抛物线的标准方程-实用数学

卫星电视接收天线的截面图，和汽车大灯的截面图等，都是抛物线的形象，卫星天线能把平行传播过来的无线电波会聚点位置的接收器上，汽车大灯则是把焦点位置的光源发出的光平行送到很远的地方，它们都是利用了抛物线的性质，下面我们就来学习抛物线.

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

取经过焦点F，且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴（图7-1），设｜KF｜＝p，那么，焦点F的坐标为，准线方程l的为x＝.

图7-1

设抛物线上的点M（x，y）到l的距离为d.点M适应条件｜MF｜＝d.

因为｜MF｜＝｜，所以｜.

将上式两边平方，并化简得：

方程①叫做抛物线的标准方程.抛物线①的焦点在x轴的正半轴上，它的坐标是（，0），它的准线方程是

抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2＝-2px，x2＝2py，x2＝-2py.

例　（1）已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程.

解　（1）因为p＝3，所以焦点坐标是，准线方程是x＝；(https://www.xing528.com)

（2）因为焦点在y轴负半轴上，并且＝2，p＝4，所以它的标准方程是x2＝-8y.

练习

1.根据下列所给的条件，写出抛物线的标准方程：

（1）焦点是F（3，0）；

（2）准线方程是x＝；

（3）焦点到准线的距离是2，且焦点在x轴上.

2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）y2＝20x；（2）x2＝2y；

（3）2y2＋5x＝0；（4）x2＋8y＝0.

3.根据下列条件，求抛物线的标准方程：

（1）焦点为F（2，0）；

（2）焦点为F（-2，0）；

（3）准线方程为x＝2；

（4）准线方程为y＝4.