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抛物线的标准方程-实用数学

时间:2023-08-09 理论教育 版权反馈
【摘要】:卫星电视接收天线的截面图,和汽车大灯的截面图等,都是抛物线的形象,卫星天线能把平行传播过来的无线电波会聚点位置的接收器上,汽车大灯则是把焦点位置的光源发出的光平行送到很远的地方,它们都是利用了抛物线的性质,下面我们就来学习抛物线.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.取经过焦点F,且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l相交于点

抛物线的标准方程-实用数学

卫星电视接收天线的截面图,和汽车大灯的截面图等,都是抛物线的形象,卫星天线能把平行传播过来的无线电波会聚点位置的接收器上,汽车大灯则是把焦点位置的光源发出的光平行送到很远的地方,它们都是利用了抛物线的性质,下面我们就来学习抛物线.

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

取经过焦点F,且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l相交于点K,以线段KF的垂直平分线为y轴(图7-1),设|KF|=p,那么,焦点F的坐标为,准线方程l的为x=.

图7-1

设抛物线上的点M(x,y)到l的距离为d.点M适应条件|MF|=d.

因为|MF|=|,所以|.

将上式两边平方,并化简得:

方程①叫做抛物线的标准方程.抛物线①的焦点在x轴的正半轴上,它的坐标是(,0),它的准线方程是

抛物线的标准方程还有其他几种形式:y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.

例 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.

解 (1)因为p=3,所以焦点坐标是,准线方程是x=;(www.xing528.com)

(2)因为焦点在y轴负半轴上,并且=2,p=4,所以它的标准方程是x2=-8y.

练习

1.根据下列所给的条件,写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(3,0);

(2)准线方程是x=

(3)焦点到准线的距离是2,且焦点在x轴上.

2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

(1)y2=20x;(2)x2=2y;

(3)2y2+5x=0;(4)x2+8y=0.

3.根据下列条件,求抛物线的标准方程:

(1)焦点为F(2,0);

(2)焦点为F(-2,0);

(3)准线方程为x=2;

(4)准线方程为y=4.

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