基于不动点的多准则决策与群决策：偏好映射结论及隶属度表示

偏好映射用来表示专家基于弱序给出的方案排序，偏好映射的分量是集合，集合中的元素是连续自然数，表示方案可能的排序位置。因为偏好映射的元素是集合，很自然地想到，用集合的隶属度表示偏好映射。前面已经说过，偏好映射的定义5.3实质上是基于方案集的有序划分得来的，偏好映射蕴含着等价关系，而性质5.1就是方案对应的等价类的一种描述，因此，定义5.3和性质5.1是等价的，即都可以作为偏好映射的定义。下边基于性质5.1，引入“隶属度偏好映射”（membership-PM）的概念。令I＝｛1，2，…，n｝。

定义6.1　一个n×n的矩阵［rij］n×n是一个建立在集合I＝｛1，2，…，n｝之上的隶属度偏好映射，当且仅当其满足如下条件：

（1）rij∈｛0，1｝，且∀i

（2）

（3）∀i1，i2∈I，则或者

（4）如果ri，j＝0，ri，j+1＝1，则对k≤j，有rik＝0；如果rij1＝rij2＝1，其中j1≤j2，则对j1≤j≤j2，有rij＝1；如果ri，j-1＝1，ri，j＝0，则对k≥j，有rik＝0。

（5）如果rij＝1，那么

对于经典集合，元素的隶属度属于｛0，1｝，因此定义6.1就是性质5.1的经典集合隶属度表示。

（1）定义6.1的条目（1）对应着性质5.1的条目（1）：偏好映射的分量是｛1，2，…，n｝的非空子集，每个方案都对应有排序位置。

（2）定义6.1的条目（2）对应着性质5.1的条目（2）：每个位置都有方案占据，从而偏好映射的所有分量的并集为I＝｛1，2，…，n｝。

（3）定义6.1的条目（3）对应着性质5.1的条目（3）：任意两个方案对应的有序划分块或者一样或者不交。

（4）定义6.1的条目（4）对应着性质5.1的条目（4）：偏好映射的分量的元素是连续自然数。

（5）定义6.1的条目（5）对应着性质5.1的条目（5）：偏好映射分量中相同分量的个数等于分量中包含的元素数。举个例子，考虑如下两位专家的排序：

E1：x1～x2≻x3～x5≻x4和E2：x1～x2≻x3≻x4～x5

对应的偏好映射分别为

对应的隶属度偏好映射分别为

当集合用隶属函数表示，集合的运算（比如交运算等）就可以通过隶属度的max／min运算来实现。比如，以上两个偏好映射在用隶属度表示时，它们的交和并分别为

和

需要注意的是，正如第5章讨论过的，两个偏好映射的交，不一定仍然是一个偏好映射；同样，两个偏好映射的并，也不一定仍然是一个偏好映射。比如上面两个偏好映射的并形成的关系矩阵，不满足偏好映射的隶属度定义6.1的第5条，因此不是一个偏好映射。

在引入隶属度偏好映射以后，可以应用max／min运算来讨论问题。由第5章的结果有以下结论。

定理6.1　（min-max定理）设为两位专家的隶属度偏好映射，∀i，j。这两位专家是共识的当且仅当

证明：首先，cij＝min表示的是两个偏好映射的交；其次，式（6.1）表示在交映射中，每个方案都有被共同认可的排序位置。因此，若满足式（6.1）则两位专家有共识。证毕。

可以验证，上面对应排序x1～x2≻x3～x5≻x4和x1～x2≻x3≻x4～x5的隶属度偏好映射是共识的。

对于多位专家的情况，有以下推论。

推论6.1　设k＝1，2，…，m为m位专家的隶属度偏好映射，令cij＝min｛，∀i，j。这m位专家是共识的当且仅当(www.xing528.com)

由式（5.3）定义的共识偏好映射的隶属度偏好映射形式，可以由下列推论给出。

推论6.2　设k＝1，2，…，m为m位专家的隶属度偏好映射，当这m位专家是共识的时，他们的共识隶属度偏好映射［cij］n×n由式（6-2）导出：

例如，上面两个共识的隶属度偏好映射的共识映射为

其对应的共识排序为x1～x2≻x3≻x5≻x4。

对隶属度偏好映射，应用集合交、并等运算，前面定义的共识间距也可用隶属度偏好映射之间的共识间距来表示。

定义6.2　令U（1）＝为两位专家的隶属度偏好映射，它们之间的共识间距为

其中

也可以推广到某个隶属度偏好映射与多个隶属度偏好映射之间的共识间距。

定义6.3　设k＝1，2，…，m为m位专家的隶属度偏好映射，则隶属度偏好映射V＝［vij］n×n到这m个隶属度偏好映射的总的共识间距为

其中

对于共识的隶属度偏好映射，有以下结论。

推论6.3　如果m个隶属度偏好映射是共识的，则其对应的共识隶属度偏好映射到这m个隶属度偏好映射的共识间距为0。

推论6.4　如果m个隶属度偏好映射是共识的，则其对应的共识隶属度偏好映射［cij］n×n满足定义6.1，即：

（1）cij∈｛0，1｝，且∀i

（3）∀i1，i2∈I，或者∀j（ci1j＝ci2j），或者∀j（min｛ci1j，ci2j｝＝0）。

（4）如果ci，j＝0，ci，j+1＝1，则对k≤j，有cik＝0；如果cij1＝cij2＝1，其中j1≤j2，则对j1≤j≤j2，有cij＝1；如果ci，j-1＝1，ci，j＝0，则对k≥j，有cik＝0。

（5）如果cij＝1，那么

（2）∀j

类似于第5章的讨论，前面给出的选择过程、共识提高过程等都可以基于隶属度偏好映射来讨论。比如，选择过程可以通过下列模型先求出所有的严格序，如果有多重最优解，再考察它们并来实现。

设k＝1，2，…，m为m位专家的隶属度偏好映射，令I＝｛1，2，…，n｝，寻找一个代表严格序的隶属度偏好映射Y＝［yij］n×n到这m个隶属度偏好映射的总的共识间距最小的模型：

其中

其他的过程，比如基于隶属度偏好映射定义共识指标、识别冲突、共识提高过程等都可以类似于以上讨论来进行，这里不再赘述。

需要说明的是，引入隶属度偏好映射，给在计算机中表示偏好序提供了一个可能的借鉴方法，因而为开发基于偏好映射的群决策支持系统提供了可能。另外，引入隶属度偏好映射，也为进一步探讨模糊、随机环境下基于偏好映射的决策、群决策过程提供了一个可能的思路。比如，可以思考将隶属度偏好映射的第一个条件（rij∈｛0，1｝，且∀i中的rij∈｛0，1｝改为rij∈［0，1］，而将∀i会是什么情况。隶属度偏好映射定义中的其他条件也可以做类似改动，进而探讨与实际情况的对应，以及相应的决策方法等，感兴趣的读者可以尝试。