基于不动点的多准则决策与群决策：作者总结的方法与理论

弱序偏好是社会选择／群决策广泛使用的一类偏好信息，诺贝尔经济学奖获得者Arrow和Sen研究的社会选择问题即主要针对此类偏好。个体给出方案集合上的一个弱序偏好，意味着所有的方案都是可比的，允许平局，且方案之间的序关系是传递的。作者尝试建立基于偏好映射的群决策方法，主要内容总结如下。

（1）用分量是集合的偏好序列向量（又称为偏好映射）来表示弱序偏好。偏好映射的分量是集合，其中的元素表示方案／候选人的排序位置，处于平局的方案／候选人占据相同的连续位置。这种表示有着现实背景：若4个人中前三人的成绩最高且一样，则第四个人是排在第四名，而成绩最高的三人共同占据前三名。

（2）应用偏好映射的交运算定义共识，当群体中的一部分（比如2／3）认为某些方案的排序位置有公共部分（交不为空），则认为这部分群体对这部分方案的排序有共识。并且证明了这样的一个结论：“群体对所有方案的排序有共识，当且仅当对所有方案的排序，群体中两两有共识”。该结论为在评价共识、识别冲突、提高共识中采用两两比较的方法打下了理论基础。应用集合的交不为空定义共识，能够反映群决策中的如下两个事实：①两个人的偏好不一样却可能有共识（两个集合有交集，这两个集合不一定相等）；②共识在群体中并不一定是传递的，即甲和乙有共识，乙和丙有共识，但甲和丙不一定有共识（即A和B有交，B和C有交，但A和C不一定有交）。也证明了“当两个偏好映射是共识的时，它们的交也是一个偏好映射”，这为讨论处于共识的多个偏好映射之间的交打下了理论基础。

（3）应用集合间的距离定义了偏好映射之间的共识间距，并且说明该共识间距不是传统意义上的距离测度，而是一个准测度。准测度不满足三角不等式，但却准确反映了共识在群体中的不传递性。给出结论“两个偏好映射之间的共识间距为0当且仅当这两个偏好映射是共识的”，因此共识间距（是一个准测度）能够反映和刻画共识。

（4）应用指派模型最小化共识间距来完成选择过程，即找到群体对方案的排序。该模型在群决策／社会选择中较早地被Cook-Seiford使用，应用指派模型有着非常直观的含义：群决策中的社会排序就是需要指派哪个方案排在第一，哪个方案排在第二，……。(www.xing528.com)

（5）应用两两比较的方法建立了群体共识的评价指标，给出了识别冲突、提高共识的过程。该部分的理论基础是前面已经提到的“群体对所有方案的排序有共识，当且仅当对所有方案的排序，群体中两两有共识”。

（6）基于共识间距，建立了基于偏好映射群决策的公理系统，其中最重要的是两个：①共识间距为0当且仅当有共识（交不为空）；②当偏好映射表示的是完全序（没有平局）时，满足传统意义的三角不等式，否则满足一类受限的三角不等式。这两个公理刻画并反映了群决策中的两个事实：两位专家的偏好不一样却可能有共识；共识在群体中不一定是传递的。

（7）应用偏好映射定义了群决策均衡，在将有限人、有限策略的确定型博弈中的纳什均衡用偏好映射表示后，说明了群决策均衡与纳什均衡有着相同的形式。

以上内容形成了一套完整的群决策过程、理论与方法，包括共识的数学定义、共识间距、选择过程、共识评价和提高过程、公理系统等。