多准则决策与群决策的不动点基础

准测度（premetric）是一种放松了经典距离测度（定义4.1）中的“d（x，y）＝0当且仅当x＝y”和三角不等式“d（x，y）≤d（x，z）+d（z，y）”的近似测度，该近似测度只需满足非负性和对称性。定义如下［66］。

定义5.8　设Ω为一集合，函数d：Ω×Ω→R，如果x，y∈Ω，且满足

（1）d（x，y）≥0（非负性）；

（2）d（x，y）＝d（y，x）（对称性）。则称d为Ω上的一个准测度。

当个体的偏好映射是共识的时，可以应用定义5.5定义的共识映射得到群体的偏好映射。但当偏好映射不是共识的时，就需要度量偏好映射之间的共识间距。下面先定义I上的连续集合（集合中的元素是连续自然数）之间的共识间距，进而引进偏好映射之间以及偏好映射矩阵与偏好映射之间的共识间距。

定义5.9　设I＝｛1，2，…，n｝，U（1）和U（2）是I的连续非空子集。U（1）和U（2）之间的共识间距（consensus gap）定义为

容易验证，式（5.5）定义的共识间距满足定义5.8的条件，因而共识间距是个准测度。另外需要说明的是，共识间距的定义式（5.5），和数学上广泛应用的两个紧集之间的距离的定义很相像，数学上两个紧集KA和KB之间的距离定义为d（KA，KB）＝min｛‖x-y‖：x∈KA，y∈KB｝。

有以下性质。

性质5.3　设U（1）和U（2）是I的连续非空子集，则δ（U（1），U（2））＝0当且仅当U（1）∩U（2）≠∅。

证明：充分性。因为U（1）和U（2）的是I的连续非空子集，因此，如果U（1）∩U（2）≠∅，则有（min U（1）≤max U（2））∧（min U（2）≤max U（1）），由式（5.5）必有δ（U（1），U（2））＝0。充分性成立。

如果δ（U（1），U（2））＝0，由式（5.5）可知min U（1）-max U（2）≤0，min U（2）-max U（1）≤0，因而（min U（1）≤max U（2））∧（min U（2）≤max U（1））。在已知U（1）和U（2）是I的连续非空子集的前提下，必有U（1）∩U（2）≠∅。必要性成立。

说明：由性质5.3可知，共识间距δ函数并不满足三角不等式，比如，有3个I的连续非空子集U（1）＝｛1｝，U（2）＝｛1，2｝和U（3）＝｛2｝，U（1）∩U（2）≠∅，U（2）∩U（3）≠∅，但U（1）∩U（3）＝∅。此时有三角不等式不满足。

性质5.4　设U（1），U（2）和U（3）是I的连续非空子集，如果U（2）⊆U（3），则δ（U（1），U（2））≥δ（U（1），U（3））。

证明：由于U（2）⊆U（3），又已知U（2）和U（3）的是I的连续非空子集，则（min U（2）≥min U（3））∧（max U（2）≤max U（3）），因而

证毕。

定义5.10　设Γ（1）＝（U（1）i）n×1和Γ（2）＝（U（2）i）n×1为两个偏好映射，它们之间的共识间距定义为(www.xing528.com)

例如，对应x1≻x2～x3≻x4，x1～x3≻x2～x4和x4≻x3≻x2～x1的偏好映射分别为

它们之间的共识间距为

由性质5.4可知有以下结论。

性质5.4’是3个偏好映射，如果Γ（2）⊆Γ（3），则Δ（Γ（1），Γ（2））≥Δ（Γ（1），Γ（3））。

例如，对应x1≻x2～x3≻x4，x1≻x2≻x3≻x4和x4≻x3≻x2～x1的偏好映射分别为

它们之间的共识间距为

该例中，PM（2）⊆PM（1），可以看出Δ（PM（2），PM（3））＞Δ（PM（1），PM（3）），符合性质5.4’。

定义5.11　设Μ和Γ分别为一个偏好映射矩阵和一个偏好映射，分别表示为

它们之间的共识间距定义为

例如，如下的一个偏好映射矩阵和一个偏好映射：

它们之间的共识间距为

Δ（M，Γ）＝5+3+7＝15

容易验证，式（5.6）和式（5.7）的共识间距也是准测度，其中三角不等式不一定满足，比如对如下3个偏好映射

它们之间的共识间距就不满足三角不等式，因为Δ（PM（1），PM（2））＝0，Δ（PM（2），PM（3））＝3，而Δ（PM（1），PM（3））＝5，从而Δ（PM（1），PM（2））+Δ（PM（2），PM（3））＜Δ（PM（1），PM（3））。