3个数字组成的没有重复数字的三位数的全排列问题

问题1　北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？

这个问题就是从北京、上海、广州3个民航站中，每次取出2个站，按照起点在前，终点在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？

首先确定起点站，在3个站中任选1个，有3种方法；其次确定终点站，当选定起点站后，终点站就只能从其余的2个站中去选，因此只有2种选法，那么根据分步计数原理，在3个民航站中，每次取2个，起点站在前，终点站在后的顺序的不同取法共有：

3×2＝6（种）

就是说，要准备如下6种飞机票：

我们把被取的对象（如上面问题中的民航站中的任何一个）叫做元素.所以上面的问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列.

一般地，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.如果m＜n，这样的排列叫做选排列.如果m＝n（也就是每次取出所有元素的排列），这样的排列叫做全排列.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样，只是元素排列的顺序不完全相同.

例1　由数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的排列.

分析　用3个数字组成没有重复数字的三位数，就是每次全部取出3个数字，按照百位、十位、个位排列起来的全排列问题.现在要求一共有多少排法？

解　第1步，确定百位上的数字.在1，2，3这三个数字中任取一个，有3种取法.

第2步，确定十位上的数字由于百位上的数字已确定，十位上的数字只能从余下的2个数字中取1个，有2种取法.

第3步，确定个位上的数字.当百位、十位上的数字都确定之后，只余下一个数字，个位数只能是余下的这个数字，所以只有1种取法.

根据分步计数原理，从3个不同数字中，每次全部取出排成没有重复数字的3位数的个数共有

3×2×1＝6（个）(www.xing528.com)

它们是：123，132，213，231，312，321.

问题2　从10名集训的乒乓球运动员中，任选3名运动员，并排好出场的先后次序参加比赛，有多少种解决这个问题的方法？

第1步是在10名运动员中任选1名运动员首先出场，10名中取1名有10种方法.

第2步是确定第2个出场的运动员.因为第1个出场运动员已确定，并且不能再次出场，所以第2个出场的运动员只能从余下的9名运动员中选出，有9种方法.

第3步是从剩下的8名运动员中任选1名第3个出场，有8种选择方法.

根据分步计数原理有：10×9×8＝720种参赛方法.

从排列的定义可知，如果两个排列相同，那么不仅要求这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.在例1中，两个排列123和321，它们的元素构成虽然相同，但由于排列顺序不同，所以它们是不同的排列.

练习

1.写出红、黄、蓝3种颜色构成的全排列，并指出共有多少种方法？

2.写出从a，b，c，d等4个元素中任取2个元素的所有排列，并指出共有多少种方法？

3.选排列和全排列的区别是什么？

4.由2，3，5这3个数可组成多少个没有重复数字的三位数？