Marczewski-Steinhaus测度的共识定义

第5章给出的共识的数学定义，没有反映出偏好有共识时的共识程度，因为同样是交集不为空，但可能交集的大小是不一样的。这里进一步讨论这个问题。

度量集合交集大小差异的指标，一个很自然的考虑是ρ（A，B）＝但是ρ（A，B）只可以作为一种度量，而不是一个距离测度［79］，因为ρ（A，B）不满足距离的第一条公理ρ（A，A）＝0，而是ρ（A，A）＝1；另一个可以考虑的度量指标是σ（A，B）＝1-由前面的讨论可知，σ（A，B）是个距离测度，即Marczewski-Steinhaus测度，因此，本节应用Marczewski-Steinhaus距离测度

来讨论共识前提下共识程度的区别。

第5章定义的群决策共识式（5.2）与下列定义等价。

定义6.4　假设m个个体的偏好映射分别为这m个个体或m个偏好映射是共识的，当且仅当

在引入表示

之后，定义6.4和下列定义等价（因为＝0，只需考虑k＞j）。

定义6.4’假设m个个体的偏好映射分别为这m个个体或m个偏好映射是共识的，当且仅当(www.xing528.com)

另外，也可以应用ρ（A，B）＝定义共识，如前所述，ρ（A，B）＝不是一个测度，但是一个度量。

定义6.5　假设m个个体的偏好映射分别为这m个个体或m个偏好映射是共识的，当且仅当

在引入表示

之后，定义6.5和下列定义等价（因为k＞j）。

定义6.5’假设m个个体的偏好映射分别为这m个个体或m个偏好映射是共识的，当且仅当

另外，当考虑两个个体对某一方案的共识时，令甲的偏好映射分量为A且乙的偏好映射分量为B且甲和乙的偏好分量的交为C且＝c，则c≤min｛a，b｝。如果引入函数y＝c2-（a+b）c+ab，在（a，b）确定时，以c为变量考察该一元二次方程的图像，由韦达定理可知该函数的值是非负的。在甲和乙有共识的情况下，1≤c≤min｛a，b｝，该函数是c的单调非增函数，取值范围在0，1，2，…，1-（a+b）+ab。如果将y＝c2-（a+b）c+ab视为一种共识函数或共识势函数，则可以画出一种几何图形，在该几何图形中可以刻画共识，即第5章所定义的共识是有几何意义的、可见的。