基于不动点的群决策解决Arrow不传递性的条件

Arrow在1951年指出［45］，在应用简单多数法则时，尽管个体给出的方案排序都是传递的，但群体决策的结果可能却不是传递的。这种现象是Arrow不可能性定理的重要内容，本质上是Condorcet悖论，也称投票悖论（voting paradox）。举一个最简单、在简单多数票原则下出现投票悖论的例子。

有3个方案：a，b，c；有3个人对3个方案的偏好序分别为a≻b≻c，b≻c≻a，c≻a≻b。可以看出，3个人中各有两人次认可方案间的以下优先关系：

a≻b，b≻c，c≻a

3个人中有两个人认可即满足简单多数原则，因此，群体对方案的偏好应该是

a≻gb，b≻gc，c≻ga

因此群体对方案的偏好序为

a≻gb≻gc≻ga

也就是出现了不传递性。

当个体的偏好序满足什么条件时，在采用简单多数原则时，群体对方案的排序满足传递性？这里给出一个充分条件。

定理6.4　假设m个方案构成方案集｛A1，A2，…，Am｝，n位专家构成专家集｛E1，E2，…，En｝，其中1＜m＜+以及1＜n＜+。设n位专家对m 个方案的偏好映射为PM（k）＝k＝1，2，…，n，并假设每位专家都不认为所有方案是无差异的。令对应于方案集的指标集为I＝｛1，2，…，m｝，对应于专家集的指标集为N＝｛1，2，…，n｝。令

当满足

时，可以产生一个满足多数专家意见的、传递的群体偏好序。

证明：式（6.13）的含义是：对任何一个方案，都存在这么一帮人，他们的人数超过一半，且他们对这个方案的排序有共同认可的位置。因此，当个体的偏好序满足条件式（6.13）时，可以产生一个满足多数专家意见的、传递的群体偏好序。证毕。

显然，第5章定义的共识，即“所有的人对所有方案的排序位置有共同的认识”是式（6.13）的一种特殊情况。

在满足式（6.13）的前提下，对某个方案xi，令满足式（6.13）的Si共有si个，用表示，其中si≥1。在满足式（6.13）时，寻求一个满足多数专家意见的、传递的群体偏好序，可以采用如下两个步骤。

第一步，对每个方案xi，找出一个超过总数一半的人认可的排序位置，比如：

称gi为方案xi的序位值，该值是整数。

第二步，由于序位值是整数，整数可以比较大小。根据方案的序位值对方案进行排序（注意，序位值越小，排序越靠前，因此序位值是越小越好），则可以得到一个满足多数专家意见的、传递的群体偏好序。

需要注意的是，式（6.14）是一个“min-min”策略，显然还有其他类型的策略，比如“min-max”策略等，不同策略的结果也不尽相同，这里不再赘述。

下面举一个应用例子，数据来源于文献［82］。

假设有5位专家（E1，E2，E3，E4，E5）针对4个方案w，x，y，z给出的序偏好如下：

E1：w～x≻y≻z；E2：x～w≻z≻y；E3：z～x≻y≻w

E4：z≻y～x≻w，E5：z≻y≻x≻w

Sen在文献［82］中给出了满足多数准则、具有传递性的群体排序为

x～z≻y≻w(www.xing528.com)

应用本节给出的方法进行讨论。

首先，用x1，x2，x3，x4分别表示方案w，x，y，z，用N＝｛1，2，3，4，5｝表示专家的标号集合，将专家的偏好序用偏好映射表示：

其次，判断式（6.13）是否满足，也就是判断由专家的偏好序能不能得出一个满足多数意愿的、传递的群体偏好序。由于有5位专家，所以h＝因此需要至少3位专家有共同意见，即针对每个方案考察式（6.13）是否满足：

对方案w＝x1，满足(（的S1⊆N有且只有一个，即s1＝1，且S（1）1＝｛3，4，5｝，进而

对应＝｛3，4，5｝有＝｛4｝∩｛4｝∩｛4｝＝｛4｝；

对应＝｛1，2｝∩｛1，2｝∩｛1，2｝＝｛1，2｝，

对应＝｛1，2｝∩｛1，2｝∩｛2，3｝＝｛2｝，

对应＝｛1，2｝∩｛1，2｝∩｛2，3｝＝｛2｝，

对应＝｛1，2｝∩｛1，2｝∩｛2，3｝＝｛2｝，

对应＝｛1，2｝∩｛1，2｝∩｛1，2｝∩｛2，3｝＝｛2｝；

对方案y＝x3，满足的S3⊆N有且只有一个，即s3＝1，且＝｛1，3，4｝，进而

对应＝｛1，3，4｝有＝｛3｝∩｛3｝∩｛2，3｝＝｛3｝；

对应＝｛1，2｝∩｛1｝∩｛1｝＝｛1｝。

可以看出对每一个方案xi，都至少存在一个Si⊆N满足因此式（6.13）得以满足。

在满足式（6.13）的前提下，这里应用本节给出的“min-min”策略得出满足多数专家意见的、传递的群体偏好序：

第一步，应用式（6.14）计算每个方案的序位值。

第二步，基于方案的序位值对方案排序，序位值越小，方案排序越靠前。因此有

x2～x4≻x3≻x1

即满足多数专家意见的、传递的群体偏好序为

x～z≻y≻w

可以看到应用本节的方法得到的结果与Sen在1966年文献［82］中给出的结果是一样的。

如前所述，选取序位值的策略不同，会得到不同的排序，因此选取序位值策略是需要进一步研究的问题。