共识间距的公理系统与说明

在Cook和Seiford等人的基于传统距离测度的群决策方法中，偏好序用Cook-Seiford向量表示。Cook-Seiford向量的分量是一个大于零的数，属于集合当几个方案处于平局时，给这几个方案分配相同的位置，该位置是这几个方案所占据的、几个连续位置的中点。在基于准测度的群决策中，偏好序用偏好映射表示。偏好映射的分量是一个集合，是集合｛1，2，3，…，n｝的连续、非空子集。当几个方案处于平局时，给这几个方案分配相同的位置，该位置是这几个方案所占据的几个连续位置。例如，对于偏好序

A1≻A2～A3≻A4～A5～A6≻A7

它对应的Cook-Seiford向量和偏好映射分别为

Cook和Seiford给出的公理系统在前面已经列出（公理4.1～公理4.6）。设T（1）＝是3个偏好映射，式（5.5）、式（5.6）定义的共识间距满足如下的公理系统［65］。

公理5.1　Δ（T（1），T（2））≥0，当且仅当∀i≠∅）时Δ（T（1），T（2））＝0（非负性）。

公理5.2　Δ（T（1），T（2））＝Δ（T（2），T（1））（对称性）。

公理5.3（受限三角不等式）

（a）当T（1），T（2）和T（3）代表的是3个完全序（即无平局）时，Δ（T（1），T（3））≤Δ（T（1），T（2））+Δ（T（2），T（3））。

（b）当T（2）⊆T（3）时，Δ（T（1），T（3））≤Δ（T（1），T（2））+Δ（T（2），T（3））。

公理5.4　Δ（）＝Δ（T（1），T（2）），其中T（1）和T（2）是两个偏好映射，是方案重新编号后T（1）和T（2）对应的偏好映射（标号无关性）。

公理5.5　Δ（）＝Δ（T（1），T（2）），其中T（1）和T（2）是两个偏好映射，是执行一个相同的、对T（1）和T（2）来说都附加到第n+1位置的方案后，T（1）和T（2）对应的偏好映射（附加方案不变性）。

公理5.6　偏好映射之间共识间距的最小正值是2（标度性）。(www.xing528.com)

下面对有关共识间距的公理逐条进行说明。

（1）关于公理5.1：Δ（T（1），T（2））≥0直接来源于共识间距的定义式max｛0，…｝；充分必要条件“Δ（T（1），T（2））＝0当且仅当∀i（来源于性质5.3，见性质5.3的证明。

（2）关于公理5.2：对称性直接来源于共识间距的定义式（定义5.10，式（5.6））：

（3）关于公理5.3：受限的三角不等式。

（a）如果T（1），T（2）和T（3）代表的是3个完全序（即无平局），其元素都是单元集，则由共识间距的定义式［定义5.10，式（5.6）］计算的共识间距与由Cook-Seiford距离的定义式［定义4.2，式（4.1）］计算的Cook-Seiford距离是一样的，而Cook-Seiford距离是经典的距离测度，满足三角不等式，因此公理5.3（a）成立。

（b）公理5.3（b）来源于性质5.3、性质5.4和性质5.4’：

（4）关于公理5.4：原因在于共识间距的定义是基于方案的排序位置，而不是基于方案的编号或标号。

（5）关于公理5.5：由两个偏好映射之间共识间距的定义式，有

由于是执行一个相同的、对T（1）和T（2）来说都附加到第n+1位置的方案后得到的，因此max｛＝0，从而＝Δ（T（1），T（2））。

（6）关于公理5.6：由于偏好映射分量中只包含整数，按照共识间距的定义式，最小的正值只可能出现在当方案数为2时的偏好映射之间。当方案数为2时，只可能形成如下形式的3个偏好映射：

它们之间的共识间距分别为2，0，0。因此共识间距的最小正值为2。