基于准测度和不动点的多准则群决策

如果多准则决策／群决策的结果只是对方案进行排序，那么指派模型可以派上用场，因为排序就是确定哪个方案排在第1位、哪个方案排在第2位，等等，很多学者已经把指派模型应用到这个场景，比如文献［50］。指派模型在寻求最优指派的过程中，需要最大化或最小化某个指标。在本书基于准测度的群决策选择过程中，将极小化可能的群体排序到个体偏好序之间的共识间距。

设有m个偏好映射Γ（k）＝k＝1，2，…，m，对应于m个个体基于弱序对方案的排序。前面已经给出了争议矩阵DispM＝（Sik）n×n，其元素表示如果群体把方案Ai排在第k位，此时群体与各位专家对方案Ai的偏好序之间的共识间距。

下面基于争议矩阵建立指派模型，最小化总的共识间距，模型如下：

模型（M1）只能产生方案的严格序，实际中，不同的群决策问题的结果应该不只是严格序，还可能是包含平局的弱序。由性质5.4’可知，如果指派模型有两个解（都是严格序，也因而是偏好映射），那么，如果这两个偏好映射的并也是一个偏好映射，那么，并偏好映射到专家个体偏好映射的共识间距应该小于或等于这两个解映射中的任何一个到专家个体偏好映射的共识间距。因而，为了找到更优的、群体排序可能存在的、包含平局的群排序，可以在指派模型输出多个最优解的情况下，进一步考察多个最优解可能的并形成的偏好映射到专家个体偏好映射的共识间距的大小，从而找出一个可能存在的最优群体偏好映射。

因此，基于准测度和指派模型的群决策选择过程包含两步：

第一步，基于争议矩阵建立指派模型（M1），并求解，可以用匈牙利算法［68］。令指派模型产生的最优解的集合为L，则

第二步，如果指派模型（M1）只有一个最优解（此时则此唯一解对应的严格序即为群体对方案的排序；如果指派模型（M1）有多个最优解（此时针对L的所有非空子集，如果非空子集中的偏好映射的并构成一个偏好映射（对并向量验证性质5.1中的条件），按照式（5.7）计算并偏好映射到所有个体偏好映射矩阵的共识间距，从中找出最小值。最小值对应的并偏好映射对应排序记为群体排序。需要注意的是，L的所有非空子集也包括单元集，单元集中元素的并就是这个元素本身。

举个例子，数据来自文献［62］。考虑有4位专家｛E1，E2，E3，E4｝评价5个方案｛A1，A2，A3，A4，A5｝，假设专家的偏好序如下：

E1：A1～A2≻A3～A4≻A5，E2：A1～A2～A3≻A4～A5

E3：A1～A2≻A3≻A4～A5，E4：A1～A2≻A3≻A5≻A4(www.xing528.com)

专家的偏好序对应的偏好映射为

争议矩阵为

以争议矩阵作为指派矩阵，建立指派模型：

用匈牙利算法求解以上指派模型，得到

以上4个严格序与专家的偏好序之间的共识间距都是2。下面考察由这4个严格序构成的可能的并，对照性质5.1，可知这4个偏好映射的并形成的仍然是偏好映射

其到专家的偏好序的共识间距为0。以上就是群体对方案的偏好序，为

A1～A2≻A3≻A4～A5

说明：本节的题目叫“基于准测度、指派模型和受限三角不等式的选择过程”，是因为所建立的选择过程用到了准测度的争议矩阵、指派模型和性质5.4＇中的不等式，而该不等式可以看作一个受限的三角不等式（结合性质5.3和性质5.4＇可知）：如果　Γ（2）⊆Γ（3），则　Δ（Γ（1），Γ（2））+Δ（Γ（2），Γ（3））≥Δ（Γ（1），Γ（3））。这一点在后面关于公理系统的小节里还有说明。