞），当我们用其表示全体实数时，体现的是潜无穷思想；而当我们在实变函数中称全体实数同时又是闭集时，又体现了实无穷思想。

可见，潜无穷和实无穷是对立统一的。既不存在没有潜无穷的实无穷，也不存在没有实无穷的潜无穷。任何一个实无穷都是必须在某个潜无穷的基础上进行到底并能够完成的无穷体，而任何一个潜无穷也应该是某个实无穷的基础。两者是互相依赖的，任何一方都不能独立地存在。

（2）从潜无穷到实无穷过程中体现了量变与质变的辩证关系

量变质变规律告诉我们，任何事物的运动都有两种状态，即量变状态和质变状态。量变是质变的必要准备，质变是量变的必然结果。

现代的反映论者承认，人脑的思维活动运动能够反映客观存在的飞跃过程，康托引进超穷数ω时就体现了这一点。徐利治先生认为，自然数列形成的两个阶段是“延伸”和“穷竭”，自然数的不断有限延伸是量变阶段，而经过延伸到穷竭就扬弃了有限性，完成了实无限过程，这个“飞跃”阶段即质变阶段。

上述提到的“延伸”和“穷竭”两个阶段与朱梧槚等学者定义的“枚举”和“穷举”也有相似之处。他认为，面对我们的研究对象和事物，如果采取每个每个或逐个逐个的手续进行处理或做出判断，则称之为枚举手续。例如，著名的时空分割言论就是由枚举到穷举的转换，也是由潜无穷到实无穷的转换，同样体现了量变质变规律。前面提到刘徽的割圆术，从“割之又割”到“以至于不可割”不仅是潜无穷到实无穷的转换，同时也是量变质变规律的体现。

（3）从无穷观问题的发展过程看两种无穷观体现的否定之否定规律

否定之否定规律表明，事物发展的总趋势是前进的，而前进的道路是曲折的，事物内部包含着两种对立的因素，即肯定因素和否定因素。事物发展的趋势就是由这两种因素的斗争决定的。无穷观问题从萌芽到确立再到后来不断地为人们所争论的过程充分体现了否定之否定规律。

两种无穷观萌芽于古希腊人关于物质始源问题的争论。爱奥尼亚学派的阿那克萨哥拉认为物质是无限可分的，而古代原子论者德谟克利特却认为存在最小的不可分质点。显然这两种认识中已孕育着两种不同的无穷观。历史上第一次明确地只承认潜无穷而反对实无穷的是亚里士多德，而略早于他明确承认实无穷的是柏拉图。后来在15世纪前后，随着文艺复兴的开始，柏拉图的数理哲学思想得到了复兴，无穷小方法开始萌芽，这一时期的数学家基本上都和柏拉图持有相同的无穷观——实无穷。牛顿和莱布尼茨建立微积分出发点就是用的无穷小方法，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就有一些人的反对与攻击，其中攻击最激烈的就是英国大主教贝克莱。然而贝克莱的攻击对促使微积分的发展是有很大的贡献的，他迫使人们认真对付无穷小理论中的逻辑困难，促使了“ε-δ”准则的诞生，进而完成了从无穷小分析到极限论的演变，因为极限论是建立在潜无穷观点基础上的，所以潜无穷又代替了实无穷。实无穷观到潜无穷观的转变是由柯西和魏尔斯特拉斯等数学家来完成的，柯西通过建立在潜无穷基础上的极限概念建立了微积分体系，但这种极限是以直观为模型的定性描述而不是定量描述，所以不够严格。魏尔斯特拉斯明确而全面地采用“ε-δ”方法建立了极限的概念，排除了牛顿和莱布尼茨的实无穷，深化了柯西的潜无穷。实无穷概念再次在艰苦斗争中复活起来是由于康托尔的集合论的创立，康托尔在实无穷观点的基础上提出无穷集合的概念，创立了超限数理论。康托尔集合论的提出标志着近代数学的开端。然而，由于罗素提出的集合论悖论的出现，形成了数学的第三次危机，并导致了“数学基础论”这一学科的诞生。如前所述，数学诸基础流派在无穷观上形成对立，并进行了长期的尖锐的斗争。第三次数学危机产生后，包括罗素本人在内的众多数学家投入解决危机的工作中去。1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统（加入选择公理则称ZFC公理系统），使原本直观的集合概念建立在严格的公理基础之上，从而避免了罗素悖论的产生，在表面上解决了第三次数学危机。在解决危机、克服悖论的过程中，还产生了许多成果和新的学科，特别是基于悖论研究与分析所得到的哥德尔不完备性定理是数学与逻辑发展史上的一个里程碑，标志着数理逻辑进入了一个新的发展阶段。

可见，无穷观的发展过程是潜无穷和实无穷不断交替成为肯定因素的过程，充分体现的是否定之否定规律。

3.讨论两种无穷观的辩证法的意义

希尔伯特说：“无穷既是人类最伟大的朋友，也是人类心灵宁静的最大敌人。”因为征服无穷的路是如此的艰难。我们已经看到征服无穷的路途中，芝诺悖论、贝克莱悖论、罗素悖论的陆续出现已经使数学无穷发展历程充满了挫折。虽然经过数代数学家的艰苦努力建立的极限论、实数论、ZFC公理系统解决了这些悖论及由此导致的危机，然而悖论的清除、矛盾的回避也导致了数学确定性的一步步丧失。第三次数学危机只是表面上解决了，实质上却更深刻地以其他形式延续着。可见，很多数学悖论的根源，就产生于对“无穷”的片面理解。

因此，我们有必要也必须深入讨论两种无穷观的辩证关系，使人们准确地了解潜无穷和实无穷。辩证法告诉我们，要从整体、从两方面看问题，对实无穷采取绝对否定或绝对肯定的态度都是错误的。数学的历史发展及现代基础研究表明，要从数学中完全排斥实无穷的概念和方法是不可能的，又由于这种应用的可能性事实上是由无限的客观实在性决定的，因此绝对否定的态度就是错误的。此外，由于无限的概念是抽象思维的产物，即必然在一定程度上包含了对于真实的脱离，从而在某种情况下（特别是由概念、在抽象之上去进行抽象），就可能导致荒谬和悖论，因此绝对肯定也是错误的。